2021南昌十中高三下学期第一次月考数学（文）试题含答案

南昌十中2020－2021学年下学期第一次月考

 高三数学（文）试题   

说明：本试卷分第I卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，全卷满分150分。考试用时120分钟，

注 意 事 项：

考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求。

1．答题前，请您务必将自己的姓名、准考证号或IS号用书写黑色字迹的0．5毫米签字笔填写在答题卡和答题纸上。

2．作答非选择题必须用书写黑色字迹的0．5毫米签字笔写在答题纸上的指定位置，在其它位置作答一律无效。作答选择题必须用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，请保持卡面清洁和答题纸清洁，不折叠、不破损。

3．考试结束后，请将答题纸交回。

一、选择题（本大题共12题，每小题5分，共计60分,在每小题列出的四个选项中只有一项符合题目要求）

1．若复数满足（其中为虚数单位），则复数的虚部为（   ）

A．       B．          C．           D．

2. 已知集合，，若，则（   ）

A. －1       B. －2          C. 0 D. 1

3. 椭圆：的焦点在轴上，其离心率为，则（   ）

A. 椭圆的短轴长为 B. 椭圆的长轴长为4

C. 椭圆的焦距为4 D.

4．某学校举行诗歌朗诵比赛，最终甲、乙、丙三位同学夺得前三名，关于他们三人的排名评委老师给出以下说法：①甲是第一名：②乙不是第二名：③丙不是第一名，若三种说法中只有一个说法正确，则得第三名的是（   ）

A．甲       B．乙             C．丙           D．无法判定

5. 函数 的图象大致为（   ）A.B.C.D.

6．甲、乙两名同学分别从四个景点中选取一个景点游玩，则这两名同学选取不同景点的概率为（   ）

A． B． C．  D．

7. 已知平面，，直线l，m，且有，，给出下列命题：①若，则；②若，则；③若，则；其中正确命题的个数是（  ）

A. 0                B. 1              C. 2                D. 3

8.在等差数列中，，前项和有最小值，则当时，的最大值为(    )  

A．7     B．8      C．13      D．14

9．将函数的图象向左平移个单位长度，所得图象对应的函数（   ）

A．在区间上单调递增              B．最小正周期为  

C．图象关于对称          D．图象关于对称

10．已知，则的大小关系为（   ）

A．        B．   9     C．       D．

11．设，分别是双曲线（）的左右焦点，过作双曲线的一条渐近线的垂线，垂足为，若，则双曲线的离心率为 （    ）

A．    B．     C．       D．

A．（﹣∞，e﹣2）     B．（0，e﹣2）    C．（﹣∞，e﹣1）     D．（0，e﹣1）

二、填空题（本大题共4题，每小题5分，共计20分）

13．某班级为了解本班49名学生的体质健康状况，将这些学生编号为1，2，3，…，49，从这些学生中用系统抽样方法等距抽取7名学生进行体质健康测试．若32号学生被抽到，则在8~14号学生中被抽到的是    号．

14．已知平面向量与的夹角为，若，，则 _____.

15. 已知三棱锥，，，平面且，则此三棱锥的外接球的体积为________.

16.已知数列{an}对任意的n∈N*都满足，，则数列{bn}的前n项和为        __．

三、解答题（共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22，23题为选考题，考生根据要求作答．）

（一）必答题

17．（12分）在①，②，

③这三个条件中，仼选一个，补充在下面问题中，（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分）

问题：在中，分别为角所对的边，，________．

（1）求角B；

（2）求的最大值

18．（12分）某生物研究所研发了某种型号的新冠疫苗，为检验该种型号疫苗的效果，研究所将疫苗用在小白鼠身上进行科研实验，得到如下数据：

从未注射疫苗的小白鼠中任取1只，取到“未感染病毒”的小白鼠的概率为．

（1）能否有99.9%的把握认为注射此疫苗有效？

（2）在感染病毒的小白鼠中，按未注射疫苗和注射疫苗的比例抽取6只进行病理分析，然后从这6只小白鼠中随机抽取2只对注射疫苗的情况进行核实，求至少有1只为注射过疫苗的概率．

附：K2＝．

18．（12分）四棱锥P﹣ABCD中，面PAD⊥面ABCD，AB∥CD且AB⊥AD，

PA＝CD＝2AB＝2，AD＝PD＝．E为PB中点．

（1）求证：PA⊥面CDE；

（2）求点E到面PCD的距离．

20．（12分）已知椭圆分别为C的左右焦点，离心率为椭圆上的任意一点，且的最小值为1．

（1）求椭圆C的标准方程．

（2）过的直线交椭圆C与两点，其中A关于x轴的对称点为（异与点B），试判断所在的直线是否恒过定点？若恒过定点，求出定点坐标，若不是请说明理由．

21．（12分）已知函数，（其中…是自然对数的底数），

（1）讨论函数的单调性；

（2）设函数，若对任意的恒成立，求实数a的取值范围．

（二）选考题：共10分．请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．

22. [选修4 – 4:坐标系与参数方程]（10分）在平面直角坐标系xOy中，曲线的参数方程为（t为参数）以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为

（1）求曲线的普通方程和的直角坐标方程；

（2）设点P的直角坐标为,若曲线与相交于A,B两点，求的值．

23．【选修4：不等式选讲】（10分）已知函数

（1）若不等式恒成立，求实数m的取值范围；

（2）在（1）的条件下，若为正实数，且三数之和为m的最大值，求证：

文科数学参考答案

一、选择题（本大题共12题，每小题5分，共计60分）

二、填空题（本大题共4题，每小题5分，共计20分）

13．11

15．3

16．

16.

三、解答题（共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22，23题为选考题，考生根据要求作答．）

17.（本大题12分）（1）解：选择①：由，得即所以

因为，所以，故所以    （6分）

选择②：由正弦定理，可化为

由余弦定理得因为，所以，    （6分）

选择③：由正弦定理得，又，由得因为所以因为，所以．   （6分）

（2）在中，由（1）及，

，    （8分）

所以

    （10分）

因为且为锐角，所以存在角A使得，所以的最大值为   （12分）

18．（本大题12分）解：（1）根据条件＝，解得m＝100，

从而a＝40,b＝70,n＝100,（2分）由K2＝≈18.182,（5分）

因为18.182＞10.828，所以有99.9%的把握认为注射此疫苗有效．（6分）

（2）在感染病毒的小白鼠中，未注射疫苗和注射疫苗的比例为2：1，

所以从未注射疫苗的小白鼠中抽取4只，记为a、b、c、d；

从注射疫苗的小白鼠中抽取2只，记为E、F；（8分）

从6只小白鼠中抽取2只共有15种方法，

即有ab、ac、ad、aE、aF、bc、bd、bE、bF、cd、cE、cF、dE、dF、EF，

记A＝{至少有1只为注射过疫苗}，则A包含9个基本事件，（11分）

从而P（A）＝＝，所以至少有1只为注射过疫苗的概率是．（12分）

19．（本大题12分）

解：（1）证明：取PA的中点F，连接DF,EF，

因为EF∥AB，而AB∥CD，

所以EF∥CD，从而有E,F,C,D四点共面，

又AD＝DP,且F为AP的中点，所以PA⊥DF,（3分）

又面PAD⊥面ABCD，且CD⊥AD，

由面面垂直性质定理得CD⊥面PAD,（5分）

从而PA⊥CD,CD∩DF＝F，

故PA⊥面CDE．（6分）

（2）由（1）知EF∥CD，故E点到面PCD的距离即为F点到面PCD的距离．

过F点作FH⊥PD，因为CD⊥面PAD，

所以FH⊥CD，故FH⊥面PCD,

在Rt△PDF中，PF＝1,PD＝,DF＝，

从而FH＝＝,

故E点到面PCD的距离为．（12分）

20．（本大题12分）详解（1）根据题意知，解的由此可得，

故椭圆的标准方程为    （4分）

（2）由（1）知，，直线的斜率不可能为0，因此设直线的方程为，与椭圆C联立，得关于y的一元二次方程，设，则

根据韦达定理有①    （7分）

而所在的直线经过点，因此

等价于

将①式代入，得，化简得，

因此直线恒过定点．    （12分）

21．（本大题12分）详解：（1）因为，所．

令，则，（2分）

当时，，函数单调递减；

当时，，函数单调递增．（4分）

所以，又因为，

所以在定义域上单调递增   （ 5分 ）

（2）由得即，即：

即：

所以，即，对任意恒成立，（7分）

设，则

所以，当时，，函数单调递增，

且当时，时，．

若，则，

若，因为，且在上单调递增，所以，

综上可知，对任意恒成立，即对任意恒成立．（10分）

设，则

所以在单调递增，所以，

即a的取值范围为．    （12分）

22．（本大题10分）解：（1）把参数方程（t为参数）消去参数t得

（2分）

由的极坐标方程为，两边同乘以，得，将且代入，得曲线的直角坐标方程为；    （5分）

（2）直线的标准参数方程（t为参数）

把直线的参数方程（t为参数）代入曲线的普通方程中，整理得，（8分）

利用参数的几何意义知：

．    （10分）

23.（本大题10分）详解：（1）由题可知

当时，

当时，

当时，

所以函数的值域为，

若不等式恒成立，则    （5分）

（2）由（1）知

证明：

即：

当且仅当时取“=”号    （10分）