2023忻州高三上学期第二次联考数学试题含解析

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高三数学试题考生注意：1.本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，共150分.考试时间120分钟.2.请将各题答案填写在答题卡上.3.本试卷主要考试内容：集合与常用逻辑用语､不等式､函数与导数､三角函数与解三角形､平面向量与复数占70%，其他内容占30%.第I卷一､选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合，则（    ）A.  B. C.  D. 2 已知复数满足，则（    ）A  B. C.  D. 3. 青花瓷，又称白地青花瓷，常简称青花，是中国瓷器的主流品种之一.如图，这是景德镇青花瓷，现往该青花瓷中匀速注水，则水的高度与时间的函数图像大致是（    ）A.  B. C.  D. 4. “”是“方程表示椭圆”的A 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件5. 已知，则（    ）A.  B.  C.  D. 36. 已知，则的最小值是（    ）A. 4 B. 6 C. 8 D. 167. 在某次数学考试中，学生成绩服从正态分布.若在内的概率是，则从参加这次考试的学生中任意选取3名学生，恰有2名学生的成绩不低于85的概率是（    ）A.  B.  C.  D. 8. 圆是中华民族传统文化的形态象征，象征着“圆满”和“饱满”，是自古以和为贵的中国人所崇尚的图腾.如图，是圆的一条直径，且是圆上的任意两点，，点在线段上，则的取值范围是（    ）A.  B.  C.  D. 9. 《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称为鳖臑.在鳖臑中，平面，则鳖臑外接球的表面积是（    ）A.  B.  C.  D. 10. 已知函数若关于的方程有4个不同的实根，则的取值范围是（    ）A.  B.  C.  D. 11. 已知函数在区间上单调，且当时，，则（    ）A. 2 B. 4 C. 6 D. 812. 已知，则（    ）A.  B. C.  D. 第II卷二､填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上.13. 已知向量，若，则__________.14. 已知圆的圆心在直线上，且与直线相切，则圆的方程是__________.（写出一个即可）15. 设等差数列前项和分别是，且，则__________.16. 在中，内角所对边分别是，且，点是线段的中点，若，则面积的最大值是__________.三､解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演步骤..17. 在中，内角所对的边分别是，且.（1）求角的大小；（2）若，求的最大值.18. 如图，在四棱锥中，四边形是菱形，.（1）证明：平面平面.（2）若是棱的中点，求平面与平面夹角的余弦值.19. 已知函数的部分图象如图所示.（1）求的解析式；（2）若函数，对任意的恒成立，求的取值范围.20. 据国家气象局消息，今年各地均出现了极端高温天气.漫漫暑期，空调成了很好的降温工具，而物体的降温遵循牛顿冷却定律.如果某物体的初始温度为，那么经过分钟后，温度满足，其中为室温，为半衰期.为模拟观察空调的降温效果，小明把一杯的茶水放在的房间，10分钟后茶水降温至.（参考数据：）（1）若欲将这杯茶水继续降温至，大约还需要多少分钟？（保留整数）（2）为适应市场需求，2022年某企业扩大了某型号的变频空调的生产，全年需投入固定成本200万元，每生产千台空调，需另投入成本万元，且已知每台空调售价3000元，且生产的空调能全部销售完.问2022年该企业该型号的变频空调的总产量为多少千台时，获利最大？并求出最大利润.21. 已知双曲线的离心率是，点是双曲线的一个焦点，且点到双曲线的一条渐近线的距离是2.（1）求双曲线的标准方程.（2）设点在直线上，过点作两条直线，直线与双曲线交于两点，直线与双曲线交于两点.若直线与直线的倾斜角互补，证明：.22. 已知函数.（1）若是的极值点，求的单调区间；（2）若关于的方程恰有一个解，求a的取值范围.