2023浙江省强基联盟高一上学期实验班10月联考数学试题含解析

强基联盟高一数学2022学年第一学期实验班10月联考试卷

考生须知：

1．全卷分试卷和答题卷．考试结束后，将答题卷上交．

2．试卷共4页，有4大题，22小题．满分100分，考试时间120分钟．

3．请将答案做在答题卷的相应位置上，写在试卷上无效．

一、单项选择题：本题共8个小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，只有一个符合题目的要求．

1. 已知集合，，则（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】解不等式得到，根据题意得到，再由集合交集的概念得到结果.

【详解】由集合，解不等式得到：，

又因为，根据集合交集的概念得到：，故C正确.

故选：C.

2. 已知函数，则的值为（    ）．

A.  B. 2 C.  D.

【答案】D

【解析】

【详解】，．

故选：D.

3. 已知函数为奇函数，则α的值可能为（    ）．

A. 0 B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【详解】取x=0，f(0)=cosα+cos2α，

对于选项A，，

对于选项B，，

对于选项C，，

对于选项D，，

只有D选项符合奇函数的性质．

故选：D.

4. 设，，，则（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】利用对数函数的性质及指数函数的性质，即得.

【详解】由题得，

，

，

所以.

故选：A.

5. 已知定义在实数集上的函数是偶函数，且在上单调递增，，则不等式的解集为 （    ）

A  B.

C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】根据函数是偶函数，且在上单调递增，可得函数在上单调递减，从而可得不等式等价于或，从而可得出答案.

【详解】解：因为函数是偶函数，且在上单调递增，

所以函数在上单调递减，

又因，所以，

不等式等价于或，

即或，

所以或，

即不等式的解集为.

故选：B.

6. 已知正实数，满足，则的最大值为（    ）

A.  B.

C  D.

【答案】D

【解析】

【分析】由等式可以得到的表达式，结合换元法、基本不等式进行求解即可.

【详解】由得，由，为正实数，得，

所以，令，

所以，

当且仅当时取等号，即当时取等号民，时等号成立.

所以的最大值为，

故选：D.

7. 已知，为锐角，且，，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】运用降幂公式，结合两角和的余弦公式进行求解即可.

【详解】

由，

设，

得：

，

化简得：，

即，

故选：A

8. 已知函数为上的奇函数，当时，若函数满足且，有6个不同的解，则实数的取值范围为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】设，作出函数的图象，结合函数图象讨论出结论，若满足有6个不同的解，则函数有三个根，且必须满足，，，从而得到的取值范围．

【详解】因为函数为上的奇函数，当时，

令，则，则，

又

所以，

设，作出函数的图象，

当时，

则函数有三个根，且，，

又图像如图：

当时，即无解，当时，即有4个解，

当时，即有2个解，

方程恰好有6个不同的解，

同理当时，函数有一个根，此时无解；

当时，函数有三个根如图，且，，；

此时结合函数图像，无解，和均有2个解，共4个解，不满足题意；

当时，函数有1个根此时只有2个解，不满足题意；

综上，选项都不符合，选项符合，

故选：

二、多项选择题：本题共4个小题，每小题3分，共12分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求．全部选对的得3分，部分选对的得1分，有选错的得0分．

9. 下列命题中是全称量词命题并且是真命题的是（    ）

A. ， B. ，为偶数

C. 所有菱形的四条边都相等 D. 是无理数

【答案】AC

【解析】

【分析】BD不是全称量词命题，不合题意，AC为全称量词命题且可证得为真命题.

【详解】对A，是全称量词命题，，，故是真命题，故A正确；

对B，是真命题，但不是全称量词命题，故B不正确；

对C，是全称量词命题，根据菱形性质可得四条边都相等，也是真命题，故C正确；

对D，是真命题，但不是全称量词命题，故D不正确；

故选：AC．

10. 衢州市柯城区沟溪乡余东村是中国十大美丽乡村，也是重要的研学基地，村口的大水车，是一道独特的风景.假设水轮半径为4米（如图所示），水轮中心O距离水面2米，水轮每60秒按逆时针转动一圈，如果水轮上点P从水中浮现时（图中）开始计时，则（    ）

A. 点P第一次达到最高点，需要20秒

B. 当水轮转动155秒时，点P距离水面2米

C. 在水轮转动的一圈内，有15秒的时间，点P距水面超过2米

D. 点P距离水面的高度h（米）与t（秒）的函数解析式为

【答案】ABD

【解析】

【分析】先根据题意求出点P距离水面的高度h（米）与t（秒）的函数解析式，再从解析式出发求解ABC选项.

【详解】如图所示，过点O作OC⊥水面于点C，作OA平行于水面交圆于点A，过点P作PB⊥OA于点B，则因为水轮每60秒按逆时针转动一圈，故转动的角速度为（），且点P从水中浮现时（图中）开始计时，t（秒）后，可知，又水轮半径为4米，水轮中心O距离水面2米，即m，m，所以，所以，因为m，所以，故，D选项正确；

点P第一次达到最高点，此时，令，解得：（s），A正确；

令，解得：，，当时，（s），B选项正确；

，令，解得：，故有30s的时间点P距水面超过2米，C选项错误；

故答案为：ABD

11. 若a，，，则下列说法正确的有（    ）

A. 的最小值为4

B. 的最大值为

C. 的最小值为

D. 的最大值是

【答案】BCD

【解析】

【分析】利用基本不等式依次判断即得.

【详解】由a，，，可得，

对于A，，当且仅当，即取等号，所以，同理，故，故A错误；

对于B，∵，当且仅当，即时取等号，

∴，即的最大值为，故B正确；

对于C，，当且仅当，即时取等号，故的最小值为，故C正确；

对于D，由题可得，，

∴，

而，当且仅当，即时取等号，

∴，即的最大值是，故D正确.

故选：BCD.

12. 已知实数、、满足，则下列说法正确的有（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】BCD

【解析】

【分析】令，则，，，利用作差法可判断AB选项；利用换底公式可判断C选项；利用换底公式结合基本不等式可判断D选项.

【详解】令，则，，且，，．

对于A，，所以A错误：

对于B，，

即，所以B正确；

对于C，，所以C正确：

对于D：

，所以D正确．

故选：BCD.

三、填空题：本题共4个小题，每小题3分，共12分．

13. “，使不等式成立”为假命题，则的取值范围________.

【答案】

【解析】

【分析】根据特征命题的否定是全称命题，结合绝对值的性质进行求解即可.

【详解】因为“，使不等式成立”为假命题，所以该命题的否定是真命题，

该命题的否定为：“，使不等式恒成立”

因为，

所以，故答案为.

故答案为：

14. 已知向量，，则在上的投影向量坐标为___________.

【答案】

【解析】

【分析】根据平面向量的坐标运算与数量积定义，计算投影即可得到答案

【详解】向量，，

则在上的投影为

又在轴上，

故在上的投影向量坐标为.

故答案：

15. 己知函数的图象向左平移个单位后得到函数的图象，若实数，满足，则的最小值为______．

【答案】##

【解析】

【分析】首先根据题意得到，根据题意得到，从而得到，，，即可得到答案.

【详解】，

因为实数，满足，

所以

所以，，解得，，

，，解得，，

所以，，.

所以.

综上：.

故答案为：

16. 已知函数恰有3个零点，则的取值范围是___________.

【答案】##

【解析】

【分析】先求出函数在区间上的4个零点，然后结合已知及分段函数的定义，分两种情况讨论即可得答案.

【详解】解： 令，得；

令，得或，即或，

又，所以或或或，

因为恰有3个零点，

所以，当时，有3个零点，，；

当时，有3个零点，，；

所以的取值范围是，

故答案为：.

四、解答题：本题共6个小题，共52分．解答应写出文字说明，证明过程成验算步骤．

17. 化简求值：

（1）；

（2）已知，求的值．

【答案】（1）9    （2）-3

【解析】

【分析】（1）利用指数、对数运算性质求解即可.

（2）首先将原式化简为，再分子、分母同时除以即可得到答案.

【小问1详解】

原式.

【小问2详解】

原式．

18. 已知平面向量，满足，，，若，．

（Ⅰ）求；

（Ⅱ）求.

【答案】（Ⅰ）-10；（Ⅱ）.

【解析】

【分析】（Ⅰ）利用已知条件，结合向量的数量积的运算律求解即可；

（Ⅱ）首先求出，再利用向量的模的运算法则，结合向量的数量积求解．

【详解】解：（Ⅰ）平面向量，满足，，，，．

．

（Ⅱ）因为，．

所以，．

所以．

19. 已知函数．

Ⅰ若的解集为，求实数a，b的值；

Ⅱ当时，若关于x的不等式恒成立，求实数a的取值范围．

【答案】ⅠⅡ．

【解析】

【分析】Ⅰ根据一元二次不等式与一元二次方程之间的关系，可将问题转化为b，3是一元二次方程的两根，再根据韦达定理列方程组可解得；

Ⅱ不等式恒成立，分离变量，转化为求可得．

【详解】解：Ⅰ因为即的解集为，

所以b，3是一元二次方程的两根，

，解得，

Ⅱ当时，若关于x的不等式恒成立，

即在上恒成立，

令，，则，

，当且仅当时取等．

故．

【点睛】一元二次不等式的问题可转化为二次函数的图像、二次方程根的问题来解决，不等式恒成立问题常见解法为分离变量法，然后转化为求最值；有时也可以分情况讨论解决问题．

20. 已知函数的最大值为.

（1）求的最小正周期以及实数的值；

（2）将函数的图象向左平移个单位，得到函数的图象，若，求的值.

【答案】（1），   

（2）或2．

【解析】

【分析】（1）首先根据题意得到，再结合函数最大值求解即可.

（2）首先根据题意得到，根据得到，再利用同角三角函数关系求解即可.

【小问1详解】

所以，解得，的最小正周期．

【小问2详解】

因为，

所以，

所以，

所以，

解得或2．

21 对于函数.

（1）若，且为奇函数，求a的值；

（2）若方程恰有一个实根，求实数a的取值范围；

（3）设，若对任意，当时，满足，求实数a的取值范围．

【答案】（1）；   

（2）；   

（3）.

【解析】

【分析】（1）利用奇函数的定义可得；

（2）由题可得，分类讨论可得；

（3）由题可得，进而可得对任意的恒成立，然后求函数的最小值即得.

【小问1详解】

∵，

∴，又为奇函数，

∴，

∴，对定义域内任意恒成立，

∴，解得，

此时，定义域为符合奇函数的条件，

所以；

【小问2详解】

方程，

所以，

由①可得，，即，

当时，方程有唯一解，满足②，

所以符合条件；

当时，方程有两相等解，满足②，

所以符合条件；

当且时，方程有两不等解，

若满足②，则，

若满足②，则，

所以当时方程恰有一个实根；

综上，实数的取值范围为；

【小问3详解】

令，则在上为减函数，在上为增函数，

∴函数在上为减函数，

当时，满足，

则，

∴，即对任意的恒成立，

设，又，所以函数在单调递增，

所以，

∴.

22. 已知函数.

（1）若函数的定义域为，且，求实数的取值范围；

（2）当时，求证：对于定义域内的实数，都有.

【答案】（1）   

（2）证明见解析

【解析】

【分析】（1）根据对数型函数的性质，结合数轴结合思想进行求解即可；

（2）根据函数的单调性，结合分类讨论思想进行求解即可.

【小问1详解】

由于，

而不等式的解集即为函数的图象位于的图象上方对应的的范围.画出对应的图象，如图所示.若，则，从而.故实数的取值范围为.

【小问2详解】

，则问题等价于：对任意的，，恒有

当时，关于单调递增，从而

由于，则（端点为方程的两根.）

当时，，则设，则，显然当时，，成立.

当时，，则设，则，显然当时，，成立.

综合上述，对于定义域内的实数，都有.

【点睛】关键点睛：利用数形结合思想和分类讨论思想是解题的关键.