2020石嘴山三中高三高考第五次模拟考试数学（理）试题含答案

这是一份2020石嘴山三中高三高考第五次模拟考试数学（理）试题含答案，共20页。试卷主要包含了《九章算术》中有一题，已知数列满足等内容，欢迎下载使用。
注意事项：
1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信
息条形码粘贴区。
2．选择题必须使用 2B 铅笔填涂；非选择题必须使用 0.5 毫米黑色字迹的签字笔书写，
字体工整、笔迹清楚。
3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效。
4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合 A  {1, 0,1, 2}, B  x | e x  1, x  R ，则 A  B 
A． {0,1, 2}B． {1, 2}C．{1}
已知1 2i  z  1 i ，其中i 是虚数单位，则 z 
D．{2}
A． 10
5
B． 5C．D．
10
5
5
3.下列四个命题中真命题的个数是
(1)“ x  1”是“ x2  3x  2  0 ”的充分不必要条件
(2)命题“ x  R ， sin x  1”的否定是“ x  R ， sin x  1” (3)“若 am2  bm2 ，则 a  b ”的逆命题为真命题
(4)命题 p : x 1,  ， lg x  0 ，命题 q : x  R ， x2  x  1  0 ，则 p  q 为真命题
A． 0B．1C． 2D． 3
4．2020 年春节突如其来的新型冠状病毒肺炎在湖北爆发，一方有难八方支援，全国各地的白衣天使走上战场的第一线，某医院抽调甲、乙两名医生，抽调 A 、 B 、C 三名护士支援武汉第一医院与第二医院，参加武汉疫情狙击战其中选一名护士与一名医生去第一医院，其它都在第二医院工作，则医生甲和护士 A 被选在第一医院工作的概率为
1111
A．B．C．D．
12659
5．设， 是两个不同的平面，m，n是两条不同的直线，下列说法正确的是
A．若 m//n ， m//，则 n//B．若 m  n ， m ， n //，则//
C．若 m  ， n  ， m//n ，则// D．若 n  ， m//n ， m  ，则 
6．《九章算术》中有一题：今有牛、马、羊食人苗，苗主责之粟五斗，羊主曰：“我羊食半马”，马主曰：“我马食半牛”，今欲衰偿之，问各处儿何？其意思是：今有牛、马、 羊吃了别人的禾苗，禾苗主人要求赔偿五斗粟，羊主人说：“我羊所吃的禾苗只有马的一半”马主人说：“我马所吃的禾苗只有牛一半”．若按此比例偿还，牛、马、羊的主人各
应赔偿多少粟？在这个问题中，牛主人比羊主人多赔偿多少粟
7.在三角形 ABC 中，a ，b ，c 分别为角 A ，B ，C 的对边，且满足

二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）
13. 已知，，则________．
14．已知点，，过的直线与抛物线相交于两点．若为中点，
则_______．
15.若的展开式中常数项为，则直线，，轴与曲线围成的封闭图形的面积为
16．对于函数．现有下列结论：①任取，，都有；②函数有3个零点；③函数在上单调递增；④若关于的方程有且只有两个不同的实根，，则．其中正确结论的序号为______．（写出所有正确命题的序号）
三、解答题:(本大题共6小题,共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．（本小题满分12分）已知数列满足：，.
（1）求及通项；
（2）设是数列的前n项和，则数列，，，……中哪一项最小？并求出这个最小值.
（3）求数列的前10项和
18、（本小题满分12分）
如图，在直三棱柱中，，，，分别是，中点，为线段上的一个动点.
（1）证明：平面；
（2）当二面角的余弦值为时，证明：.
19．（本小题满分12分）2019年春节期间，某超市准备举办一次有奖促销活动，若顾客一次消费达到400元则可参加一次抽奖活动，超市设计了两种抽奖方案.
方案一：一个不透明的盒子中装有30个质地均匀且大小相同的小球，其中10个红球，20个白球，搅拌均匀后，顾客从中随机抽取一个球，若抽到红球则顾客获得60元的返金券，若抽到白球则获得20元的返金券，且顾客有放回地抽取3次.
方案二：一个不透明的盒子中装有30个质地均匀且大小相同的小球，其中10个红球，20个白球，搅拌均匀后，顾客从中随机抽取一个球，若抽到红球则顾客获得80元的返金券，若抽到白球则未中奖，且顾客有放回地抽取3次.
（1）现有两位顾客均获得抽奖机会，且都按方案一抽奖，试求这两位顾客均获得180元返金券的概率；
（2）若某顾客获得抽奖机会.
①试分别计算他选择两种抽奖方案最终获得返金券的数学期望；
②为了吸引顾客消费，让顾客获得更多金额的返金券，该超市应选择哪一种抽奖方案进行促销活动？
20．（本小题满分12分）
已知点是曲线C：上任意一点，，点在轴上的射影是C，.
（1）求动点的轨迹方程；
（2）过点的直线交点的轨迹于点，交点的轨迹于点，求的最大值.
21. （本小题满分12分）
已知函数．
Ⅰ若函数的最大值为3，求实数的值；
Ⅱ若当时，恒成立，求实数的取值范围；
Ⅲ若，是函数的两个零点，且，求证：．
请考生在22，23，题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．做答时，用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑．
22、（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
在新中国成立周年国庆阅兵庆典中，众多群众在脸上贴着一颗红心，以此表达对祖国的热爱之情.在数学中，有多种方程都可以表示心型曲线，其中有著名的笛卡尔心型曲线.如图，在直角坐标系中，以原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系。图中的曲线就是笛卡尔心型曲线，其极坐标方程为（），为该曲线上的任意一点.
（1）当时，求点的极坐标；
（2）将射线绕原点逆时针旋转与该曲线相交于点，求的最大值.
23．（本题满分10分）选修4-5不等式选讲
已知函数．
（Ⅰ）解不等式；
（Ⅱ）已知，求证：．
石嘴山三中2020届高三年级第五次模拟考试
数学(理科)试卷答案
选择题：
填空题
________ 14.________ 15.________ 16.__ = 1 \* GB3 ① = 2 \* GB3 ② = 4 \* GB3 ④
三、解答题:(本大题共6小题,共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．（本小题满分12分）已知数列满足：，.
（1）求及通项；
（2）设是数列的前n项和，则数列，，，……中哪一项最小？并求出这个最小值.
（3）求数列的前10项和
【详解】
（1），当时，，，，.
，故数列为首项是，公差为的等差数列，故.
（2），故，，故最小，
.
(3)
18、（本小题满分12分）
如图，在直三棱柱中，，，，分别是，中点，为线段上的一个动点.
（1）证明：平面；
（2）当二面角的余弦值为时，证明：.
【详解】
（1）如图，取中点，连，
因为是的中点，所以，
在直三棱柱中，，
因为是中点，所以，
所以四边形为平行四边形，，
因为平面，平面，
所以平面；
（2）不妨设，如图建立空间直角坐标系，
设，，，，
所以，
设平面的一个法向量为，
则，即，令，
所以平面的一个法向量，
平面的一个法向量，
所以，
此时，，
所以，即.
19．（本小题满分12分）2019年春节期间，某超市准备举办一次有奖促销活动，若顾客一次消费达到400元则可参加一次抽奖活动，超市设计了两种抽奖方案.
方案一：一个不透明的盒子中装有30个质地均匀且大小相同的小球，其中10个红球，20个白球，搅拌均匀后，顾客从中随机抽取一个球，若抽到红球则顾客获得60元的返金券，若抽到白球则获得20元的返金券，且顾客有放回地抽取3次.
方案二：一个不透明的盒子中装有30个质地均匀且大小相同的小球，其中10个红球，20个白球，搅拌均匀后，顾客从中随机抽取一个球，若抽到红球则顾客获得80元的返金券，若抽到白球则未中奖，且顾客有放回地抽取3次.
（1）现有两位顾客均获得抽奖机会，且都按方案一抽奖，试求这两位顾客均获得180元返金券的概率；
（2）若某顾客获得抽奖机会.
①试分别计算他选择两种抽奖方案最终获得返金券的数学期望；
②为了吸引顾客消费，让顾客获得更多金额的返金券，该超市应选择哪一种抽奖方案进行促销活动？
【详解】
（1）选择方案一，则每一次摸到红球的概率为
设“每位顾客获得180元返金劵”为事件A，则
所以两位顾客均获得180元返金劵的概率
（2）①若选择抽奖方案一，则每一次摸到红球的概率为，每一次摸到白球的概率为.
设获得返金劵金额为元，则可能的取值为60，100，140，180.
则；
；
；
.
所以选择抽奖方案一，该顾客获得返金劵金额的数学期望为
（元）
若选择抽奖方案二，设三次摸球的过程中，摸到红球的次数为，最终获得返金劵的金额为元，则，故
所以选择抽奖方案二，该顾客获得返金劵金额的
数学期望为（元）.
② 即，所以该超市应选择第一种抽奖方案
20．（本小题满分12分）
已知点是曲线C：上任意一点，，点在轴上的射影是C，.
（1）求动点的轨迹方程；
（2）过点的直线交点的轨迹于点，交点的轨迹于点，求的最大值.
【详解】
（1）设，
因为点到两点的距离之和为4，即
可得点的轨迹是以为焦点，长轴长为4的椭圆，
所以，即，且，则，
所以点的轨迹方程是.
设点坐标为，因所以点的坐标为，可得，
化简得点的轨迹方程为.
（2）若轴，则，.
若直线不与轴垂直，设直线的方程为，即，
则坐标原点到直线的距离，
.
设.将代入，并化简得，
.
，.
，
当且仅当即时，等号成立.
综上所述，最大值为1.
21. （本小题满分12分）
已知函数．
Ⅰ若函数的最大值为3，求实数的值；
Ⅱ若当时，恒成立，求实数的取值范围；
Ⅲ若，是函数的两个零点，且，求证：．
【详解】
Ⅰ函数的定义域为 因为，
所以在内，，单调递增；
在内，，单调递减．
所以函数在处取得唯一的极大值，即的最大值．
因为函数的最大值为3，
所以，
解得
Ⅱ因为当时，恒成立，
所以，
所以，
即．令，
则
因为，
所以．
所以在单调递增
所以，
所以 ，
所以即实数k的取值范围是；
Ⅲ由Ⅰ可知：，．
所以
因为，是函数的两个零点，
所以．
因为
令，
则．
所以在，，单调递减．
所以．
所以，即．
由Ⅰ知，在单调递增，
所以，
所以
请考生在22，23，题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．做答时，用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑．
22、（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
在新中国成立周年国庆阅兵庆典中，众多群众在脸上贴着一颗红心，以此表达对祖国的热爱之情.在数学中，有多种方程都可以表示心型曲线，其中有著名的笛卡尔心型曲线.如图，在直角坐标系中，以原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系。图中的曲线就是笛卡尔心型曲线，其极坐标方程为（），为该曲线上的任意一点.
（1）当时，求点的极坐标；
（2）将射线绕原点逆时针旋转与该曲线相交于点，求的最大值.
【解析】（1）设点在极坐标系中的坐标，由，得，，，或，所以点的极坐标为或.
（2）由题意可设，.由，得，.
,故时，的最大值为.
23．（本题满分10分）选修4-5不等式选讲
已知函数．
（Ⅰ）解不等式；
（Ⅱ）已知，求证：．
【详解】
（Ⅰ），即为，
该不等式等价于如下不等式组：
1） ，
2） ，
3），
所以原不等式的解集为或；
（Ⅱ），
，
所以.
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
A
A
D
B
D
C
D
B
A
B
D
C