2021安徽省“皖南八校”高三摸底联考试卷数学文试题含答案

“皖南八校”2021届高三摸底联考

数学（文科）

考生注意：

1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.满分150分，考试时间120分钟.

2.考生作答时，请将答案答在答题卡上.第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；第Ⅱ卷请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效.

3.本卷命题范围：必修全册+选修2-1，2-2.

第Ⅰ卷（选择题  共60分）

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.已知全集，集合，，则（    ）

A.  B.

C.  D.

2.已知命题，.则为（    ）

A.，  B.，

C.，  D.，

3.执行如图所示的程序框图，若输入的a，b，c值分别为3，4，5，则输出的a值为（    ）

A.2 B.3 C.4 D.5

4.将函数的图象向左平移个周期后，所得图象对应的函数为（    ）

A. B.

C. D.

5.已知向量，，若，则（    ）

A.10 B.2 C. D.

6.函数的图象可能是（    ）

A. B.

C. D.

7.已知双曲线的两条渐近线互相垂直，且焦距为，则抛物线的准线方程为（    ）

A. B. C. D.

8.我国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题（意为）：“有一个人要走378里路，第一天健步行走，从第二天起因脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地.”那么，此人第3天和第4天共走路程是（    ）

A.72里 B.60里 C.48里 D.36里

9.某空间几何体的三视图如图所示，其中正视图是半径为1的半圆，则该几何体的表面积是（    ）

A. B. C. D.

10.若正实数x，y满足，则的最小值为（    ）

A. B. C.12 D.4

11.若曲线在点处的切线与垂直，则a的值为（    ）

A.0 B.1 C.2 D.3

12.已知函数满足，若函数与图象的交点为，则交点的所有横坐标和纵坐标之和为（    ）

A.1010 B.-2020 C.2020 D.4040

第Ⅱ卷（非选择题  共90分）

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.

13.已知点是平面区域，内的任意一点，则的最小值为_____________.

14.已知复数z满足：，则_________________.

15.已知各项都为正数的等比数列的前n项和为，若，，则的值为___________.

16.已知偶函数满足，且当时，，若在区间内，函数有且仅有3个零点，则实数k的取值范围是______________.

三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写岀必要的文字说眀、证明过程及演算步骤.

17.（本小题满分10分）

在三角形中，已知角A，B，C的对边分别为a，b，c，且.

（1）求角B的大小；

（2）若，求三角形面积的最大值.

18.（本小题满分12分）

已知等差数列的公差为，等差数列的公差为，设，分别是数列，的前n项和，且，，.

（1）求数列，的通项公式；

（2）设，数列的前n项和为，证明：.

19.（本小题满分12分）

如图所示，该几何体是由一个直三棱柱和一个四棱锥组合而成的，其中，，，平面平面.

（1）证明：平面平面.

（2）若直三棱柱的体积为，四棱锥的体积为，求.

20.（本小题满分12分）

某工厂生产了一批零件，从中随机抽取100个作为样本，测出它们的长度（单位：厘米），按数据分成，，，，5组，得到如图所示的频率分布直方图.以这100个零件的长度在各组的频率代替整批零件长度在该组的概率.

（1）估计该工厂生产的这批零件长度的平均值（同一组中的每个数据用该组区间的中点值代替）；

（2）若用分层抽样的方式从第1组和第5组中抽取5个零件，再从这5个零件中随机抽取2个，求抽取的零件中恰有1个是第1组的概率.

21.（本小题满分12分）

已知函数（e为自然对数的底数）.

（1）若，讨论的单调性；

（2）若时，恒成立，求m的取值范围.

22.（本小题满分12分）

已知椭圆的左焦点F在直线上，且.

（1）求椭圆的方程；

（2）直线与椭圆交于A、C两点，线段的中点为M，射线与椭圆交于点P，点O为的重心，探求面积S是否为定值，若是，则求出这个值；若不是，则求S的取值范围.

“皖南八校”2021届高三摸底联考·数学（文科）

参考答案、解析及评分细则

1.C  ∵，故选C.

2.C  命题是一个全称命题，故其否定是一个特称命题，先改写量词，然后否定结论即可得到，该命题的否定为“，”.

3.D

4B  函数的周期为，将函数的图象向左平移个周期即个单位，所得图象对应的函数为.

5.D  因为向量，，所以，

因为，所以，

所以，所以.

6.D  令，

因为，，所以为奇函数，排除选项A，B；

因为时，，所以排除选项C，选D.

7.B  由题意，∴.

8.A  记每天走的路程里数为，可知是公比的等比数列，

由，得，解得

∴.

所以此人第3天和第4天共走了72里.

9.B  由三视图可知该几何体为半个圆锥，所以该几何体的表面积为.

10.D  因为，所以，因为x，y为正实数，所以，当且仅当时等号成立，所以，解得.

11.B  由题意，，直线的斜率为，∴，解得.

12.C  函数满足，即为可得的图像关于点对称.函数，即的图象关于点对称，

即若点为交点，则点也为交点；同理若点为交点，则点也为交点；

则交点的所有横坐标和纵坐标之和为.

13.-2  作出不等式组表示的可行域，

当，时，目标函数取得最小值-2.

14.  ，故.

15.1023  由，得，又数列的各项都为正数，所以.设等比数列的公比为q，则.所以.

16.  由题意，函数满足，即，即函数的周期为2，

当时，，可得函数为单调递增函数，且，，

当时，，

由图象可知当时，，当时，，即，，

当直线经过点时，此时在区间内两个函数有2个交点，此时，解得.直线经过点时，此时在区间内两个函数有4个交点，此时，解得.直线经过点时，此时在区间内两个函数有3个交点，此时.

所以要使得函数有且仅有3个零点，则直线的斜率满足或，即实数k的取值范围是.

17.解：（1）设三角形的外接圆的直径长为

由已知及正弦定理

所以，

所以，

即.…………………………………………………………3分

由余弦定理得，.……………………………………4分

因为，所以.…………………………………………………………5分

（2）因为，所以，

三角形面积，.……………………………………6分

∵，∴，.………………………………………………8分

当且仅当时，，此时面积取得最大值.……………………10分

18.解：（1）因为数列，是等差数列，且，，所以.……2分

整理得，解得，.……………………………………………………4分

所以，即，.……………………………………………………5分

，即.

综上，，.……………………………………………………………………6分

（2）由（1）得.………………………………9分

所以，

即.………………………………………………12分

19.解：（1）取的中点H，连接，，.由题知，，且，又因为，三棱柱为直三棱柱，所以，，三条直线两两垂直，故平面，平面.因为平面平面，所以平面，因为平面，所以，又因为，所以平面，所以，又因为，所以四边形为平行四边形，所以，因为平面，平面，所以平面，同理可证平面，又因为，所以平面平面.…………………6分

（2）由题知，直三棱柱的体积，四棱锥的体积，所以.………………12分

20.解：（1）由频率分布直方图可得，解得，.…3分

各组频率依次为0.08，0.18，0.4，0.22，0.12，

则这批零件长度的平均值为

.…………………………6分

（2）由题意可知第1组和第5组的零件数分别是8和12，

则应从第1组中抽取2个零件，记为A，B；

应从第5组中抽取3个零件，记为c，d，e.

这5个零件中随机抽取2个的情况有，，，，，，，，，，共10种，.………………………………………………………………………………………9分

其中符合条件的情况有，，，，，，共6种.…………………………………11分

所求概率.…………………………………………………………………………12分

21.解：（1）当时，，，.…………………………………………1分

令，得，令，得.………………………….3分

所以函数在上单调递减，在上单调递增.………………………………4分

（2）恒成立，即恒成立.

当时，对于任意的，恒成立；.…………………………………………5分

当时，即恒成立.……………………………………………………6分

令，则.

整理得，.……………………………………………………7分

令，注意到，，

再令，则，.…………………………………………8分

所以在单调递增，，即.

所以在单调递增.……………………………………………………9分

又，故知在上，在上.

从而在上递减，在上递增.………………………………………………10分

故，.……………………………………………………11分

因为在恒成立，

所以.……………………………………………………………………12分

22.解析：（1）∵直线与x轴的交点为，∴，∴，

∴解得，，∴椭圆的方程为.……………………………………4分

（2）若直线的斜率不存在，则.

若直线的斜率存在，设直线的方程为，代入椭圆方程可得

设，，

则，，.

由题意点O为的重心，设，则，，

所以，，

代入椭圆，得，

设坐标原点O到直线的距离为d，

则的面积

.

综上可得，面积S为定值.………………………………………………12分