


2021福州福清西山学校高中部高三12月月考数学试题含答案
展开福清西山学校高中部2020-2021学年第一学期12月月考
高三数学试卷
(满分150分,考试时间120分钟)
第Ⅰ卷(选择题 共60分)
一、 单项选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合},,则( )
A. B. C. D.
2. “”是“”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
3. 若复数满足,则在复平面上对应的点位于( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
4. 已知为不同直线,为不同平面,则下列结论正确的是( )
A. B.
C. D.
5.三个数的大小关系是( )
A. B. C. D.
6. 如图,是单位圆O的直径,点是半圆弧上的两个三等分点,则=( )
A. 1 B. C. D.
7. 已知等于( )
A. B. C. D.
8. 若双曲线与双曲线的渐近线相同,则双曲线的离心率
为( )
A. B. C. D.
二、 多项选择题:本大题共4个小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求,全部选对的得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分.
9. 中国的华为公司是全球领先的ICT(信息与通信)基础设施和智能终端提供商,其致力于把数字世界带给每个人、每个家庭、每个组织,构建万物互联的智能世界.其中华为的5G智能手机是全世界很多年轻人非常喜欢的品牌.为了研究某城市甲、乙两个华为5G智能手机专卖店的销售状况,统计了2020年4月到9月甲、乙两店每月的营业额(单位:万元),得到如图的折线图,则下列说法正确的是( )
A. 根据甲店的营业额折线图可知,该店月营业额的平均值在[31,32]内
B. 根据乙店的营业额折线图可知,该店月营业额总体呈上升趋势
C. 根据甲、乙两店的营业额折线图可知,乙店的月营业额极差比甲店小
D. 根据甲、乙两店的营业额折线图可知,7,8,9月份的总营业额甲店比乙店少
10.已知函数,则下列结论正确的是( )
A.函数是周期函数 B.函数在上有4个零点
C.函数的图象关于对称 D.函数的最大值为
11. 已知数列的前项和为,且,则下列结论正确的是( )
A. 是等比数列 B. 当
C. 当 D.
12. 记函数与的定义域的交集为I,若存在,使得对任意,不等式恒成立,则称构成“相关函数对”.下列所给的两个函数构成“相关函数对”的有( )
A. B.
C. D.
第Ⅱ卷(非选择题 共90分)
三、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.
13. 已知若,则=______.
14. _______. .
15.设椭圆的焦点为,点在椭圆上,若为直角三角形,则的面积为_______.
16. 任取一个正整数,若是奇数,就将该数乘3再加上1;若是偶数,就将该数除以2.反复进行上述两种运算,经过有限次步骤后,必进入循环圈1→4→2→1,这就是数学史上著名的“冰雹猜想”(又称“角谷猜想”).如取正整数6,根据上述运算法则得出6→3→10→5→16→8→4→2→1,共需要共8个步骤变成1(简称为8步“雹程”).现给出冰雹猜想的递推关系如下:
当时,试确定使得需要________步雹程;
若,则所有可能的取值所构成的集合_______.(本题第一空2分,第二空3分)
四、 解答题:本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. (本小题满分10分)已知正三棱柱的底面边长为2,点分别为棱与的中点.
(1) 求证:直线∥平面;
(2) 若该正三棱柱的体积为,求直线与平面所成角的余弦值.
18. (本小题满分12分)在①② ,③ 这三个条件中任选一个,补充在下面的问题中,并进行解答.
问题:已知的三边所对的角分别为.若,________,求的面积.
注:如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分.
19.(本小题满分12分)记数列的前项和为,若,且.
(1)求证:数列为等比数列;
(2)求的表达式.
20.(本小题满分12分)已知数列满足.
(1)求数列的通项公式;
(2)求数列的前项和.
21.(本小题满分12分)已知为坐标原点,椭圆,点为上的动点,三点共线,直线的斜率分别为.
(1)证明:;
(2)当直线过点时,求的最小值;
(3)若,证明:为定值.
22. (本小题满分12分)已知函数.
(1) 当时,求的最小值;
(2) 若对任意恒有不等式成立.
①求实数的值;
②求证:.
福清西山学校高中部2020-2021学年度第一学期月考高三数学试卷
答案
选择题:
题号 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 |
答案 | A | B | B | C | D | C | B | A | ABD | ACD | ABC | BD |
四、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.
- 2 14. .
- . 16. 9 {1,8,10,64} (本题第一空2分,第二空3分)
四、 解答题:本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. (本小题满分10分)
(1) 证明:取BB1中点D,连接ED,FD,.....(1分)
在平行四边形BCC1B1中,点E为CC1的中点,点D为BB1的中点,
所以ED∥CB.
在△B1BA1中,点F为A1B1的中点,点D为BB1的中点,
所以FD∥A1B.........(3分)
又ED,FD⊂平面EFD,ED∩FD=D,所以平面EFD∥平面A1BC.
又EF⊂平面EFD,所以EF∥平面A1BC.......(5分)
(2) 解:设AA1=h,VABCA1B1C1=S△ABC·h=×4h,
所以h=2,即h=2......(6分)
因为平面ABC∥平面A1B1C1,
所以EF与平面ABC所成的角即为EF与平面A1B1C1所成的角.
因为CC1⊥平面A1B1C1,
所以EF在平面A1B1C1上的射影为C1F,
所以∠EFC1为EF与平面A1B1C1所成的角........(8分)
因为EC1=,FC1=,所以EF=,
所以cos∠EFC1==,即EF与平面ABC所成角的余弦值为.......(10分)
18. (本小题满分12分)解:选①:由sin B+cos B=2得sin(B+)=1,所以B=.(2分)
选②:由cos 2B+cos B-2=0得2cos2B+cos B-3=0,
解得cos B=,所以B=......(2分)
选③:由b2-a2=c2-ac得c2+a2-b2=ac,
得cos B===,所以B=......(2分)
因为==,所以sin C=......(4分)
所以C=或C=......(6分)
当C=时,A=.
又a=4,所以b=2,c=2......(7分)
所以面积S=×2×2=2......(9分)
当C=时,A=,所以A=B.
又a=4,所以b=4......(9分)
所以面积S=×4×4×=4..........(12分)
19.(本小题满分12分)
(1)因为,故,..........(2分)
则,则,..........(4分)
故,故是以4为首项,2为公比的等比数列;.......(6分)
(2)由(1)可知,,故,
故..........(8分)
..........(10分)
..........(12分)
20.(本小题满分12分)【解析】(1)当时,,解得;
当时,,..........(2分)
,..........(3分)
两式相减可得,,..........(4分)
解得,易知也符合上式,综上所述,,..........(6分)
(2)依题意:,
下面先求数列的前项和;
,
,
两式相减可得,,..........(8分)
即..........(10分)
所以,..........(11分)
化简可得,,
故...........(12分)
21.(本小题满分12分)
【解】(1)由题知关于原点对称,则可设.
因为点在椭圆上,所以,
所以,
所以. …… 2分
(2)设直线,代入可得,
,所以,
因此, …… 4分
因为,所以.
设,则,
等号当仅当时取,即时取等号.
所以的最小值为8. …… 7分
(3)不妨设,由,,
所以. 8分
将直线的方程为代入可得,
,即.
因为,所以方程可化为.
所以,即,所以,即.......10分
所以.… 12分
22. (本小题满分12分)
(1) 解:(解法1)f(x)的定义域为(0,+∞)....(1分)
由题意f′(x)=(x+1)(ex-)=(x+1),
令xex-a=0,得a=xex,
令g(x)=xex,g′(x)=ex+xex=(x+1)ex>0,
所以g(x)在x∈(0,+∞)上为增函数,且g(0)=0,
所以a=xex有唯一实根,即f′(x)=0有唯一实根,设为x0,即a=x0ex0,......(3分)
所以f(x)在(0,x0)上为减函数,在(x0,+∞)上为增函数,
所以f(x)min=f(x0)=x0ex0-a(ln x0+x0)=a-aln a......(5分)
(解法2)f(x)=xex-a(ln x+x)=eln x+x-a(ln x+x)(x>0).
设t=ln x+x,则t∈R.
记φ(t)=et-at(t∈R),故f(x)最小值即为φ(t)最小值...........(3分)
φ′(t)=et-a(a>0),
当t∈(-∞,ln a)时,φ′(t)<0,φ(t)单调递减,
当t∈(ln a,+∞)时,φ′(t)>0,φ(t)单调递增,
所以f(x)min=φ(ln a)=eln a-aln a=a-aln a,
所以f(x)的最小值为a-aln a..........(5分)
(2) ①解:当a≤0时,f(x)单调递增,f(x)值域为R,不适合题意;.........(6分)
当a>0时,由(1)可知f(x)min=a-aln a.
设φ(a)=a-aln a(a>0),所以φ′(a)=-ln a,
当a∈(0,1)时,φ′(a)>0,φ(a)单调递增,
当a∈(1,+∞)时,φ′(a)<0,φ(a)单调递减,
所以φ(a)max=φ(1)=1,即a-aln a≤1..........(7分)
由已知f(x)≥1恒成立,所以a-aln a≥1,
所以a-aln a=1,
所以a=1..........(8分)
②证明:由①可知xex-ln x-x≥1,因此只需证x2+x>2ln x+2sin x.
因为ln x≤x-1,只需证x2+x>2x-2+2sin x,即x2-x+2>2sin x.......(10分)
当x>1时,x2-x+2>2≥2sin x,结论成立;
当x∈(0,1]时,设g(x)=x2-x+2-2sin x,
g′(x)=2x-1-2cos x,
当x∈(0,1]时,g′(x)显然单调递增.
g′(x)≤g′(1)=1-2cos 1<0,故g(x)单调递减,
g(x)≥g(1)=2-2sin 1>0,即x2-x+2>2sin x.
综上,结论成立..........(12分)
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