2021“超级全能生”高三全国卷地区1月联考试题（乙卷）数学（文）含答案

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“超级全能生”2021高考全国卷地区1月联考乙卷

数学(文科)

注意事项：

1.本试题卷共4页，满分150分，考试时间120分钟。

2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡的相应位置。

3.全部答案在答题卡上完成，答在本试题卷上无效。

4.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

5.考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，满分60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合A＝{0，a}，B＝{x∈Z|x2－x－2≤0}，若A∩B＝{0，1}，则∁BA＝

A.{－1，1}     B.{1，2}     C.{－1，1，2}     D.{－1，2}

2.已知>0(i为虚数单位)，则实数a等于

A.－1     B.0     C.1     D.±1

3.如图是某超市上一周不同品牌矿泉水销售量统计图，农夫山泉、娃哈哈、乐百氏、屈臣氏每箱利润分别为12元、8元、10元、13元，则平均每箱矿泉水利润为

A.9元     B.10元     C.11元     D.12元

4.在2000年威尼斯世界建筑设计展览会上，方圆大厦成为亚洲唯一获奖的作品，获得“世界上最具创意性和革命性的完美建筑”的美誉建筑，大厦立面以颇具传统文化意味的“古钱币”为外形，借此预示着人驻大厦的业主财源广进，事业发达，也有人认为这是象征中国传统文化的天圆地方，若将“内方”视为空心，其主视图和左视图如图所示，则其表面积为

A.9000π＋6600     B.9000π＋4800     C.9000π＋3000     D.9000π－1800

5.已知不等式ax3＋bx2－cx＋2≥0，且{a，b，c}＝{－1，0，2}，则不等式为二次不等式的概率为

A.     B.     C.     D.

6.已知点P和△ABC满足，且，则＝

A.     B.     C.     D.

7.已知数列{an}中，a1＝1，＝1(n∈N*)，若，则m＝

A.8     B.9     C.10     D.11

8.执行如图所示的程序框图，则输出的n＝

A.19     B.21     C.23     D.25

9.已知α，β∈(0，π)，cos(－α＋β)＝，tan(π－β)＝7，则tanα＝

A.－3     B.－     C.3     D.

10.已知点M(3，)是椭圆上的一点，F1，F2是椭圆的左、右焦点，若△MF1F2为等腰三角形，则该椭圆的离心率为

A.     B.     C.或     D.或

11.如图，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD为平行四边形，且AB＝AC＝BD，E为CD的中点，则下列说法不正确的是

A.BD⊥平面PAC

B.平面PAB⊥平面PAE

C.若F为PB的中点，则CF//平面PAE

D.若PA＝AB＝2，则直线PB与平面PAC所成角为

12.已知奇函数f(x)的定义域为{x|x∈R且x≠0}，且有f(3x)＝3f(x)，f(1)＝1，当x1>x2>0时，(x1－x2)()<0，则不等式≥x2的解集为

A.(－∞，－3]∪[3，＋∞)     B.[－3，0)∪(0，3]

C.(－∞，－1]∪[1，＋∞)     D.[－1，0)∪(0，1]

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.已知实数x，y满足约束条件则x－y的最小值为          。

14.已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)的部分图象如图所示，则f(0)＝          。

15.双曲线的光学性质：从双曲线一个焦点发出的光，经过双曲线反射后，反射光线的反向延长线都汇聚到双曲线的另一个焦点上。已知双曲线E：(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F2沿倾斜角120°出发的光线，经双曲线右支反射，若反射光线的倾斜角为30°，则该双曲线的离心率为          。

16.各项均为正数的等比数列{an}，满足lga2＋lga3＝lga4，且a2，a3＋1，a4成等差数列，数列{bn}满足b1＝1，数列{(bn＋1－bn)an}的前n项和Sn＝n2，则bn＝          。

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22，23题为选考题，考生根据要求作答。

(一)必考题：共60分。

17.(12分)

在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且b(cosC＋sinC)＝a。

(I)求角B的值；

(II)若c＝，c2＝a2＋b2－ab，求△ABC的面积。

18.(12分)

如图，在四棱锥E－ABCD中，点N为正方形ABCD的中心，△ECD是边长为2的正三角形，且平面ECD⊥平面ABCD，M为ED的中点。

(I)求证：直线MN//平面EAB；

(II)求三棱锥C－BDE的体积。

19.(12分)

2015－2019年，全国从事节能服务业务的企业数量逐年上升，但增速缓慢。根据中国节能协会发布的《2019节能服务产业发展报告》，截至2019年底，全国从事节能服务的企业数量统计如表所示：

(I)作出散点图，并根据散点图说明全国从事节能服务的企业数量与时间的相关关系；

(II)令x＝t－2017，求y关于x的回归直线方程；

(III)预测2021年，全国从事节能服务的企业数量约为多少家？

附：回归直线中斜率和截距的最小二乘法估计公式为：

。

20.(12分)

设抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，已知直线l1：mx－y－2m＝0，圆E：x2＋y2－2x－4y－4＝0。

(I)设直线l1与圆E的交点分别为P，Q，求当|PQ|取得最小值时，直线l1的方程；

(II)若抛物线过圆E的圆心，直线l1，l2过同一定点且与抛物线相交于A，B和C，D点，l1⊥l2，设M是AB的中点，N是CD的中点，证明：直线MN恒过定点。

21.(12分)

已知函数f(x)＝lnx＋ax2＋(a＋l)x。

(I)讨论函数f(x)的极值；

(II)若g(x)＝(x－1)(f(x)－ax2－ax)－x2－1，证明：函数g(x)有且仅有两个零点x1，x2，且x1x2＝l。

(二)选考题：共10分。请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时，请用2B铅笔在答题卡。上将所选题号后的方框涂黑。

22.[选修4－4：坐标系与参数方程](10分)

在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为(t为参数)，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l与极轴交于点N，且动点M满足|MN|＝1。

(I)求直线l的极坐标方程和点M的轨迹的极坐标方程C；

(II)若直线θ＝(ρ∈R)分别交直线l、曲线C于点A，B(非极点)，求的值。

23.[选修4－5：不等式选讲](10分)

设函数f(x)＝|x＋1|＋|x－1|。

(I)求不等式f(x)>3的解集；

(II)若f(x)≥－x＋t对任意x∈R恒成立，求实数t的取值范围。