2021内江威远中学高三上学期12月月考数学（理）试题含答案

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威远中学校2020-2021学年高三上学期第三次月考

数学（理）2020.12.4

 数学试题共4页.满分150分.考试时间120分钟.

注意事项：

1.答题前，务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上.

2.答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号.

3.答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上.

4.所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效.

第Ⅰ卷(选择题，共60分)

一、选择题：(本大题共12个小题，每小题5分，共60分)在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的；各题答案必须答在答题卡上相应的位置.

1.已知集合，则A中元素的个数为(   )

A．9               B．8               C．5               D．4

2.设复数满足,则复数(    )

A. B. C. D.

3.的展开式中的常数项为（    ）

A. B. C. D.

4.设,则“”是“”的(   )

A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件                 D.既不充分也不必要条件

5.已知函数若则实数的值等于(   )

A．        B．     C．1        D．3

6.若，则(   )

A． B． C． D．

7.已知随机变量服从正态分布．若，则(   )

A．0.477       B．0.628         C．0.954      D．0.977

8.将函数的图象向左平移个单位长度，得到的函数为偶函数，则的值为(    )

A. B. C. D.

9.函数的图象大致为(   )

A.  B.         C.           D.

10.从装有若干个大小相同的红球、白球和黄球的袋中随机摸出1个球，摸到红球、白球和黄球的概率分别为，从袋中随机摸出一个球，记下颜色后放回，连续摸3次，则记下的颜色中有红有白，但没有黄的概率为（   ）

A． B． C． D．

11.已知函数是定义在上的奇函数，且当时，，则方程的所有根的和为(   )

A.               B.1              C.3           D. 5

12.定义在上的函数的导函数为，且，若，则不等式的解集为(   )

A． B． C． D．

 第Ⅱ卷（非选择题，共90分）

二、填空题：本大共4小题 ，每小题5分,满分20分．

13.________.

14.已知实数满足约束条件，则的最大值是             .

15.已知向量的夹角为，，.若，则__________．

16.若函数是偶函数, 是奇函数,已知,使得函数在点,处的切线斜率互为倒数,那么点的坐标为__________.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。

17.设点与是函数的两个极值点.

（1）.求,的值     （2）.求的单调区间.

18.已知数列是等差数列，前项和为，且．

（1）求．  （2）设，求数列的前项和．

19.已知函数．

（1）求函数的最小正周期；（2）在中，角所对的边为，若，且，求的外接圆半径.

20.随着科技的发展，网购已经逐渐融入了人们的生活．在家里面不用出门就可以买到自己想要的东西，在网上付款即可，两三天就会送到自己的家门口，如果近的话当天买当天就能送到，或者第二天就能送到，所以网购是非常方便的购物方式．某公司组织统计了近五年来该公司网购的人数（单位：人）与时间（单位：年）的数据，列表如下：

（I）依据表中给出的数据，是否可用线性回归模型拟合y与t的关系，请计算相关系数r并加以说明（计算结果精确到0.01）．（若，则线性相关程度很高，可用线性回归模型拟合）

附：相关系数公式，参考数据

（II）建立y关于t的回归方程，并预测第六年该公司的网购人数（计算结果精确到整数）．

（参考公式：

21.已知.

（1）若，且在恒成立，求实数的取值范围；

（2）当时，若不是的极值点，求实数的取值.

22.在直角坐标系中,曲线的参数方程为 (为参数),以原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线的极坐标方程为且在极坐标下点

（1）求曲线的普通方程和曲线的直角坐标方程;

（2）若曲线与曲线交于两点,求的值.

23.[选修4—5：不等式选讲]

已知函数，设的最小值为．

（1）求；

（2）若正实数满足，求的最大值.

威远中学校2020-2021学年高三上学期第三次月考

数学（理）参考答案

一选择题:AABBA    BCDBC  CA

二填空题：    13. 2            14.7         15.           16.或

三解答题

17.解（1） ,由,（2分）

即解得, .（6分）
（2）由1得,（7分）

令,,（8分）

解得或.

由,得;

由,得或.（11分）

∴函数的单调减区间为,,

单调增区间为.（12分）

18.解（1）由题意，数列是等差数列，所以，又，，（2分）

由，得，所以，解得， （4分）

所以数列的通项公式为． （6分）

（2）由（1）得，（7分）

，

，

两式相减得，（9分）

，即．（12分）

 19.解：（1），所以；（6分）

（2）由（1），，得，

∵，∴，则，（8分）

由，即，（10分）

设的外接圆半径为，则，即（12分）

 20.解：（1）由题知，，，，

则

.

故y与t的线性相关程度很高，可用线性回归模型拟合.（6分）

（2）由1得，

.   所以y与t的回归方程为.

将带入回归方程，得，

所以预测第6年该公司的网购人数约为91人.（12分）

21解：（1）由题,当时, ,所以,

设,所以恒成立,

所以在上为增函数,所以,又,

所以恒成立,所以在上为增函数,所以,所以（5分）

（2）,

令,则,

设,

则,

所以在上递增,且,（6分）

①当时, ,所以当时, ；当时, ,

即当时, ；当时, ,

所以在上递减,在上递增,所以,

所以在上递增,所以不是的极值点,所以时,满足条件；（9分）

②当时, ,又因为在上递增,

所以,使得,所以当时, ,即,

所以在上递增,又,

所以当时, ；当时, ,所以是的极小值点,不合题意,

综上, （12分）

22.解：（1）的参数方程：（为参数）       

得

曲线的直角坐标方程： （2分）

由

得

所以曲线的直角坐标方程为（5分）

（2）点的极坐标为，故其直角坐标为

由，则其参数方程为

将的参数方程代入曲线的方程

得   ①（6分）

由于恒成立，不妨令方程①有两个不等实根，

由于，所以异号，且（8分）

则

（10分）

23.解：（1），当时，；当时，；

当时，，所以；（5分）

（2）由（1），，

所以

，当且仅当时取等号，（9分）

所以的最大值为（10分）