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山东省聊城市慧德中学等校2022-2023学年九年级上学期第一次联考数学试卷（含答案）
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这是一份山东省聊城市慧德中学等校2022-2023学年九年级上学期第一次联考数学试卷（含答案），共28页。
2022-2023学年山东省聊城市慧德中学等校九年级（上）第一次联考数学试卷
一．选择题（每题3分，共12小题，共36分）
1．（3分）已知α为锐角，且sin（α﹣10°）＝，则α等于（ ）
A．70° B．60° C．50° D．30°
2．（3分）下列图形不一定相似的是（ ）
A．两个等边三角形
B．各有一个角是110°的两个等腰三角形
C．两个等腰直角三角形
D．各有一个角是45°的两个等腰三角形
3．（3分）点M（cos30°，sin30°）关于原点中心对称的点的坐标是（ ）
A．（，） B．（﹣，﹣） C．（﹣，） D．（﹣，﹣）
4．（3分）如图，在△ABC中，DE∥BC，DF∥AC，若＝，则下列结论正确的是（ ）
A．＝ B．＝
C．＝ D．＝
5．（3分）线段AB两个端点的坐标分别为A（6，6），B（8，2），以原点O为位似中心，将线段AB缩小为原来的后得到对应的线段CD，则端点C的坐标为（ ）
A．（3，3） B．（3，3）或 （﹣3，﹣3）
C．（﹣4，﹣1） D．（4，1）
6．（3分）如图，点A为∠α边上的任意一点，作AC⊥BC于点C，CD⊥AB于点D，则sinα等于（ ）
A． B． C． D．
7．（3分）如图，点D在△ABC的边AC上，添加一个条件，使得△ADB∽△ABC，下列不正确的是（ ）
A．∠ABD＝∠C B．∠ADB＝∠ABC C． D．
8．（3分）如图，▱ABCD中，E是AB延长线上一点，DE交BC于点F，且BE：AB＝3：2，AD＝10，则CF＝（ ）
A．2 B．3 C．4 D．6
9．（3分）如图，小颖为测量学校旗杆AB的高度，她在E处放置一块镜子，然后退到C处站立，刚好从镜子中看到旗杆的顶部B．已知小颖的眼睛D离地面的高度CD＝1.5m，她离镜子的水平距离CE＝0.5m，镜子E离旗杆的底部A处的距离AE＝2m，且A、C、E三点在同一水平直线上，则旗杆AB的高度为（ ）
A．4.5m B．4.8m C．5.5m D．6 m
10．（3分）如图，在矩形纸片ABCD中，AB＝5，BC＝3，将△BCD沿BD折叠到△BED位置，DE交AB于点F，则cos∠ADF的值为（ ）
A． B． C． D．
11．（3分）如图，在△ABC中，CH⊥AB，CH＝h，AB＝c，若内接正方形DEFG的边长是x，则h、c、x的数量关系为（ ）
A．x2+h2＝c² B．x+h＝c C．h2＝xc D．＝+
12．（3分）如图，在Rt△OAB中，∠OBA＝90°，tan∠AOB＝，顶点A的坐标为（0，10）．将Rt△OAB绕点O逆时针旋转，每次旋转90°，则第2022次旋转结束时，点B的坐标为（ ）
A．（﹣3，9） B．（﹣9，﹣3） C．（9，﹣3） D．（﹣3，﹣9）
二．填空题（共5小题，每题3分，共15分）
13．（3分）如果两个相似多边形的面积比为4：9，那么它们的对应边高的比为 ．
14．（3分）如图，等边△ABC的边长为6，P，D分别是BC、AC边上点，且∠APD＝60°，BP＝2，则CD长为 ．
15．（3分）如图，△ABC的顶点在正方形网格的格点上，则tanA的值为 ．
16．（3分）如图，D、E分别是△ABC的边AB、BC上的点，且DE∥AC，AE、CD相交于点O，若S△DOE：S△COA＝1：25，则S△BDE与S△CDE的比＝ ．
17．（3分）如图所示，在矩形ABCD中，AB＝10cm，AD＝20cm，两只小虫P和Q同时分别从A，B出发沿AB，BC向终点B，C方向前进，小虫P每秒走1cm，小虫Q每秒走2cm，它们同时出发t秒时，以P、B、Q为顶点的三角形与以A、C、D为顶点的三角形相似，则t＝ 秒．
三．解答题（共8小题，共69分）
18．（8分）计算：
（1）（π﹣2）0﹣|1﹣tan60°|﹣（）﹣1+；
（2）cos60°﹣2sin245°+tan260°﹣sin30°．
19．（7分）如图，平面直角坐标系中，△ABC各顶点坐标分别是A（﹣4，4），B（﹣1，2），C（﹣3，1）．
（1）在坐标系中画出将△ABC绕点C顺时针旋转90°得到的△A1B1C1；
（2）以原点O为位似中心画△A2B2C2，使它与△ABC相似，相似比为2．且与△ABC分别在点O的两侧，并写出点C2的坐标；
（3）直接写出△A2B2C2的面积： ．
20．（8分）如图，△ABC中，D是AB上的一点，∠ABC＝∠ACD．
（1）求证：△ABC∽△ACD；
（2）若AC＝3，AD＝2，求AB的长．
21．（8分）在△ABC中，AC＝4，BC＝6，∠C为锐角且tanC＝1．
（1）求△ABC的面积；
（2）求AB的值；
（3）求cos∠ABC的值．
22．（8分）某天，北海舰队在中国南海例行训练，位于A处的济南舰突然发现北偏西30°方向上的C处有一可疑舰艇，济南舰马上通知位于正东方向200海里B处的西安舰，西安舰测得C处位于其北偏西60°方向上，请问此时两舰距C处的距离分别是多少？
23．（8分）如图，∠ABD＝∠BCD＝90°，DB平分∠ADC，过点B作BM∥CD交AD于M，连接CM交DB于N．
（1）求证：BD2＝AD•CD．
（2）若CD＝6，AD＝8，求DN的长．
24．（10分）如图，某人在山坡坡脚A处测得电视塔尖点C的仰角为60°，沿山坡向上走到P处再测得点C的仰角为45°，已知OA＝100米，山坡坡度为（即tan∠PAB＝），且O，A，B在同一条直线上．求电视塔OC的高度以及此人所在位置点P的铅直高度．（测倾器的高度忽略不计，结果保留根号形式）
25．（12分）已知在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝4．点Q是线段AC上的一个动点，过点Q作AC的垂线交线段AB（如图1）或线段AB的延长线（如图2）于点P．
（1）当点P在线段AB上时，求证：△AQP∽△ABC；
（2）当△PQB为等腰三角形时，求AP的长．
2022-2023学年山东省聊城市慧德中学等校九年级（上）第一次联考数学试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（每题3分，共12小题，共36分）
1．（3分）已知α为锐角，且sin（α﹣10°）＝，则α等于（ ）
A．70° B．60° C．50° D．30°
【分析】根据特殊角的三角函数值可得α﹣10°＝60°，进而可得α的值．
【解答】解：∵sin（α﹣10°）＝，
∴α﹣10°＝60°，
∴α＝70°．
故选：A．
2．（3分）下列图形不一定相似的是（ ）
A．两个等边三角形
B．各有一个角是110°的两个等腰三角形
C．两个等腰直角三角形
D．各有一个角是45°的两个等腰三角形
【分析】本题可根据相似三角形的判定定理进行求解．
【解答】解：A选项，正确，根据三边对应成比例来判定；
B选项，正确，根据两角对应相等来判定；
C选项，正确，根据两角对应相等来判定；
D选项，45°的角可能是顶角，也可能是底角，没有指代清楚，故错误．
故选：D．
3．（3分）点M（cos30°，sin30°）关于原点中心对称的点的坐标是（ ）
A．（，） B．（﹣，﹣） C．（﹣，） D．（﹣，﹣）
【分析】利用特殊角的三角函数值确定出M坐标，找出关于原点中心对称的点坐标即可．
【解答】解：点M（cos30°，sin30°）化简得：M（，），
关于原点对称的点的坐标是（﹣，﹣），
故选：D．
4．（3分）如图，在△ABC中，DE∥BC，DF∥AC，若＝，则下列结论正确的是（ ）
A．＝ B．＝
C．＝ D．＝
【分析】先由＝得＝，再由DE∥BC证明△ADE∽△ABC，则＝＝≠，可判断A错误；
假设＝正确，由DF∥AC得∠A＝∠BDF，而∠ADE＝∠B，即可证明△ADE∽△DBF，得＝＝，因为＝，所以＝，得DF＝BF，由△DBF∽△ABC得＝，则AC＝BC，与已知条件不符，可判断B错误；
由△ADE∽△ABC得＝＝≠，可判断C错误；
由△ADE∽△DBF得＝＝，可判断D正确，于是得到问题的答案．
【解答】解：∵＝，
∴＝，
∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴＝＝≠，
故A错误；
假设＝正确，
∴DF∥AC，
∴∠A＝∠BDF，
∵∠ADE＝∠B，
∴△ADE∽△DBF，
∴＝＝，
∵＝，
∴DF＝BF，
∵△DBF∽△ABC，
∴＝，
∴AC＝BC，
显然与已知条件不符，
∴＝不正确，
故B错误；
∵△ADE∽△ABC，
∴＝＝＝≠，
故C错误；
∵△ADE∽△DBF，
∴＝＝＝，
故D正确，
故选：D．
5．（3分）线段AB两个端点的坐标分别为A（6，6），B（8，2），以原点O为位似中心，将线段AB缩小为原来的后得到对应的线段CD，则端点C的坐标为（ ）
A．（3，3） B．（3，3）或 （﹣3，﹣3）
C．（﹣4，﹣1） D．（4，1）
【分析】根据所给相似比把各坐标都乘以或﹣即可．
【解答】解：∵线段AB两个端点的坐标分别为A（6，6），B（8，2），以原点O为位似中心，
将线段AB缩小为原来的后得到对应的线段CD，
∴端点C的坐标为：（3，3）或 （﹣3，﹣3）．
故选：B．
6．（3分）如图，点A为∠α边上的任意一点，作AC⊥BC于点C，CD⊥AB于点D，则sinα等于（ ）
A． B． C． D．
【分析】先由∠B+∠BAC＝∠ACD+∠BAC＝90°知∠B＝∠ACD＝∠α，再分别在Rt△ABC、Rt△BCD、Rt△ACD中表示出sinα，据此可得答案．
【解答】解：∵AC⊥BC、CD⊥AB，
∴∠ACB＝∠CDB＝90°，
∴∠B+∠BAC＝∠ACD+∠BAC＝90°，
则∠B＝∠ACD＝∠α，
在Rt△ABC中，sinα＝；
在Rt△BCD中，sinα＝；
在Rt△ACD中，sinα＝；
故选：C．
7．（3分）如图，点D在△ABC的边AC上，添加一个条件，使得△ADB∽△ABC，下列不正确的是（ ）
A．∠ABD＝∠C B．∠ADB＝∠ABC C． D．
【分析】利用相似三角形的判定方法依次判断即可．
【解答】解：A、若∠ABD＝∠C，∠A＝∠A，则△ADB∽△ABC，故此选项不符合题意；
B、若∠ADB＝∠ABC，∠A＝∠A，则△ADB∽△ABC，故此选项不符合题意；
C、若，其夹角不相等，则不能判定△ADB∽△ABC，故此选项符合题意；
D、若，∠A＝∠A，则△ADB∽△ABC，故此选项不符合题意．
故选：C．
8．（3分）如图，▱ABCD中，E是AB延长线上一点，DE交BC于点F，且BE：AB＝3：2，AD＝10，则CF＝（ ）
A．2 B．3 C．4 D．6
【分析】由平行四边形的性质可得DC∥AB，AD∥BC，DC＝AB，AD＝BC，则可判定△CDF∽△BEF，从而可得比例式，结合DC＝AB，AD＝BC及BE：AB＝3：2，可得答案．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴DC∥AB，AD∥BC，DC＝AB，AD＝BC，
∴△CDF∽△BEF，
∴BE：DC＝BF：CF，
∵BE：AB＝3：2，DC＝AB，
∴BE：DC＝BF：CF＝3：2，
∴CF：BF＝2：3，
∴CF：BC＝2：5，
∵AD＝BC＝10，
∴CF：10＝2：5．
∴CF＝4．
故选：C．
9．（3分）如图，小颖为测量学校旗杆AB的高度，她在E处放置一块镜子，然后退到C处站立，刚好从镜子中看到旗杆的顶部B．已知小颖的眼睛D离地面的高度CD＝1.5m，她离镜子的水平距离CE＝0.5m，镜子E离旗杆的底部A处的距离AE＝2m，且A、C、E三点在同一水平直线上，则旗杆AB的高度为（ ）
A．4.5m B．4.8m C．5.5m D．6 m
【分析】根据题意得出△ABE∽△CDE，进而利用相似三角形的性质得出答案．
【解答】解：由题意可得：AE＝2m，CE＝0.5m，DC＝1.5m，
∵△ABE∽△EDC，
∴＝，
即＝，
解得：AB＝6，
故选：D．
10．（3分）如图，在矩形纸片ABCD中，AB＝5，BC＝3，将△BCD沿BD折叠到△BED位置，DE交AB于点F，则cos∠ADF的值为（ ）
A． B． C． D．
【分析】利用矩形和折叠的性质可得BF＝DF，设BF＝x，则DF＝x，AF＝5﹣x，在Rt△ADF中利用勾股定理列方程，即可求出x的值，进而可得cos∠ADF．
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A＝90°，AB∥CD，AD＝BC＝3，AB＝CD＝5，
∴∠BDC＝∠DBF，
由折叠的性质可得∠BDC＝∠BDF，
∴∠BDF＝∠DBF，
∴BF＝DF，
设BF＝x，则DF＝x，AF＝5﹣x，
在Rt△ADF中，32+（5﹣x）2＝x2，
∴x＝，
∴cos∠ADF＝，
故选：C．
11．（3分）如图，在△ABC中，CH⊥AB，CH＝h，AB＝c，若内接正方形DEFG的边长是x，则h、c、x的数量关系为（ ）
A．x2+h2＝c² B．x+h＝c C．h2＝xc D．＝+
【分析】先根据正方形的性质得到GF∥DE，从而证明△CGF∽△CAB，根据相似三角形的性质可列出比例式，再通过证明四边形DHMG是矩形表示出CM的长度，即可求解．
【解答】解：如图，设CH与GF交于点M，
∵四边形DEFG是正方形，
∴GF∥DE，∠GDE＝∠DGF＝90°，
∴△CGF∽△CAB，
∴＝，
∵CH⊥AB，
∴∠DHM＝90°，
∴四边形DHMG是矩形，
∴DG＝MH，
∵CH＝h，AB＝c，正方形DEFG的边长是x，
∴MH＝x，
∴CM＝CH﹣MH＝h﹣x，
∴＝，
∴＝1﹣，
∴＝﹣，
∴＝+，
故选：D．
12．（3分）如图，在Rt△OAB中，∠OBA＝90°，tan∠AOB＝，顶点A的坐标为（0，10）．将Rt△OAB绕点O逆时针旋转，每次旋转90°，则第2022次旋转结束时，点B的坐标为（ ）
A．（﹣3，9） B．（﹣9，﹣3） C．（9，﹣3） D．（﹣3，﹣9）
【分析】先得出OA＝10，再利用解直角三角形的知识确定B（3，9），由于2022÷4＝505…2，所以第2022次旋转结束时，相当于Rt△OAB绕点O逆时针旋转2次，由此求出点B坐标即可．
【解答】解：如图，过点B作BC⊥y轴于点C，
∵点A的坐标为（0，10），
∴OA＝10，
∵tan∠AOB＝，
∴设AB＝x，则OB＝3x，
∵在Rt△OAB中，∠OBA＝90°，
∴x2+（3x）2＝102，
解得x＝，
∴OB＝3x＝3，
在Rt△OBC中，设BC＝y，则OC＝3y，
∴，
解得y＝3，
∴BC＝3，则OC＝9，
∴B（3，9），
∵Rt△OAB绕点O逆时针旋转，每次旋转90°，
则第1次旋转结束时，点B的坐标为（﹣9，3）；
则第2次旋转结束时，点B的坐标为（﹣3，﹣9）；
则第3次旋转结束时，点B的坐标为（9，﹣3）；
则第4次旋转结束时，点B的坐标为（3，9）；
…
发现规律：旋转4次一个循环，
∴2022÷4＝505…2，
则第2022次旋转结束时，点B的坐标为（﹣3，﹣9）．
故选：D．
二．填空题（共5小题，每题3分，共15分）
13．（3分）如果两个相似多边形的面积比为4：9，那么它们的对应边高的比为 2：3 ．
【分析】根据相似多边形的面积比等于相似比的平方定义对应高的的平方比解决问题即可．
【解答】解：∵相似多边形的面积比等于相似比的平方，面积比为4：9，
∴对应高的比＝相似比＝2：3，
故答案为：2：3．
14．（3分）如图，等边△ABC的边长为6，P，D分别是BC、AC边上点，且∠APD＝60°，BP＝2，则CD长为 ．
【分析】证明△ABP∽△PCD后，利用相似三角形的性质与判定即可求出答案．
【解答】解：∵∠B＝∠APD＝∠C＝60°，
∠APC＝∠B+∠BAP，
∴∠B+∠BAP＝∠APD+∠CPD，
即∠BAP＝∠CPD，
∴△ABP∽△PCD，
∴，
∵AB＝BC＝6，BP＝2，
∴CP＝BC﹣BP＝6﹣2＝4，
∴，
∴CD＝．
答：CD的长为．
故答案为：．
15．（3分）如图，△ABC的顶点在正方形网格的格点上，则tanA的值为 2 ．
【分析】利用勾股定理根据格点先计算AB、AC，利用三角形的面积计算CD的值，最后计算∠A的正切值．
【解答】解：由格点知：AB＝＝3，
AC＝＝．
∵S△ABC＝•BC•AE
＝×4×3
＝6，
S△ABC＝•AB•CD
＝×3×CD
＝，
∴＝6，
∴CD＝2．
∴AD＝
＝．
∴tanA＝＝2．
16．（3分）如图，D、E分别是△ABC的边AB、BC上的点，且DE∥AC，AE、CD相交于点O，若S△DOE：S△COA＝1：25，则S△BDE与S△CDE的比＝ 1：4 ．
【分析】根据相似三角形的判定定理得到△DOE∽△COA，根据相似三角形的性质定理得到 ＝，＝＝，结合图形得到＝，由此即可得到答案．
【解答】解：∵DE∥AC，
∴△DOE∽△COA，又S△DOE：S△COA＝1：25，
∴＝，
∵DE∥AC，
∴＝＝，
∴＝，
∴S△BDE与S△CDE的比是1：4，
故答案为：1：4．
17．（3分）如图所示，在矩形ABCD中，AB＝10cm，AD＝20cm，两只小虫P和Q同时分别从A，B出发沿AB，BC向终点B，C方向前进，小虫P每秒走1cm，小虫Q每秒走2cm，它们同时出发t秒时，以P、B、Q为顶点的三角形与以A、C、D为顶点的三角形相似，则t＝ 2或5 秒．
【分析】要使以P、B、Q为顶点的三角形与以A、C、D为顶点的三角形相似，则要分两种情况进行分析．分别是△PBQ∽△CDA或△QBP∽△CDA，从而解得所需的时间．
【解答】解：①若△PBQ∽△CDA，
则，
即，解得t＝5；
②若△QBP∽△CDA，
则，
即，解得t＝2．
故答案为：2或5．
三．解答题（共8小题，共69分）
18．（8分）计算：
（1）（π﹣2）0﹣|1﹣tan60°|﹣（）﹣1+；
（2）cos60°﹣2sin245°+tan260°﹣sin30°．
【分析】（1）直接利用二次根式的性质以及特殊角的三角函数值、负整数指数幂的性质、零指数幂的性质分别化简得出答案；
（2）直接利用特殊角的三角函数值分别化简得出答案．
【解答】解：（1）原式＝1+1﹣﹣2+2
＝；
（2）原式＝﹣2×（）2+×（）2﹣
＝﹣2×+×3﹣
＝﹣1+2﹣
＝1．
19．（7分）如图，平面直角坐标系中，△ABC各顶点坐标分别是A（﹣4，4），B（﹣1，2），C（﹣3，1）．
（1）在坐标系中画出将△ABC绕点C顺时针旋转90°得到的△A1B1C1；
（2）以原点O为位似中心画△A2B2C2，使它与△ABC相似，相似比为2．且与△ABC分别在点O的两侧，并写出点C2的坐标；
（3）直接写出△A2B2C2的面积： 14 ．
【分析】（1）利用旋转变换的性质分别作出A，B，C的对应点A1，B1，C1即可；
（2）利用位似变换的性质分别作出A，B，C的对应点A2，B2，C2即可．
（3）把三角形的面积看成矩形的面积减去周围的三个三角形面积即可．
【解答】解：（1）如图，△A1B1C1即为所求；
（2）如图，△A2B2C2即为所求，点C2的坐标（6，﹣2）；
（3）△A2B2C2的面积＝6×6﹣×2×4﹣×2×6﹣×4×6＝14．
故答案为：14．
20．（8分）如图，△ABC中，D是AB上的一点，∠ABC＝∠ACD．
（1）求证：△ABC∽△ACD；
（2）若AC＝3，AD＝2，求AB的长．
【分析】（1）由∠ABC＝∠ACD结合公共角∠BAC＝∠CAD，即可证出△ABC∽△ACD；
（2）利用相似三角形的性质可得出＝，结合AC＝3，AD＝2，即可求出AB的长．
【解答】（1）证明：∵∠ABC＝∠ACD，∠BAC＝∠CAD，
∴△ABC∽△ACD．
（2）解：∵△ABC∽△ACD，
∴＝，
即＝，
∴AB＝，
∴AB的长为．
21．（8分）在△ABC中，AC＝4，BC＝6，∠C为锐角且tanC＝1．
（1）求△ABC的面积；
（2）求AB的值；
（3）求cos∠ABC的值．
【分析】（1）过点A作AD⊥BC，根据∠C的正切值确定∠C的度数，再利用直角三角形的边角间关系求出AD、CD，最后利用三角形的面积公式算出△ABC的面积；
（2）先利用线段的和差关系求出BD，再利用勾股定理求出AB；
（3）在Rt△ABD中利用直角三角形的边角间关系求出∠B的余弦值．
【解答】解：（1）过点A作AD⊥BC，垂足为D．
∴∠ADC＝∠ADB＝90°．
∵∠C为锐角且tanC＝1，
∴∠C＝45°＝∠DAC．
∴AD＝DC．
∵sinC＝，AC＝4，
∴DC＝AD＝sin45°×AC＝×4＝4．
∴S△ABC＝BC×AD＝×6×4＝12．
（2）∵DC＝AD＝4，BC＝6，
∴BD＝BC﹣DC＝2．
在Rt△ABD中，
AB＝＝＝2．
（3）在Rt△ABD中，
cos∠ABC＝＝＝．
22．（8分）某天，北海舰队在中国南海例行训练，位于A处的济南舰突然发现北偏西30°方向上的C处有一可疑舰艇，济南舰马上通知位于正东方向200海里B处的西安舰，西安舰测得C处位于其北偏西60°方向上，请问此时两舰距C处的距离分别是多少？
【分析】过点C作CD⊥BA的延长线于点D，由题意可证明△ABC为等腰三角形，所以AC＝AB＝200海里．再求出CD的距离，最后根据BC＝2CD求BC的长．
【解答】解：过点C作CD⊥BA的延长线于点D，如图．
由题意可得：∠CAD＝60°，∠CBD＝30°＝∠DCA，
∴∠BCA＝∠CAD﹣∠CBD＝60°﹣30°＝30°．
即∠BCA＝∠CBD，
∴AC＝AB＝200（海里）．
在Rt△CDA中，CD＝sin∠CAD×AC＝＝100（海里）．
在Rt△CDB中，CB＝2CD＝200（海里）．
故位于A处的济南舰距C处的距离200海里，位于B处的西安舰距C处的距离200海里．
23．（8分）如图，∠ABD＝∠BCD＝90°，DB平分∠ADC，过点B作BM∥CD交AD于M，连接CM交DB于N．
（1）求证：BD2＝AD•CD．
（2）若CD＝6，AD＝8，求DN的长．
【分析】（1）由DB平分∠ADC得到∠ADB＝∠CDB，则可判断△ABD∽△BCD，利用相似比可得到结论；
（2）先证明∠MBD＝∠MDB得到MB＝MD，再证明∠A＝∠ABM得到MA＝MB，则MA＝MB＝MD＝AD＝4，接着利用BD2＝AD•CD得到BD2＝48，再根据BM∥CD，得出＝＝，
计算出DN的长．
【解答】（1）证明：∵DB平分∠ADC，
∴∠ADB＝∠CDB，
∵∠ABD＝∠BCD＝90°，
∴△ABD∽△BCD，
∴BD：CD＝AD：BD，
∴BD2＝AD•CD；
（2）解：∵BM∥CD，
∴∠MBD＝∠CDB，BM⊥BC，
而∠MDB＝∠CDB，
∴∠MBD＝∠MDB，
∴MB＝MD，
∵∠A+∠ADB＝90°，∠ABM+∠MBD＝90°，
∴∠A＝∠ABM，
∴MA＝MB，
∴MA＝MB＝MD＝AD＝4，
∵BD2＝AD•CD，CD＝6，AD＝8，
∴BD2＝8×6＝48，BD＝4，
∵BM∥CD，
∴＝＝，
∴
∴
∴DN＝．
24．（10分）如图，某人在山坡坡脚A处测得电视塔尖点C的仰角为60°，沿山坡向上走到P处再测得点C的仰角为45°，已知OA＝100米，山坡坡度为（即tan∠PAB＝），且O，A，B在同一条直线上．求电视塔OC的高度以及此人所在位置点P的铅直高度．（测倾器的高度忽略不计，结果保留根号形式）
【分析】在图中共有三个直角三角形，即RT△AOC、RT△PCF、RT△PAE，利用60°、45°以及坡度比，分别求出CO、CF、PE，然后根据三者之间的关系，列方程求解即可解决．
【解答】解：作PE⊥OB于点E，PF⊥CO于点F，
在Rt△AOC中，AO＝100，∠CAO＝60°，
∴CO＝AO•tan60°＝100（米）
设PE＝x米，
∵tan∠PAE＝＝，
∴AE＝2x．
在Rt△PCF中，
∠CPF＝45°，CF＝100﹣x，PF＝OA+AE＝100+2x，
∵PF＝CF，
∴100+2x＝100﹣x，
解得x＝（米）．
答：电视塔OC高为100米，点P的铅直高度为（米）．
25．（12分）已知在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝4．点Q是线段AC上的一个动点，过点Q作AC的垂线交线段AB（如图1）或线段AB的延长线（如图2）于点P．
（1）当点P在线段AB上时，求证：△AQP∽△ABC；
（2）当△PQB为等腰三角形时，求AP的长．
【分析】（1）由两对角相等（∠APQ＝∠C，∠A＝∠A），证明△AQP∽△ABC；
（2）当△PQB为等腰三角形时，有两种情况，需要分类讨论．
（I）当点P在线段AB上时，如题图1所示．由三角形相似（△AQP∽△ABC）关系计算AP的长；
（Ⅱ）当点P在线段AB的延长线上时，如题图2所示．利用角之间的关系，证明点B为线段AP的中点，从而可以求出AP．
【解答】（1）证明：∵PQ⊥AQ，
∴∠AQP＝90°＝∠ABC，
在△APQ与△ABC中，
∵∠AQP＝90°＝∠ABC，∠A＝∠A，
∴△AQP∽△ABC．
（2）解：在Rt△ABC中，AB＝3，BC＝4，由勾股定理得：AC＝5．
∵∠QPB为钝角，
∴当△PQB为等腰三角形时，
（I）当点P在线段AB上时，如题图1所示．
∵∠QPB为钝角，
∴当△PQB为等腰三角形时，只可能是PB＝PQ，
由（1）可知，△AQP∽△ABC，
∴，即，解得：PB＝，
∴AP＝AB﹣PB＝3﹣＝；
（Ⅱ）当点P在线段AB的延长线上时，如题图2所示．
∵∠QBP为钝角，
∴当△PQB为等腰三角形时，只可能是PB＝BQ．
∵BP＝BQ，∴∠BQP＝∠P，
∵∠BQP+∠AQB＝90°，∠A+∠P＝90°，
∴∠AQB＝∠A，
∴BQ＝AB，
∴AB＝BP，点B为线段AP中点，
∴AP＝2AB＝2×3＝6．
综上所述，当△PQB为等腰三角形时，AP的长为或6．
2022-2023学年山东省聊城市慧德中学等校九年级（上）第一次联考数学试卷
一．选择题（每题3分，共12小题，共36分）
1．（3分）已知α为锐角，且sin（α﹣10°）＝，则α等于（ ）
A．70° B．60° C．50° D．30°
2．（3分）下列图形不一定相似的是（ ）
A．两个等边三角形
B．各有一个角是110°的两个等腰三角形
C．两个等腰直角三角形
D．各有一个角是45°的两个等腰三角形
3．（3分）点M（cos30°，sin30°）关于原点中心对称的点的坐标是（ ）
A．（，） B．（﹣，﹣） C．（﹣，） D．（﹣，﹣）
4．（3分）如图，在△ABC中，DE∥BC，DF∥AC，若＝，则下列结论正确的是（ ）
A．＝ B．＝
C．＝ D．＝
5．（3分）线段AB两个端点的坐标分别为A（6，6），B（8，2），以原点O为位似中心，将线段AB缩小为原来的后得到对应的线段CD，则端点C的坐标为（ ）
A．（3，3） B．（3，3）或 （﹣3，﹣3）
C．（﹣4，﹣1） D．（4，1）
6．（3分）如图，点A为∠α边上的任意一点，作AC⊥BC于点C，CD⊥AB于点D，则sinα等于（ ）
A． B． C． D．
7．（3分）如图，点D在△ABC的边AC上，添加一个条件，使得△ADB∽△ABC，下列不正确的是（ ）
A．∠ABD＝∠C B．∠ADB＝∠ABC C． D．
8．（3分）如图，▱ABCD中，E是AB延长线上一点，DE交BC于点F，且BE：AB＝3：2，AD＝10，则CF＝（ ）
A．2 B．3 C．4 D．6
9．（3分）如图，小颖为测量学校旗杆AB的高度，她在E处放置一块镜子，然后退到C处站立，刚好从镜子中看到旗杆的顶部B．已知小颖的眼睛D离地面的高度CD＝1.5m，她离镜子的水平距离CE＝0.5m，镜子E离旗杆的底部A处的距离AE＝2m，且A、C、E三点在同一水平直线上，则旗杆AB的高度为（ ）
A．4.5m B．4.8m C．5.5m D．6 m
10．（3分）如图，在矩形纸片ABCD中，AB＝5，BC＝3，将△BCD沿BD折叠到△BED位置，DE交AB于点F，则cos∠ADF的值为（ ）
A． B． C． D．
11．（3分）如图，在△ABC中，CH⊥AB，CH＝h，AB＝c，若内接正方形DEFG的边长是x，则h、c、x的数量关系为（ ）
A．x2+h2＝c² B．x+h＝c C．h2＝xc D．＝+
12．（3分）如图，在Rt△OAB中，∠OBA＝90°，tan∠AOB＝，顶点A的坐标为（0，10）．将Rt△OAB绕点O逆时针旋转，每次旋转90°，则第2022次旋转结束时，点B的坐标为（ ）
A．（﹣3，9） B．（﹣9，﹣3） C．（9，﹣3） D．（﹣3，﹣9）
二．填空题（共5小题，每题3分，共15分）
13．（3分）如果两个相似多边形的面积比为4：9，那么它们的对应边高的比为 ．
14．（3分）如图，等边△ABC的边长为6，P，D分别是BC、AC边上点，且∠APD＝60°，BP＝2，则CD长为 ．
15．（3分）如图，△ABC的顶点在正方形网格的格点上，则tanA的值为 ．
16．（3分）如图，D、E分别是△ABC的边AB、BC上的点，且DE∥AC，AE、CD相交于点O，若S△DOE：S△COA＝1：25，则S△BDE与S△CDE的比＝ ．
17．（3分）如图所示，在矩形ABCD中，AB＝10cm，AD＝20cm，两只小虫P和Q同时分别从A，B出发沿AB，BC向终点B，C方向前进，小虫P每秒走1cm，小虫Q每秒走2cm，它们同时出发t秒时，以P、B、Q为顶点的三角形与以A、C、D为顶点的三角形相似，则t＝ 秒．
三．解答题（共8小题，共69分）
18．（8分）计算：
（1）（π﹣2）0﹣|1﹣tan60°|﹣（）﹣1+；
（2）cos60°﹣2sin245°+tan260°﹣sin30°．
19．（7分）如图，平面直角坐标系中，△ABC各顶点坐标分别是A（﹣4，4），B（﹣1，2），C（﹣3，1）．
（1）在坐标系中画出将△ABC绕点C顺时针旋转90°得到的△A1B1C1；
（2）以原点O为位似中心画△A2B2C2，使它与△ABC相似，相似比为2．且与△ABC分别在点O的两侧，并写出点C2的坐标；
（3）直接写出△A2B2C2的面积： ．
20．（8分）如图，△ABC中，D是AB上的一点，∠ABC＝∠ACD．
（1）求证：△ABC∽△ACD；
（2）若AC＝3，AD＝2，求AB的长．
21．（8分）在△ABC中，AC＝4，BC＝6，∠C为锐角且tanC＝1．
（1）求△ABC的面积；
（2）求AB的值；
（3）求cos∠ABC的值．
22．（8分）某天，北海舰队在中国南海例行训练，位于A处的济南舰突然发现北偏西30°方向上的C处有一可疑舰艇，济南舰马上通知位于正东方向200海里B处的西安舰，西安舰测得C处位于其北偏西60°方向上，请问此时两舰距C处的距离分别是多少？
23．（8分）如图，∠ABD＝∠BCD＝90°，DB平分∠ADC，过点B作BM∥CD交AD于M，连接CM交DB于N．
（1）求证：BD2＝AD•CD．
（2）若CD＝6，AD＝8，求DN的长．
24．（10分）如图，某人在山坡坡脚A处测得电视塔尖点C的仰角为60°，沿山坡向上走到P处再测得点C的仰角为45°，已知OA＝100米，山坡坡度为（即tan∠PAB＝），且O，A，B在同一条直线上．求电视塔OC的高度以及此人所在位置点P的铅直高度．（测倾器的高度忽略不计，结果保留根号形式）
25．（12分）已知在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝4．点Q是线段AC上的一个动点，过点Q作AC的垂线交线段AB（如图1）或线段AB的延长线（如图2）于点P．
（1）当点P在线段AB上时，求证：△AQP∽△ABC；
（2）当△PQB为等腰三角形时，求AP的长．
2022-2023学年山东省聊城市慧德中学等校九年级（上）第一次联考数学试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（每题3分，共12小题，共36分）
1．（3分）已知α为锐角，且sin（α﹣10°）＝，则α等于（ ）
A．70° B．60° C．50° D．30°
【分析】根据特殊角的三角函数值可得α﹣10°＝60°，进而可得α的值．
【解答】解：∵sin（α﹣10°）＝，
∴α﹣10°＝60°，
∴α＝70°．
故选：A．
2．（3分）下列图形不一定相似的是（ ）
A．两个等边三角形
B．各有一个角是110°的两个等腰三角形
C．两个等腰直角三角形
D．各有一个角是45°的两个等腰三角形
【分析】本题可根据相似三角形的判定定理进行求解．
【解答】解：A选项，正确，根据三边对应成比例来判定；
B选项，正确，根据两角对应相等来判定；
C选项，正确，根据两角对应相等来判定；
D选项，45°的角可能是顶角，也可能是底角，没有指代清楚，故错误．
故选：D．
3．（3分）点M（cos30°，sin30°）关于原点中心对称的点的坐标是（ ）
A．（，） B．（﹣，﹣） C．（﹣，） D．（﹣，﹣）
【分析】利用特殊角的三角函数值确定出M坐标，找出关于原点中心对称的点坐标即可．
【解答】解：点M（cos30°，sin30°）化简得：M（，），
关于原点对称的点的坐标是（﹣，﹣），
故选：D．
4．（3分）如图，在△ABC中，DE∥BC，DF∥AC，若＝，则下列结论正确的是（ ）
A．＝ B．＝
C．＝ D．＝
【分析】先由＝得＝，再由DE∥BC证明△ADE∽△ABC，则＝＝≠，可判断A错误；
假设＝正确，由DF∥AC得∠A＝∠BDF，而∠ADE＝∠B，即可证明△ADE∽△DBF，得＝＝，因为＝，所以＝，得DF＝BF，由△DBF∽△ABC得＝，则AC＝BC，与已知条件不符，可判断B错误；
由△ADE∽△ABC得＝＝≠，可判断C错误；
由△ADE∽△DBF得＝＝，可判断D正确，于是得到问题的答案．
【解答】解：∵＝，
∴＝，
∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴＝＝≠，
故A错误；
假设＝正确，
∴DF∥AC，
∴∠A＝∠BDF，
∵∠ADE＝∠B，
∴△ADE∽△DBF，
∴＝＝，
∵＝，
∴DF＝BF，
∵△DBF∽△ABC，
∴＝，
∴AC＝BC，
显然与已知条件不符，
∴＝不正确，
故B错误；
∵△ADE∽△ABC，
∴＝＝＝≠，
故C错误；
∵△ADE∽△DBF，
∴＝＝＝，
故D正确，
故选：D．
5．（3分）线段AB两个端点的坐标分别为A（6，6），B（8，2），以原点O为位似中心，将线段AB缩小为原来的后得到对应的线段CD，则端点C的坐标为（ ）
A．（3，3） B．（3，3）或 （﹣3，﹣3）
C．（﹣4，﹣1） D．（4，1）
【分析】根据所给相似比把各坐标都乘以或﹣即可．
【解答】解：∵线段AB两个端点的坐标分别为A（6，6），B（8，2），以原点O为位似中心，
将线段AB缩小为原来的后得到对应的线段CD，
∴端点C的坐标为：（3，3）或 （﹣3，﹣3）．
故选：B．
6．（3分）如图，点A为∠α边上的任意一点，作AC⊥BC于点C，CD⊥AB于点D，则sinα等于（ ）
A． B． C． D．
【分析】先由∠B+∠BAC＝∠ACD+∠BAC＝90°知∠B＝∠ACD＝∠α，再分别在Rt△ABC、Rt△BCD、Rt△ACD中表示出sinα，据此可得答案．
【解答】解：∵AC⊥BC、CD⊥AB，
∴∠ACB＝∠CDB＝90°，
∴∠B+∠BAC＝∠ACD+∠BAC＝90°，
则∠B＝∠ACD＝∠α，
在Rt△ABC中，sinα＝；
在Rt△BCD中，sinα＝；
在Rt△ACD中，sinα＝；
故选：C．
7．（3分）如图，点D在△ABC的边AC上，添加一个条件，使得△ADB∽△ABC，下列不正确的是（ ）
A．∠ABD＝∠C B．∠ADB＝∠ABC C． D．
【分析】利用相似三角形的判定方法依次判断即可．
【解答】解：A、若∠ABD＝∠C，∠A＝∠A，则△ADB∽△ABC，故此选项不符合题意；
B、若∠ADB＝∠ABC，∠A＝∠A，则△ADB∽△ABC，故此选项不符合题意；
C、若，其夹角不相等，则不能判定△ADB∽△ABC，故此选项符合题意；
D、若，∠A＝∠A，则△ADB∽△ABC，故此选项不符合题意．
故选：C．
8．（3分）如图，▱ABCD中，E是AB延长线上一点，DE交BC于点F，且BE：AB＝3：2，AD＝10，则CF＝（ ）
A．2 B．3 C．4 D．6
【分析】由平行四边形的性质可得DC∥AB，AD∥BC，DC＝AB，AD＝BC，则可判定△CDF∽△BEF，从而可得比例式，结合DC＝AB，AD＝BC及BE：AB＝3：2，可得答案．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴DC∥AB，AD∥BC，DC＝AB，AD＝BC，
∴△CDF∽△BEF，
∴BE：DC＝BF：CF，
∵BE：AB＝3：2，DC＝AB，
∴BE：DC＝BF：CF＝3：2，
∴CF：BF＝2：3，
∴CF：BC＝2：5，
∵AD＝BC＝10，
∴CF：10＝2：5．
∴CF＝4．
故选：C．
9．（3分）如图，小颖为测量学校旗杆AB的高度，她在E处放置一块镜子，然后退到C处站立，刚好从镜子中看到旗杆的顶部B．已知小颖的眼睛D离地面的高度CD＝1.5m，她离镜子的水平距离CE＝0.5m，镜子E离旗杆的底部A处的距离AE＝2m，且A、C、E三点在同一水平直线上，则旗杆AB的高度为（ ）
A．4.5m B．4.8m C．5.5m D．6 m
【分析】根据题意得出△ABE∽△CDE，进而利用相似三角形的性质得出答案．
【解答】解：由题意可得：AE＝2m，CE＝0.5m，DC＝1.5m，
∵△ABE∽△EDC，
∴＝，
即＝，
解得：AB＝6，
故选：D．
10．（3分）如图，在矩形纸片ABCD中，AB＝5，BC＝3，将△BCD沿BD折叠到△BED位置，DE交AB于点F，则cos∠ADF的值为（ ）
A． B． C． D．
【分析】利用矩形和折叠的性质可得BF＝DF，设BF＝x，则DF＝x，AF＝5﹣x，在Rt△ADF中利用勾股定理列方程，即可求出x的值，进而可得cos∠ADF．
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A＝90°，AB∥CD，AD＝BC＝3，AB＝CD＝5，
∴∠BDC＝∠DBF，
由折叠的性质可得∠BDC＝∠BDF，
∴∠BDF＝∠DBF，
∴BF＝DF，
设BF＝x，则DF＝x，AF＝5﹣x，
在Rt△ADF中，32+（5﹣x）2＝x2，
∴x＝，
∴cos∠ADF＝，
故选：C．
11．（3分）如图，在△ABC中，CH⊥AB，CH＝h，AB＝c，若内接正方形DEFG的边长是x，则h、c、x的数量关系为（ ）
A．x2+h2＝c² B．x+h＝c C．h2＝xc D．＝+
【分析】先根据正方形的性质得到GF∥DE，从而证明△CGF∽△CAB，根据相似三角形的性质可列出比例式，再通过证明四边形DHMG是矩形表示出CM的长度，即可求解．
【解答】解：如图，设CH与GF交于点M，
∵四边形DEFG是正方形，
∴GF∥DE，∠GDE＝∠DGF＝90°，
∴△CGF∽△CAB，
∴＝，
∵CH⊥AB，
∴∠DHM＝90°，
∴四边形DHMG是矩形，
∴DG＝MH，
∵CH＝h，AB＝c，正方形DEFG的边长是x，
∴MH＝x，
∴CM＝CH﹣MH＝h﹣x，
∴＝，
∴＝1﹣，
∴＝﹣，
∴＝+，
故选：D．
12．（3分）如图，在Rt△OAB中，∠OBA＝90°，tan∠AOB＝，顶点A的坐标为（0，10）．将Rt△OAB绕点O逆时针旋转，每次旋转90°，则第2022次旋转结束时，点B的坐标为（ ）
A．（﹣3，9） B．（﹣9，﹣3） C．（9，﹣3） D．（﹣3，﹣9）
【分析】先得出OA＝10，再利用解直角三角形的知识确定B（3，9），由于2022÷4＝505…2，所以第2022次旋转结束时，相当于Rt△OAB绕点O逆时针旋转2次，由此求出点B坐标即可．
【解答】解：如图，过点B作BC⊥y轴于点C，
∵点A的坐标为（0，10），
∴OA＝10，
∵tan∠AOB＝，
∴设AB＝x，则OB＝3x，
∵在Rt△OAB中，∠OBA＝90°，
∴x2+（3x）2＝102，
解得x＝，
∴OB＝3x＝3，
在Rt△OBC中，设BC＝y，则OC＝3y，
∴，
解得y＝3，
∴BC＝3，则OC＝9，
∴B（3，9），
∵Rt△OAB绕点O逆时针旋转，每次旋转90°，
则第1次旋转结束时，点B的坐标为（﹣9，3）；
则第2次旋转结束时，点B的坐标为（﹣3，﹣9）；
则第3次旋转结束时，点B的坐标为（9，﹣3）；
则第4次旋转结束时，点B的坐标为（3，9）；
…
发现规律：旋转4次一个循环，
∴2022÷4＝505…2，
则第2022次旋转结束时，点B的坐标为（﹣3，﹣9）．
故选：D．
二．填空题（共5小题，每题3分，共15分）
13．（3分）如果两个相似多边形的面积比为4：9，那么它们的对应边高的比为 2：3 ．
【分析】根据相似多边形的面积比等于相似比的平方定义对应高的的平方比解决问题即可．
【解答】解：∵相似多边形的面积比等于相似比的平方，面积比为4：9，
∴对应高的比＝相似比＝2：3，
故答案为：2：3．
14．（3分）如图，等边△ABC的边长为6，P，D分别是BC、AC边上点，且∠APD＝60°，BP＝2，则CD长为 ．
【分析】证明△ABP∽△PCD后，利用相似三角形的性质与判定即可求出答案．
【解答】解：∵∠B＝∠APD＝∠C＝60°，
∠APC＝∠B+∠BAP，
∴∠B+∠BAP＝∠APD+∠CPD，
即∠BAP＝∠CPD，
∴△ABP∽△PCD，
∴，
∵AB＝BC＝6，BP＝2，
∴CP＝BC﹣BP＝6﹣2＝4，
∴，
∴CD＝．
答：CD的长为．
故答案为：．
15．（3分）如图，△ABC的顶点在正方形网格的格点上，则tanA的值为 2 ．
【分析】利用勾股定理根据格点先计算AB、AC，利用三角形的面积计算CD的值，最后计算∠A的正切值．
【解答】解：由格点知：AB＝＝3，
AC＝＝．
∵S△ABC＝•BC•AE
＝×4×3
＝6，
S△ABC＝•AB•CD
＝×3×CD
＝，
∴＝6，
∴CD＝2．
∴AD＝
＝．
∴tanA＝＝2．
16．（3分）如图，D、E分别是△ABC的边AB、BC上的点，且DE∥AC，AE、CD相交于点O，若S△DOE：S△COA＝1：25，则S△BDE与S△CDE的比＝ 1：4 ．
【分析】根据相似三角形的判定定理得到△DOE∽△COA，根据相似三角形的性质定理得到 ＝，＝＝，结合图形得到＝，由此即可得到答案．
【解答】解：∵DE∥AC，
∴△DOE∽△COA，又S△DOE：S△COA＝1：25，
∴＝，
∵DE∥AC，
∴＝＝，
∴＝，
∴S△BDE与S△CDE的比是1：4，
故答案为：1：4．
17．（3分）如图所示，在矩形ABCD中，AB＝10cm，AD＝20cm，两只小虫P和Q同时分别从A，B出发沿AB，BC向终点B，C方向前进，小虫P每秒走1cm，小虫Q每秒走2cm，它们同时出发t秒时，以P、B、Q为顶点的三角形与以A、C、D为顶点的三角形相似，则t＝ 2或5 秒．
【分析】要使以P、B、Q为顶点的三角形与以A、C、D为顶点的三角形相似，则要分两种情况进行分析．分别是△PBQ∽△CDA或△QBP∽△CDA，从而解得所需的时间．
【解答】解：①若△PBQ∽△CDA，
则，
即，解得t＝5；
②若△QBP∽△CDA，
则，
即，解得t＝2．
故答案为：2或5．
三．解答题（共8小题，共69分）
18．（8分）计算：
（1）（π﹣2）0﹣|1﹣tan60°|﹣（）﹣1+；
（2）cos60°﹣2sin245°+tan260°﹣sin30°．
【分析】（1）直接利用二次根式的性质以及特殊角的三角函数值、负整数指数幂的性质、零指数幂的性质分别化简得出答案；
（2）直接利用特殊角的三角函数值分别化简得出答案．
【解答】解：（1）原式＝1+1﹣﹣2+2
＝；
（2）原式＝﹣2×（）2+×（）2﹣
＝﹣2×+×3﹣
＝﹣1+2﹣
＝1．
19．（7分）如图，平面直角坐标系中，△ABC各顶点坐标分别是A（﹣4，4），B（﹣1，2），C（﹣3，1）．
（1）在坐标系中画出将△ABC绕点C顺时针旋转90°得到的△A1B1C1；
（2）以原点O为位似中心画△A2B2C2，使它与△ABC相似，相似比为2．且与△ABC分别在点O的两侧，并写出点C2的坐标；
（3）直接写出△A2B2C2的面积： 14 ．
【分析】（1）利用旋转变换的性质分别作出A，B，C的对应点A1，B1，C1即可；
（2）利用位似变换的性质分别作出A，B，C的对应点A2，B2，C2即可．
（3）把三角形的面积看成矩形的面积减去周围的三个三角形面积即可．
【解答】解：（1）如图，△A1B1C1即为所求；
（2）如图，△A2B2C2即为所求，点C2的坐标（6，﹣2）；
（3）△A2B2C2的面积＝6×6﹣×2×4﹣×2×6﹣×4×6＝14．
故答案为：14．
20．（8分）如图，△ABC中，D是AB上的一点，∠ABC＝∠ACD．
（1）求证：△ABC∽△ACD；
（2）若AC＝3，AD＝2，求AB的长．
【分析】（1）由∠ABC＝∠ACD结合公共角∠BAC＝∠CAD，即可证出△ABC∽△ACD；
（2）利用相似三角形的性质可得出＝，结合AC＝3，AD＝2，即可求出AB的长．
【解答】（1）证明：∵∠ABC＝∠ACD，∠BAC＝∠CAD，
∴△ABC∽△ACD．
（2）解：∵△ABC∽△ACD，
∴＝，
即＝，
∴AB＝，
∴AB的长为．
21．（8分）在△ABC中，AC＝4，BC＝6，∠C为锐角且tanC＝1．
（1）求△ABC的面积；
（2）求AB的值；
（3）求cos∠ABC的值．
【分析】（1）过点A作AD⊥BC，根据∠C的正切值确定∠C的度数，再利用直角三角形的边角间关系求出AD、CD，最后利用三角形的面积公式算出△ABC的面积；
（2）先利用线段的和差关系求出BD，再利用勾股定理求出AB；
（3）在Rt△ABD中利用直角三角形的边角间关系求出∠B的余弦值．
【解答】解：（1）过点A作AD⊥BC，垂足为D．
∴∠ADC＝∠ADB＝90°．
∵∠C为锐角且tanC＝1，
∴∠C＝45°＝∠DAC．
∴AD＝DC．
∵sinC＝，AC＝4，
∴DC＝AD＝sin45°×AC＝×4＝4．
∴S△ABC＝BC×AD＝×6×4＝12．
（2）∵DC＝AD＝4，BC＝6，
∴BD＝BC﹣DC＝2．
在Rt△ABD中，
AB＝＝＝2．
（3）在Rt△ABD中，
cos∠ABC＝＝＝．
22．（8分）某天，北海舰队在中国南海例行训练，位于A处的济南舰突然发现北偏西30°方向上的C处有一可疑舰艇，济南舰马上通知位于正东方向200海里B处的西安舰，西安舰测得C处位于其北偏西60°方向上，请问此时两舰距C处的距离分别是多少？
【分析】过点C作CD⊥BA的延长线于点D，由题意可证明△ABC为等腰三角形，所以AC＝AB＝200海里．再求出CD的距离，最后根据BC＝2CD求BC的长．
【解答】解：过点C作CD⊥BA的延长线于点D，如图．
由题意可得：∠CAD＝60°，∠CBD＝30°＝∠DCA，
∴∠BCA＝∠CAD﹣∠CBD＝60°﹣30°＝30°．
即∠BCA＝∠CBD，
∴AC＝AB＝200（海里）．
在Rt△CDA中，CD＝sin∠CAD×AC＝＝100（海里）．
在Rt△CDB中，CB＝2CD＝200（海里）．
故位于A处的济南舰距C处的距离200海里，位于B处的西安舰距C处的距离200海里．
23．（8分）如图，∠ABD＝∠BCD＝90°，DB平分∠ADC，过点B作BM∥CD交AD于M，连接CM交DB于N．
（1）求证：BD2＝AD•CD．
（2）若CD＝6，AD＝8，求DN的长．
【分析】（1）由DB平分∠ADC得到∠ADB＝∠CDB，则可判断△ABD∽△BCD，利用相似比可得到结论；
（2）先证明∠MBD＝∠MDB得到MB＝MD，再证明∠A＝∠ABM得到MA＝MB，则MA＝MB＝MD＝AD＝4，接着利用BD2＝AD•CD得到BD2＝48，再根据BM∥CD，得出＝＝，
计算出DN的长．
【解答】（1）证明：∵DB平分∠ADC，
∴∠ADB＝∠CDB，
∵∠ABD＝∠BCD＝90°，
∴△ABD∽△BCD，
∴BD：CD＝AD：BD，
∴BD2＝AD•CD；
（2）解：∵BM∥CD，
∴∠MBD＝∠CDB，BM⊥BC，
而∠MDB＝∠CDB，
∴∠MBD＝∠MDB，
∴MB＝MD，
∵∠A+∠ADB＝90°，∠ABM+∠MBD＝90°，
∴∠A＝∠ABM，
∴MA＝MB，
∴MA＝MB＝MD＝AD＝4，
∵BD2＝AD•CD，CD＝6，AD＝8，
∴BD2＝8×6＝48，BD＝4，
∵BM∥CD，
∴＝＝，
∴
∴
∴DN＝．
24．（10分）如图，某人在山坡坡脚A处测得电视塔尖点C的仰角为60°，沿山坡向上走到P处再测得点C的仰角为45°，已知OA＝100米，山坡坡度为（即tan∠PAB＝），且O，A，B在同一条直线上．求电视塔OC的高度以及此人所在位置点P的铅直高度．（测倾器的高度忽略不计，结果保留根号形式）
【分析】在图中共有三个直角三角形，即RT△AOC、RT△PCF、RT△PAE，利用60°、45°以及坡度比，分别求出CO、CF、PE，然后根据三者之间的关系，列方程求解即可解决．
【解答】解：作PE⊥OB于点E，PF⊥CO于点F，
在Rt△AOC中，AO＝100，∠CAO＝60°，
∴CO＝AO•tan60°＝100（米）
设PE＝x米，
∵tan∠PAE＝＝，
∴AE＝2x．
在Rt△PCF中，
∠CPF＝45°，CF＝100﹣x，PF＝OA+AE＝100+2x，
∵PF＝CF，
∴100+2x＝100﹣x，
解得x＝（米）．
答：电视塔OC高为100米，点P的铅直高度为（米）．
25．（12分）已知在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝4．点Q是线段AC上的一个动点，过点Q作AC的垂线交线段AB（如图1）或线段AB的延长线（如图2）于点P．
（1）当点P在线段AB上时，求证：△AQP∽△ABC；
（2）当△PQB为等腰三角形时，求AP的长．
【分析】（1）由两对角相等（∠APQ＝∠C，∠A＝∠A），证明△AQP∽△ABC；
（2）当△PQB为等腰三角形时，有两种情况，需要分类讨论．
（I）当点P在线段AB上时，如题图1所示．由三角形相似（△AQP∽△ABC）关系计算AP的长；
（Ⅱ）当点P在线段AB的延长线上时，如题图2所示．利用角之间的关系，证明点B为线段AP的中点，从而可以求出AP．
【解答】（1）证明：∵PQ⊥AQ，
∴∠AQP＝90°＝∠ABC，
在△APQ与△ABC中，
∵∠AQP＝90°＝∠ABC，∠A＝∠A，
∴△AQP∽△ABC．
（2）解：在Rt△ABC中，AB＝3，BC＝4，由勾股定理得：AC＝5．
∵∠QPB为钝角，
∴当△PQB为等腰三角形时，
（I）当点P在线段AB上时，如题图1所示．
∵∠QPB为钝角，
∴当△PQB为等腰三角形时，只可能是PB＝PQ，
由（1）可知，△AQP∽△ABC，
∴，即，解得：PB＝，
∴AP＝AB﹣PB＝3﹣＝；
（Ⅱ）当点P在线段AB的延长线上时，如题图2所示．
∵∠QBP为钝角，
∴当△PQB为等腰三角形时，只可能是PB＝BQ．
∵BP＝BQ，∴∠BQP＝∠P，
∵∠BQP+∠AQB＝90°，∠A+∠P＝90°，
∴∠AQB＝∠A，
∴BQ＝AB，
∴AB＝BP，点B为线段AP中点，
∴AP＝2AB＝2×3＝6．
综上所述，当△PQB为等腰三角形时，AP的长为或6．
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