2020北京西城区高三诊断性考试（5月）数学试题含答案

这是一份2020北京西城区高三诊断性考试（5月）数学试题含答案，共12页。试卷主要包含了 A， B， D等内容，欢迎下载使用。
西 城 区 高 三 诊 断 性 测 试
数 学 2020.5
第Ⅰ卷（选择题 共40分）
一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．
01．设集合，，则=
（A）
（B）
（C）
（D）
02．若复数满足，则在复平面内对应的点位于
（A）第一象限
（B）第二象限
（C）第三象限
（D）第四象限
03．下列函数中，值域为且区间上单调递增的是
（A）
（B）
（C）
（D）
04．抛物线的准线方程为
（A）
（B）
（C）
（D）
05．在中，若，则其最大内角的余弦值为
（A）
（B）
（C）
（D）
06．设，，，则
（A）
（B）
（C）
（D）
07．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是

（A）6
（B）4
（C）3
（D）2
08．若圆与轴，轴均有公共点，则实数的取值范围是
（A）
（B）
（C）
（D）
09．若向量与不共线，则“”是“”的
（A）充分而不必要条件
（B）必要而不充分条件
（C）充要条件
（D）既不充分也不必要条件
10．设函数．若关于的不等式有且仅有一个整数解，则正数的取值范围是
（A）
（B）
（C）
（D）

第Ⅱ卷（非选择题 共110分）
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．
11．设平面向量，满足，则____．
12．若双曲线经过点，则该双曲线渐近线的方程为____．
13．设函数，则函数的最小正周期为____；若对于任意，都有成立，则实数的最小值为____．
14．甲、乙、丙、丁四人参加冬季滑雪比赛，其中有两人最终获奖．在比赛结果揭晓之前，四人的猜测如下表，其中“√”表示猜测某人获奖，“×”表示猜测某人未获奖，而“○”则表示对某人是否获奖未发表意见．已知四个人中有且只有两个人的猜测是完全正确定的，那么两名获奖者是____，____．

甲获奖
乙获奖
丙获奖
丁获奖
甲的猜测
√
×
×
√
乙的猜测
×
○
○
√
丙的猜测
×
√
×
√
丁的猜测
○
○
√
×
15．在四棱锥中，底面是正方形，底面，，分别是棱的中点，对于平面截四棱锥所得的截面多边形，有以下三个结论：
①截面的面积等于；
②截面是一个五边形；
③截面只与四棱锥四条侧棱中的三条相交．
其中，所有正确结论的序号是______．

三、解答题：本大题共6小题，共85分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
16．（本小题满分14分）
如图，在几何体中，底面是边长为的正方形，平面，，且．
（Ⅰ）求证：平面平面；
（Ⅱ）求钝二面角的余弦值．


17．（本小题满分14分）
从①前项和，②，③且这三个条件中任选一个，补充到下面的问题中，并完成解答．
在数列中，，_______，其中．
（Ⅰ）求的通项公式；
（Ⅱ）若成等比数列，其中，且，求的最小值．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．







18．（本小题满分14分）
某花卉企业引进了数百种不同品种的康乃馨，通过试验田培育，得到了这些康乃馨种子在当地环境下的发芽率，并按发芽率分为8组：，，…，加以统计，得到如图所示的频率分布直方图．

企业对康乃馨的种子进行分级，将发芽率不低于的种子定为“A级”，发芽率低于但不低于的种子定为“B级”，发芽率低于的种子定为“C级”．
（Ⅰ）现从这些康乃馨种子中随机抽取一种，估计该种子不是“C级”种子的概率；
（Ⅱ）该花卉企业销售花种，且每份“A级”、“B级”“C级”康乃馨种子的售价分别为20元、15元、10元．某人在市场上随机购买了该企业销售的康乃馨种子两份，共花费元，以频率为概率，求的分布列和数学期望；
（Ⅲ）企业改进了花卉培育技术，使得每种康乃馨种子的发芽率提高到原来的倍，那么对于这些康乃馨的种子，与旧的发芽率数据的方差相比，技术改进后发芽率数据的方差是否发生变化？若发生变化，是变大了还是变小了？（结论不需要证明）．



19．（本小题满分14分）
已知椭圆的离心率为，右焦点为，点，且．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）过点的直线（不与轴重合）交椭圆于点，直线分别与直线交于点，，求的大小．












20．（本小题满分15分）
设函数，其中．
（Ⅰ）已知函数为偶函数，求的值；
（Ⅱ）若，证明：当时，；
（Ⅲ）若在区间内有两个不同的零点，求的取值范围．






















21．（本小题满分14分）
设为正整数，区间（其中，）同时满足下列两个条件：
①对任意，存在使得；
②对任意，存在，使得（其中）．
（Ⅰ）判断能否等于或；（结论不需要证明）．
（Ⅱ）求的最小值；
（Ⅲ）研究是否存在最大值，若存在，求出的最大值；若不在在，说明理由．



































西 城 区 高 三 诊 断 性 测 试
数学参考答案 2020.5
一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.
1．C
2．A
3．B
4．D
5. A
6. B
7. D
8. A
9. A
10. D
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.
11．
12．
13．，
14．乙，丁
15．② ③

注：第14题全部选对得5分，其他得0分；第15题全部选对得5分，不选或有错选得0分，其他得3分.
三、解答题：本大题共6小题，共85分. 其他正确解答过程，请参照评分标准给分.
16．（本小题满分14分）
解：（Ⅰ）因为，平面，平面，
所以平面. ……………… 3分
同理，得平面.
又因为，平面，平面，
所以平面平面. ……………… 6分
（Ⅱ）由平面，底面为正方形，
A B
C
F
E
D
y
x
z
得两两垂直，故分别以为轴，轴，轴，如图建立空间直角坐标系， ……………… 7分
则，，，，
所以，. ……… 8分
设平面的法向量，
由，，得
令，得. ………………11分
平面的法向量.
设钝二面角的平面角为，
则 ，
所以，即钝二面角的余弦值为. ……………… 14分

17．（本小题满分14分）
解：选择 ①：
(Ⅰ) 当时，由，得. ……………… 2分
当时，由题意，得， ……………… 3分
所以（）. ……………… 5分
经检验，符合上式，
所以. ……………… 6分
(Ⅱ)由成等比数列，得， ……………… 8分
即. ……………… 9分
化简，得， ……………… 11分
因为，是大于1的正整数，且，
所以当时，有最小值． ……………… 14分
选择 ②:
(Ⅰ)因为，所以． ……………… 2分
所以数列是公差的等差数列． ……………… 4分
所以. ……………… 6分
(Ⅱ)由成等比数列，得， ……………… 8分
即. ……………… 9分
化简，得， ……………… 11分
因为，是大于1的正整数，且，
所以当时，取到最小值6． ……………… 14分
选择 ③：
(Ⅰ) 由，得.
所以数列是等差数列． ……………… 2分
又因为，，
所以． ……………… 4分
所以. ……………… 6分
(Ⅱ) 因为成等比数列，所以， ……………… 8分
即. ……………… 9分
化简，得， ……………… 11分
因为，是大于1的正整数，且，
所以当时，有最小值． ……………… 14分

18．（本小题满分14分）
解：（Ⅰ）设事件为：“从这些康乃馨种子中随机抽取一种，且该种子不是“C级”种子”，
……………… 1分
由图表，得，
解得. ……………… 2分
由图表，知“C级”种子的频率为， ………… 3分
故可估计从这些康乃馨种子中随机抽取一种，该种子是“C级”的概率为.
因为事件与事件“从这些康乃馨种子中随机抽取一种，且该种子是“C级”种子”为对立事件，
所以事件的概率. ……………… 5分
（Ⅱ） 由题意，任取一种种子，恰好是“A级”康乃馨的概率为，
恰好是“B级”康乃馨的概率为，
恰好是“C级”的概率为. ……………… 7分
随机变量的可能取值有，，，，，
且，
，
，
，
. ……………… 9分
所以的分布列为：












……………… 10分
故的数学期望.
……………… 11分
（Ⅲ）与旧的发芽率数据的方差相比，技术改进后发芽率数据的方差变大了. …… 14分
M
P
A
F
N
x
y
O
Q

19．（本小题满分14分）
解：（Ⅰ）由题意得
解得，， …………… 3分
从而，
所以椭圆的方程为． … 5分
（Ⅱ）当直线的斜率不存在时，有，，，，，
则，，故，即． ………… 6分
当直线的斜率存在时，设，其中． ……………… 7分
联立 得． ……………… 8分
由题意，知恒成立，
设，，则，． ………… 9分
直线的方程为． ……………… 10分
令，得，即． ……………… 11分
同理可得． ……………… 12分
所以，．
因为
， 所以．
综上，. ……………… 14分

20．（本小题满分15分）
解：（Ⅰ）函数为偶函数，
所以，即， ……………… 2分
解得.
验证知符合题意. ……………… 4分
（Ⅱ）. ……………… 6分
由，得，， ……………… 7分
则，即在上为增函数.
故，即. ………………9 分
（Ⅲ）由，得.
设函数，， ……………… 10分
则. ……………… 11分
令，得.
随着变化，与的变化情况如下表所示：






0


↗
极大值
↘
所以在上单调递增，在上单调递减. ……………… 13分
又因为，，，
所以当时，方程在区间内有两个不同解，且在区间与上各有一个解.
即所求实数的取值范围为. ……………… 15分

21．（本小题满分14分）
解：(Ⅰ) 可以等于，但不能等于. ……………… 3分
(Ⅱ) 记为区间的长度，
则区间的长度为，的长度为.
由①，得. ……………… 6分
又因为，，，显然满足条件①，②.
所以的最小值为. ……………… 8分
(Ⅲ) 的最大值存在，且为. ……………… 9分
解答如下：
（1）首先，证明.
由②,得互不相同，且对于任意，.
不妨设.

如果，那么对于条件②，当时，不存在，使得.
这与题意不符，故. ……………… 10分
如果，那么，
这与条件②中“存在，使得”矛盾，
故.
所以，，，，
则.
故.
若存在，这与条件②中“存在，使得”矛盾，
所以. ……………… 12分
（2）给出存在的例子 .
令，其中，即为等差数列，公差.
由，知，则易得，
所以满足条件①.
又公差，
所以，.（注：
为区间的中点对应的数）
所以满足条件②.
综合（1）（2）可知的最大值存在，且为. ……………… 14分