2020拉萨中学高三第七次月考数学（理）试题含答案

拉萨中学2020届高三第七次月考试

理科数学试题

（满分：150分，考试时间：120分钟。请将答案填写在答题卡上）

一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）

1.已知集合

A.φ      B.{1}     C.{1,2}    D.{1,2,3}

2. 已知复数z=m+(m-1)i在复平面所对应的点在第四象限，则实数m的取值范围

A.（0,1）   B.     C.     D.

3.如图，长方体中，，，点分别是， ，的中点，则异面直线与所成的角是

A． B． C． D．

4.

A.    B.    C.    D.

5.若满足约束条件则的最大值为

A．10 B．8 C．5 D．3

6.已知，则“”是“是直角三角形”的

A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

7.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为

A． B．

C． D．

8.德国数学家莱布尼兹(1646年-1716年)于1674年得到了第一个关于π的级数展开式,该公式于明朝初年传入我国.在我国科技水平业已落后的情况下,我国数学家､天文学家明安图(1692年-1765年)为提高我国的数学研究水平,从乾隆初年(1736年)开始,历时近30年,证明了包括这个公式在内的三个公式,同时求得了展开三角函数和反三角函数的6个新级数公式,著有《割圆密率捷法》一书,为我国用级数计算π开创了先河.如图所示的程序框图可以用莱布尼兹“关于π的级数展开式”计算π的近似值(其中P表示π的近似值),若输入,则输出的结果是

A． B．

C． D．

9.已知函数f(x)＝x2ex，当x∈[－1，1]时，不等式f(x)<m恒成立，则实数m的取值范围为

A．[，＋∞)   B．(，＋∞)   C．[e，＋∞) D．(e，＋∞)

10.已知奇函数是R上增函数,则

A．       B．

C．       D．

11.若，则的最小值为（    ）

A．6 B． C． D．

12.已知函数在区间上恰有四个不同的零点，则实数的取值范围是（    ）

A．     B． C． D．

二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分。）

13.若向量满足，则实数的取值范围是___________.

14.展开式的第5项的系数为_________.

15.已知直线与圆相交于，两点（为坐标原点），且为等腰直角三角形，则实数的值为__________；

16.已知双曲线上存在两点A，B关于直线对称，且线段的中点在直线上，则双曲线的离心率为_________.

三、解答题（共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。）

（一）必考题：共60分。

17．某校学生社团组织活动丰富，学生会为了解同学对社团活动的满意程度，随机选取了100位同学进行问卷调查，并将问卷中的这100人根据其满意度评分值（百分制）按照[40，50），[50，60），[60，70），…，[90，100]分成6组，制成如图所示频率分布直方图．

（1）求图中x的值.

（2）求这组数据的中位数.

（3）现从被调查的问卷满意度评分值在[60，80）的学生中按分层抽样的方法抽取5人进行座谈了解，再从这5人中随机抽取2人作主题发言，求抽取的2人恰在同一组的概率．

18．已知等差数列的前项和为，且满足

（1）求数列的通项公式.

（2）设 ，数列的前项和为，求证： .

19．如图，正方形和四边形所在的平面互相垂直．，，．

（）求证：平面．

（）求证：平面．

（）在直线上是否存在点，使得平面？并说明理由．

20．设椭圆的离心率为，圆与轴正半轴交于点， 圆在点处的切线被椭圆截得的弦长为.

(1)求椭圆的方程.

(2)设圆上任意一点处的切线交椭圆于点、，求证：为定值.

21．已知函数.

（1）求函数的最小值；

（2）设函数，讨论函数的零点个数.

（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。

22．在新中国成立70周年国庆阅兵庆典中，众多群众在脸上贴着一颗红心，以此表达对祖国的热爱之情，在数学中，有多种方程都可以表示心型曲线，其中有著名的笛卡尔心型曲线，如图，在直角坐标系中，以原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系.图中的曲线就是笛卡尔心型曲线，其极坐标方程为（），M为该曲线上的任意一点.

（1）当时，求M点的极坐标.

（2）将射线OM绕原点O逆时针旋转与该曲线相交于点N，求的最大值.

23．已知，，不等式恒成立.

（1）求证:.

（2）求证:.

参考答案

一、BAAC DDAB DBCA

二、13.（-3,1）  14.70      15.     16.2

三、 

17．解：（1）由（0.005+0.010+0.030+0.025+0.010+x）×10=1，解得x=0.02．

（2）中位数设为m，则0.05+0.1+0.2+（m-70）×0.03=0.5，解得m=75．

（3）可得满意度评分值在[60，70）内有20人，抽得样本为2人，记为a1，a2

满意度评分值在[70，80）内有30人，抽得样本为3人，记为b1，b2，b3，

记“5人中随机抽取2人作主题发言，抽出的2人恰在同一组”为事件A，

基本事件有（a1，a2），（a1，b1），（a1，b2），（a1，b3），（a2，b1），（a2，b2），

（a2，b3），（b1，b2），（b1，b3），（b2，b3）共10个，A包含的基本事件个数有（a1，a2），（b1，b2），（b1，b3），（b2，b3）共4个，利用古典概型概率公式可知P（A）=0.4．

18．解：（1）设数列的公差为，由，则，

又由，，

，

又

所以

（2）由（Ⅰ）可知 

数列的前项和为

由，所以

19．解：（）设与交于点，

∵  ，，，

∴  四边形为平行四边形，

∴  ，

∵  平面，平面，

∴  平面．

（）连接，

∵  ，，，

∴ 平行四边形为菱形，

∴ ，

∵ 四边形为正方形，

∴ ，

又平面平面，平面平面，

∴ 平面，

∴ ，

又，

∴  平面．

（）直线上是否存在点．理由如下．

以为原点，，，分别为，，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，

则，，，，

∴  ，，，

设平面一个法向量为，

由，得,

令，得，

设，则，

若平面，则有，

但 ，即与平行不会成立，

∴  不存在点使得平面．

20．解：(1)设椭圆的半焦距为由椭圆的离心率为，

由题知，

椭圆的方程为

易求得，点在椭圆上，

，解得，

椭圆的方程为.

(2)当过点与圆相切的切线斜率不存在时，不妨设切线的方程为，

由(1)知， ，，

，，

当过点与圆相线的切线斜率存在时，可设切线的方程为，，

，即

联立直线和椭圆的方程得，

，

得，

且，

21．解：（1）令

，

令，，

所以的单调递增区间是，单调递减区间是，

所以时，取得极小值，也是最小值，

所以；

（2），令，

的递减区间是，递增区间是，

所以的极小值为，也是最小值，.

所以，

因为，

令，

令，

的递减区间是，递增区间是，

所以的极小值为，也是最小值，

所以，

所以的递减区间是，递增区间是，

又因为，且，

所以，当时，有0个零点；

当或时，有1个零点；

当时，有2个零点.

22．解：（1）设点M在极坐标系中的坐标，

由，得，

∵

∴或，

所以点M的极坐标为或

（2）由题意可设，.

由，得，.

故时，的最大值为.

23．解：（1）∵，∴.

∵，，，

∴，

∴，

∴，当且仅当时等号成立.

（2）∵，，

即两边开平方得.

同理可得，.

三式相加，得.