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    2021福州福清西山学校高中部高三12月月考数学试题含答案

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    这是一份2021福州福清西山学校高中部高三12月月考数学试题含答案,共10页。试卷主要包含了 单项选择题, 多项选择题, 解答题等内容,欢迎下载使用。

    福清西山学校高中部2020-2021学年第一学期12月月考

    高三数学试卷

    (满分150分,考试时间120分钟)

    卷(选择题 共60分)

    一、 单项选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.

    1. 已知集合},,则(  )

    A.    B.     C.     D.

    2. 的(  )

    A. 充分不必要条件   B. 必要不充分条件  C. 充要条件  D. 既不充分也不必要条件

    3. 若复数满足,则在复平面上对应的点位于(  )

    A. 第一象限  B. 第二象限  C. 第三象限  D. 第四象限

    4. 已知为不同直线,为不同平面,则下列结论正确的是(  )

    A.             B.

    C.      D.

    5.三个数的大小关系是(  )

    A.  B.     C.   D.

    6. 如图,是单位圆O的直径,点是半圆弧上的两个三等分点,则=(  )

    A. 1        B.         C.         D.

    7. 已知等于(  )

    A.         B.       C.      D.

    8. 若双曲线与双曲线的渐近线相同,则双曲线的离心率

    为(  )

        A.            B.              C.              D.

     

     

    二、 多项选择题:本大题共4个小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求,全部选对的得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分.

    9. 中国的华为公司是全球领先的ICT(信息与通信)基础设施和智能终端提供商,其致力于把数字世界带给每个人、每个家庭、每个组织,构建万物互联的智能世界.其中华为的5G智能手机是全世界很多年轻人非常喜欢的品牌.为了研究某城市甲、乙两个华为5G智能手机专卖店的销售状况,统计了2020年4月到9月甲、乙两店每月的营业额(单位:万元),得到如图的折线图,则下列说法正确的是(  )

    A. 根据甲店的营业额折线图可知,该店月营业额的平均值在[31,32]内

    B. 根据乙店的营业额折线图可知,该店月营业额总体呈上升趋势

    C. 根据甲、乙两店的营业额折线图可知,乙店的月营业额极差比甲店小

    D. 根据甲、乙两店的营业额折线图可知,7,8,9月份的总营业额甲店比乙店少

    10.已知函数,则下列结论正确的是(  )

    A.函数是周期函数                 B.函数上有4个零点

    C.函数的图象关于对称       D.函数的最大值为

    11. 已知数列的前项和为,且,则下列结论正确的是(  )

    A. 是等比数列              B. 当

    C. 当       D.

    12. 记函数的定义域的交集为I,若存在,使得对任意,不等式恒成立,则称构成相关函数对.下列所给的两个函数构成相关函数对的有(  )

    A.      B.

    C.       D.

    卷(非选择题 共90分)

    三、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.

    13. 已知,则=______.

    14. _______.                         .

    15.设椭圆的焦点为,点在椭圆上,若为直角三角形,则的面积为_______.

    16. 任取一个正整数,若是奇数,就将该数乘3再加上1;若是偶数,就将该数除以2.反复进行上述两种运算,经过有限次步骤后,必进入循环圈1421,这就是数学史上著名的冰雹猜想(又称角谷猜想).如取正整数6,根据上述运算法则得出63105168421,共需要共8个步骤变成1(简称为8步雹程).现给出冰雹猜想的递推关系如下:

    时,试确定使得需要________步雹程;

    ,则所有可能的取值所构成的集合_______.(本题第一空2分,第二空3分)

    四、 解答题:本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

    17. (本小题满分10分)已知正三棱柱的底面边长为2,点分别为棱的中点.

    (1) 求证:直线平面

    (2) 若该正三棱柱的体积为,求直线与平面所成角的余弦值.

     

    18. (本小题满分12分)在 这三个条件中任选一个,补充在下面的问题中,并进行解答.

    问题:已知的三边所对的角分别为.若,________,求的面积.

    注:如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分.

     

    19.(本小题满分12分)记数列的前项和为,若,且

    (1)求证:数列为等比数列;

    (2)求的表达式.

     

    20.(本小题满分12分)已知数列满足.

    (1)求数列的通项公式;

    (2)求数列的前项和.

     

    21(本小题满分12分)已知为坐标原点,椭圆,点上的动点,三点共线,直线的斜率分别为

    (1)证明:

    (2)当直线过点时,求的最小值;

    (3)若,证明:为定值.

     

     

    22. (本小题满分12分)已知函数

    (1) 当时,求的最小值;

    (2) 若对任意恒有不等式成立.

    求实数的值;

    求证:.


    福清西山学校高中部2020-2021学年度第一学期月考高三数学试卷

    答案

    选择题:

    题号

    1

    2

    3

    4

    5

    6

    7

    8

    9

    10

    11

    12

    答案

    A

    B

    B

    C

    D

    C

    B

    A

    ABD

    ACD

    ABC

    BD

     

     

    四、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.

    1.    2           14.                            .
    1.           16.   9   {1,8,10,64} (本题第一空2分,第二空3分)

    四、 解答题:本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

    17. (本小题满分10分)

    (1) 证明:取BB1中点D,连接ED,FD,.....(1分)

    在平行四边形BCC1B1中,点E为CC1的中点,点D为BB1的中点,

    所以EDCB.

    B1BA1中,点F为A1B1的中点,点D为BB1的中点,

    所以FDA1B.........(3分)

    又ED,FD平面EFD,EDFD=D,所以平面EFD平面A1BC.

    又EF平面EFD,所以EF平面A1BC.......(5分)

    (2) 解:设AA1=h,VABCA1B1C1=SABC·h=×4h,

    所以h=2,即h=2......(6分)

    因为平面ABC平面A1B1C1,

    所以EF与平面ABC所成的角即为EF与平面A1B1C1所成的角.

    因为CC1平面A1B1C1,

    所以EF在平面A1B1C1上的射影为C1F,

    所以EFC1为EF与平面A1B1C1所成的角........(8分)

    因为EC1=,FC1=,所以EF=

    所以cosEFC1=,即EF与平面ABC所成角的余弦值为.......(10分)

     

    18. (本小题满分12分)解:选:由sin B+cos B=2得sin(B+)=1,所以B=.(2分)

    :由cos 2B+cos B-2=0得2cos2B+cos B-3=0,

    解得cos B=,所以B=......(2分)

    :由b2-a2=c2-ac得c2+a2-b2=ac,

    得cos B=,所以B=......(2分)

    因为,所以sin C=......(4分)

    所以C=或C=......(6分)

    当C=时,A=.

    又a=4,所以b=2,c=2......(7分)

    所以面积S=×2×2=2......(9分)

    当C=时,A=,所以A=B.

    又a=4,所以b=4......(9分)

    所以面积S=×4×4×=4..........(12分)

    19.(本小题满分12分)

    (1)因为,故,..........(2分)

    ,则,..........(4分)

    ,故是以4为首项,2为公比的等比数列;.......(6分)

    (2)由(1)可知,,故

    ..........(8分)

    ..........(10分)

    .........(12分)

    20.(本小题满分12分)【解析】(1)当时,,解得

    时,,..........(2分)

    ,..........(3分)

    两式相减可得,,..........(4分)

    解得,易知也符合上式,综上所述,,..........(6分)

    (2)依题意:

    下面先求数列的前项和

    两式相减可得,,..........(8分)

    ..........(10分)

    所以,..........(11分)

    化简可得,

    ...........(12分)

     

    21(本小题满分12分)

    【解】(1)由题知关于原点对称,则可设

    因为点在椭圆上,所以

    所以

    所以    …… 2分

    (2)设直线,代入可得,

    ,所以

    因此      …… 4分

    因为,所以 

    ,则

    等号当仅当时取,即时取等号

              所以的最小值为8.                         …… 7分

    (3)不妨设,由

    所以. 8分

    将直线的方程为代入可得,

    ,即

    因为,所以方程可化为

    所以,即,所以,即.......10分

    所以 12分

     

     

    22. (本小题满分12分)

     

     (1) 解:(解法1)f(x)的定义域为(0,+)....(1分)

    由题意f(x)=(x+1)(ex)=(x+1)

    令xex-a=0,得a=xex

    令g(x)=xex,g(x)=ex+xex=(x+1)ex>0,

    所以g(x)在x(0,+)上为增函数,且g(0)=0,

    所以a=xex有唯一实根,即f(x)=0有唯一实根,设为x0,即a=x0ex0......(3分)

    所以f(x)在(0,x0)上为减函数,在(x0,+)上为增函数,

    所以f(x)min=f(x0)=x0ex0-a(ln x0+x0)=a-aln a......(5分)

    (解法2)f(x)=xex-a(ln x+x)=eln x+x-a(ln x+x)(x>0).

    设t=ln x+x,则tR.

    φ(t)=et-at(tR),故f(x)最小值即为φ(t)最小值...........(3分)

    φ′(t)=et-a(a>0),

    当t(-,ln a)时,φ′(t)<0,φ(t)单调递减,

    当t(ln a,+)时,φ′(t)>0,φ(t)单调递增,

    所以f(x)minφ(ln a)=eln a-aln a=a-aln a,

    所以f(x)的最小值为a-aln a..........(5分)

    (2) 解:当a0时,f(x)单调递增,f(x)值域为R,不适合题意;.........(6分)

    当a>0时,由(1)可知f(x)min=a-aln a.

    φ(a)=a-aln a(a>0),所以φ′(a)=-ln a,

    当a(0,1)时,φ′(a)>0,φ(a)单调递增,

    当a(1,+)时,φ′(a)<0,φ(a)单调递减,

    所以φ(a)maxφ(1)=1,即a-aln a1..........(7分)

    由已知f(x)1恒成立,所以a-aln a1,

    所以a-aln a=1,

    所以a=1..........(8分)

    证明:由可知xex-ln x-x1,因此只需证x2+x>2ln x+2sin x.

    因为ln xx-1,只需证x2+x>2x-2+2sin x,即x2-x+2>2sin x.......(10分)

    当x>1时,x2-x+2>22sin x,结论成立;

    当x(0,1]时,设g(x)=x2-x+2-2sin x,

    g(x)=2x-1-2cos x,

    当x(0,1]时,g(x)显然单调递增.

    g(x)g(1)=1-2cos 1<0,故g(x)单调递减,

    g(x)g(1)=2-2sin 1>0,即x2-x+2>2sin x.

    综上,结论成立..........(12分)

     

     

     


     

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