2021福州福清西山学校高中部高三12月月考数学试题含答案

福清西山学校高中部2020-2021学年第一学期12月月考

高三数学试卷

(满分150分，考试时间120分钟)

第Ⅰ卷(选择题　共60分)

一、 单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1. 已知集合}，，则(　　)

A.    B.     C.     D.

2. “”是“”的(　　)

A. 充分不必要条件   B. 必要不充分条件  C. 充要条件  D. 既不充分也不必要条件

3. 若复数满足，则在复平面上对应的点位于(　　)

A. 第一象限  B. 第二象限  C. 第三象限  D. 第四象限

4. 已知为不同直线，为不同平面，则下列结论正确的是(　　)

A.             B.

C.      D.

5．三个数的大小关系是(　　)

A．  B．     C．   D．

6. 如图，是单位圆O的直径，点是半圆弧上的两个三等分点，则＝(　　)

A. 1        B.         C.         D.

7. 已知等于(　　)

A.         B.       C.      D.

8． 若双曲线与双曲线的渐近线相同，则双曲线的离心率

为(　　)

    A．            B．              C．              D．

二、 多项选择题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分．

9. 中国的华为公司是全球领先的ICT(信息与通信)基础设施和智能终端提供商，其致力于把数字世界带给每个人、每个家庭、每个组织，构建万物互联的智能世界．其中华为的5G智能手机是全世界很多年轻人非常喜欢的品牌．为了研究某城市甲、乙两个华为5G智能手机专卖店的销售状况，统计了2020年4月到9月甲、乙两店每月的营业额(单位：万元)，得到如图的折线图，则下列说法正确的是(　　)

A. 根据甲店的营业额折线图可知，该店月营业额的平均值在[31，32]内

B. 根据乙店的营业额折线图可知，该店月营业额总体呈上升趋势

C. 根据甲、乙两店的营业额折线图可知，乙店的月营业额极差比甲店小

D. 根据甲、乙两店的营业额折线图可知，7，8，9月份的总营业额甲店比乙店少

10.已知函数，则下列结论正确的是(　　)

A．函数是周期函数                 B．函数在上有4个零点

C．函数的图象关于对称       D．函数的最大值为

11. 已知数列的前项和为，且，则下列结论正确的是(　　)

A. 是等比数列              B. 当

C. 当       D.

12. 记函数与的定义域的交集为I，若存在，使得对任意，不等式恒成立，则称构成“相关函数对”．下列所给的两个函数构成“相关函数对”的有(　　)

A.      B.

C.       D.

第Ⅱ卷(非选择题　共90分)

三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．

13. 已知若，则＝______．

14. _______．                         .

15.设椭圆的焦点为，点在椭圆上，若为直角三角形，则的面积为_______．

16. 任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘3再加上1；若是偶数，就将该数除以2.反复进行上述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环圈1→4→2→1，这就是数学史上著名的“冰雹猜想”(又称“角谷猜想”)．如取正整数6，根据上述运算法则得出6→3→10→5→16→8→4→2→1，共需要共8个步骤变成1(简称为8步“雹程”)．现给出冰雹猜想的递推关系如下：

当时，试确定使得需要________步雹程；

若，则所有可能的取值所构成的集合_______．(本题第一空2分，第二空3分)

四、 解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17. (本小题满分10分)已知正三棱柱的底面边长为2，点分别为棱与的中点．

(1) 求证：直线∥平面；

(2) 若该正三棱柱的体积为，求直线与平面所成角的余弦值．

18. (本小题满分12分)在①② ，③ 这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并进行解答．

问题：已知的三边所对的角分别为.若，________，求的面积．

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．

19．(本小题满分12分)记数列的前项和为，若，且．

（1）求证：数列为等比数列；

（2）求的表达式．

20．(本小题满分12分)已知数列满足.

（1）求数列的通项公式；

（2）求数列的前项和.

21．（本小题满分12分）已知为坐标原点，椭圆，点为上的动点，三点共线，直线的斜率分别为．

（1）证明：；

（2）当直线过点时，求的最小值；

（3）若，证明：为定值．

22. (本小题满分12分)已知函数．

(1) 当时，求的最小值；

(2) 若对任意恒有不等式成立．

①求实数的值；

②求证：.

福清西山学校高中部2020-2021学年度第一学期月考高三数学试卷

答案

选择题：

四、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．

13.    2           14.                            .

15.    ．       16.   9   {1，8，10，64} (本题第一空2分，第二空3分)

四、 解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17. (本小题满分10分)

(1) 证明：取BB1中点D，连接ED，FD，.....(1分)

在平行四边形BCC1B1中，点E为CC1的中点，点D为BB1的中点，

所以ED∥CB.

在△B1BA1中，点F为A1B1的中点，点D为BB1的中点，

所以FD∥A1B.........(3分)

又ED，FD⊂平面EFD，ED∩FD＝D，所以平面EFD∥平面A1BC.

又EF⊂平面EFD，所以EF∥平面A1BC.......(5分)

(2) 解：设AA1＝h，VABCA1B1C1＝S△ABC·h＝×4h，

所以h＝2，即h＝2......(6分)

因为平面ABC∥平面A1B1C1，

所以EF与平面ABC所成的角即为EF与平面A1B1C1所成的角．

因为CC1⊥平面A1B1C1，

所以EF在平面A1B1C1上的射影为C1F，

所以∠EFC1为EF与平面A1B1C1所成的角．.......(8分)

因为EC1＝，FC1＝，所以EF＝，

所以cos∠EFC1＝＝，即EF与平面ABC所成角的余弦值为.......(10分)

18. (本小题满分12分)解：选①：由sin B＋cos B＝2得sin(B＋)＝1，所以B＝.(2分)

选②：由cos 2B＋cos B－2＝0得2cos2B＋cos B－3＝0，

解得cos B＝，所以B＝......(2分)

选③：由b2－a2＝c2－ac得c2＋a2－b2＝ac，

得cos B＝＝＝，所以B＝......(2分)

因为＝＝，所以sin C＝......(4分)

所以C＝或C＝......(6分)

当C＝时，A＝.

又a＝4，所以b＝2，c＝2......(7分)

所以面积S＝×2×2＝2......(9分)

当C＝时，A＝，所以A＝B.

又a＝4，所以b＝4......(9分)

所以面积S＝×4×4×＝4..........(12分)

19．(本小题满分12分)

（1）因为，故，..........(2分)

则，则，..........(4分)

故，故是以4为首项，2为公比的等比数列；.......(6分)

（2）由（1）可知，，故，

故..........(8分)

..........(10分)

．.........(12分)

20．(本小题满分12分)【解析】（1）当时，，解得；

当时，，..........(2分)

，..........(3分)

两式相减可得，，..........(4分)

解得，易知也符合上式，综上所述，，..........(6分)

（2）依题意：，

下面先求数列的前项和；

，

，

两式相减可得，，..........(8分)

即..........(10分)

所以，..........(11分)

化简可得，，

故...........(12分)

21．（本小题满分12分）

【解】（1）由题知关于原点对称，则可设．

因为点在椭圆上，所以，

所以，

所以．    …… 2分

（2）设直线，代入可得，

，所以，

因此，      …… 4分

因为，所以．  

设，则，

等号当仅当时取，即时取等号．

          所以的最小值为8．                         …… 7分

（3）不妨设，由，，

所以． 8分

将直线的方程为代入可得，

，即．

因为，所以方程可化为．

所以，即，所以，即.......10分

所以．… 12分

22. (本小题满分12分)

 (1) 解：(解法1)f(x)的定义域为(0，＋∞)．...(1分)

由题意f′(x)＝(x＋1)(ex－)＝(x＋1)，

令xex－a＝0，得a＝xex，

令g(x)＝xex，g′(x)＝ex＋xex＝(x＋1)ex＞0，

所以g(x)在x∈(0，＋∞)上为增函数，且g(0)＝0，

所以a＝xex有唯一实根，即f′(x)＝0有唯一实根，设为x0，即a＝x0ex0，......(3分)

所以f(x)在(0，x0)上为减函数，在(x0，＋∞)上为增函数，

所以f(x)min＝f(x0)＝x0ex0－a(ln x0＋x0)＝a－aln a．.....(5分)

(解法2)f(x)＝xex－a(ln x＋x)＝eln x＋x－a(ln x＋x)(x＞0)．

设t＝ln x＋x，则t∈R.

记φ(t)＝et－at(t∈R)，故f(x)最小值即为φ(t)最小值．..........(3分)

φ′(t)＝et－a(a＞0)，

当t∈(－∞，ln a)时，φ′(t)＜0，φ(t)单调递减，

当t∈(ln a，＋∞)时，φ′(t)＞0，φ(t)单调递增，

所以f(x)min＝φ(ln a)＝eln a－aln a＝a－aln a，

所以f(x)的最小值为a－aln a．.........(5分)

(2) ①解：当a≤0时，f(x)单调递增，f(x)值域为R，不适合题意；.........(6分)

当a＞0时，由(1)可知f(x)min＝a－aln a.

设φ(a)＝a－aln a(a＞0)，所以φ′(a)＝－ln a，

当a∈(0，1)时，φ′(a)＞0，φ(a)单调递增，

当a∈(1，＋∞)时，φ′(a)＜0，φ(a)单调递减，

所以φ(a)max＝φ(1)＝1，即a－aln a≤1..........(7分)

由已知f(x)≥1恒成立，所以a－aln a≥1，

所以a－aln a＝1，

所以a＝1..........(8分)

②证明：由①可知xex－ln x－x≥1，因此只需证x2＋x＞2ln x＋2sin x.

因为ln x≤x－1，只需证x2＋x＞2x－2＋2sin x，即x2－x＋2＞2sin x．......(10分)

当x＞1时，x2－x＋2＞2≥2sin x，结论成立；

当x∈(0，1]时，设g(x)＝x2－x＋2－2sin x，

g′(x)＝2x－1－2cos x，

当x∈(0，1]时，g′(x)显然单调递增．

g′(x)≤g′(1)＝1－2cos 1＜0，故g(x)单调递减，

g(x)≥g(1)＝2－2sin 1＞0，即x2－x＋2＞2sin x.

综上，结论成立．.........(12分)