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    2020北京西城区高三诊断性考试(5月)数学试题含答案

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    西 城 区 高 三 诊 断 性 测 试数 学 2020.5第Ⅰ卷(选择题 共40分)一、选择题:本大题共10小题,每小题4分,共40分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.01.设集合,,则=02.若复数满足,则在复平面内对应的点位于03.下列函数中,值域为且区间上单调递增的是04.抛物线的准线方程为05.在中,若,则其最大内角的余弦值为06.设,,,则07.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积是08.若圆与轴,轴均有公共点,则实数的取值范围是09.若向量与不共线,则“”是“”的10.设函数.若关于的不等式有且仅有一个整数解,则正数的取值范围是第Ⅱ卷(非选择题 共110分)二、填空题:本大题共5小题,每小题5分,共25分.11.设平面向量,满足,则____.12.若双曲线经过点,则该双曲线渐近线的方程为____.13.设函数,则函数的最小正周期为____;若对于任意,都有成立,则实数的最小值为____.14.甲、乙、丙、丁四人参加冬季滑雪比赛,其中有两人最终获奖.在比赛结果揭晓之前,四人的猜测如下表,其中“√”表示猜测某人获奖,“×”表示猜测某人未获奖,而“○”则表示对某人是否获奖未发表意见.已知四个人中有且只有两个人的猜测是完全正确定的,那么两名获奖者是____,____.15.在四棱锥中,底面是正方形,底面,,分别是棱的中点,对于平面截四棱锥所得的截面多边形,有以下三个结论:①截面的面积等于;②截面是一个五边形;③截面只与四棱锥四条侧棱中的三条相交.其中,所有正确结论的序号是______.三、解答题:本大题共6小题,共85分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.16.(本小题满分14分)如图,在几何体中,底面是边长为的正方形,平面,,且.(Ⅰ)求证:平面平面;(Ⅱ)求钝二面角的余弦值.17.(本小题满分14分)从①前项和,②,③且这三个条件中任选一个,补充到下面的问题中,并完成解答.在数列中,,_______,其中.(Ⅰ)求的通项公式;(Ⅱ)若成等比数列,其中,且,求的最小值.注:如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分.18.(本小题满分14分)某花卉企业引进了数百种不同品种的康乃馨,通过试验田培育,得到了这些康乃馨种子在当地环境下的发芽率,并按发芽率分为8组:,,…,加以统计,得到如图所示的频率分布直方图.企业对康乃馨的种子进行分级,将发芽率不低于的种子定为“A级”,发芽率低于但不低于的种子定为“B级”,发芽率低于的种子定为“C级”.(Ⅰ)现从这些康乃馨种子中随机抽取一种,估计该种子不是“C级”种子的概率;(Ⅱ)该花卉企业销售花种,且每份“A级”、“B级”“C级”康乃馨种子的售价分别为20元、15元、10元.某人在市场上随机购买了该企业销售的康乃馨种子两份,共花费元,以频率为概率,求的分布列和数学期望;(Ⅲ)企业改进了花卉培育技术,使得每种康乃馨种子的发芽率提高到原来的倍,那么对于这些康乃馨的种子,与旧的发芽率数据的方差相比,技术改进后发芽率数据的方差是否发生变化?若发生变化,是变大了还是变小了?(结论不需要证明).19.(本小题满分14分)已知椭圆的离心率为,右焦点为,点,且.(Ⅰ)求椭圆的方程;(Ⅱ)过点的直线(不与轴重合)交椭圆于点,直线分别与直线交于点,,求的大小.20.(本小题满分15分)设函数,其中.(Ⅰ)已知函数为偶函数,求的值;(Ⅱ)若,证明:当时,;(Ⅲ)若在区间内有两个不同的零点,求的取值范围.21.(本小题满分14分)设为正整数,区间(其中,)同时满足下列两个条件:①对任意,存在使得;②对任意,存在,使得(其中).(Ⅰ)判断能否等于或;(结论不需要证明).(Ⅱ)求的最小值;(Ⅲ)研究是否存在最大值,若存在,求出的最大值;若不在在,说明理由.西 城 区 高 三 诊 断 性 测 试 数学参考答案 2020.5一、选择题:本大题共10小题,每小题4分,共40分.二、填空题:本大题共5小题,每小题5分,共25分. 注:第14题全部选对得5分,其他得0分;第15题全部选对得5分,不选或有错选得0分,其他得3分.三、解答题:本大题共6小题,共85分. 其他正确解答过程,请参照评分标准给分. 16.(本小题满分14分)解:(Ⅰ)因为,平面,平面, 所以平面. ……………… 3分 同理,得平面. 又因为,平面,平面, 所以平面平面. ……………… 6分 (Ⅱ)由平面,底面为正方形,A BCF EDyxz 得两两垂直,故分别以为轴,轴,轴,如图建立空间直角坐标系, ……………… 7分 则,,,, 所以,. ……… 8分 设平面的法向量, 由,,得 令,得. ………………11分 平面的法向量. 设钝二面角的平面角为, 则 , 所以,即钝二面角的余弦值为. ……………… 14分 17.(本小题满分14分)解:选择 ①: (Ⅰ) 当时,由,得. ……………… 2分 当时,由题意,得, ……………… 3分 所以(). ……………… 5分 经检验,符合上式, 所以. ……………… 6分 (Ⅱ)由成等比数列,得, ……………… 8分 即. ……………… 9分 化简,得, ……………… 11分 因为,是大于1的正整数,且, 所以当时,有最小值. ……………… 14分选择 ②: (Ⅰ)因为,所以. ……………… 2分 所以数列是公差的等差数列. ……………… 4分 所以. ……………… 6分 (Ⅱ)由成等比数列,得, ……………… 8分 即. ……………… 9分 化简,得, ……………… 11分 因为,是大于1的正整数,且, 所以当时,取到最小值6. ……………… 14分 选择 ③: (Ⅰ) 由,得. 所以数列是等差数列. ……………… 2分又因为,,所以. ……………… 4分所以. ……………… 6分(Ⅱ) 因为成等比数列,所以, ……………… 8分 即. ……………… 9分 化简,得, ……………… 11分 因为,是大于1的正整数,且, 所以当时,有最小值. ……………… 14分 18.(本小题满分14分)解:(Ⅰ)设事件为:“从这些康乃馨种子中随机抽取一种,且该种子不是“C级”种子”, ……………… 1分 由图表,得, 解得. ……………… 2分 由图表,知“C级”种子的频率为, ………… 3分 故可估计从这些康乃馨种子中随机抽取一种,该种子是“C级”的概率为. 因为事件与事件“从这些康乃馨种子中随机抽取一种,且该种子是“C级”种子”为对立事件,所以事件的概率. ……………… 5分 (Ⅱ) 由题意,任取一种种子,恰好是“A级”康乃馨的概率为, 恰好是“B级”康乃馨的概率为, 恰好是“C级”的概率为. ……………… 7分 随机变量的可能取值有,,,,, 且, , , , . ……………… 9分 所以的分布列为: ……………… 10分 故的数学期望. ……………… 11分 (Ⅲ)与旧的发芽率数据的方差相比,技术改进后发芽率数据的方差变大了. …… 14分MPAFNxyOQ19.(本小题满分14分)解:(Ⅰ)由题意得 解得,, …………… 3分 从而, 所以椭圆的方程为. … 5分 (Ⅱ)当直线的斜率不存在时,有,,,,, 则,,故,即. ………… 6分 当直线的斜率存在时,设,其中. ……………… 7分 联立 得. ……………… 8分 由题意,知恒成立, 设,,则,. ………… 9分 直线的方程为. ……………… 10分 令,得,即. ……………… 11分 同理可得. ……………… 12分 所以,. 因为 , 所以. 综上,. ……………… 14分20.(本小题满分15分)解:(Ⅰ)函数为偶函数, 所以,即, ……………… 2分 解得. 验证知符合题意. ……………… 4分 (Ⅱ). ……………… 6分 由,得,, ……………… 7分 则,即在上为增函数. 故,即. ………………9 分(Ⅲ)由,得.设函数,, ……………… 10分则. ……………… 11分令,得. 随着变化,与的变化情况如下表所示: 所以在上单调递增,在上单调递减. ……………… 13分又因为,,,所以当时,方程在区间内有两个不同解,且在区间与上各有一个解.即所求实数的取值范围为. ……………… 15分21.(本小题满分14分)解:(Ⅰ) 可以等于,但不能等于. ……………… 3分(Ⅱ) 记为区间的长度, 则区间的长度为,的长度为. 由 = 1 \* GB3 ①,得. ……………… 6分 又因为,,,显然满足条件 = 1 \* GB3 ①, = 2 \* GB3 ②. 所以的最小值为. ……………… 8分(Ⅲ) 的最大值存在,且为. ……………… 9分 解答如下: (1)首先,证明. 由 = 2 \* GB3 ②,得互不相同,且对于任意,. 不妨设.如果,那么对于条件 = 2 \* GB3 ②,当时,不存在,使得. 这与题意不符,故. ……………… 10分 如果,那么, 这与条件 = 2 \* GB3 ②中“存在,使得”矛盾, 故. 所以,,,, 则. 故. 若存在,这与条件 = 2 \* GB3 ②中“存在,使得”矛盾, 所以. ……………… 12分 (2)给出存在的例子 . 令,其中,即为等差数列,公差. 由,知,则易得, 所以满足条件 = 1 \* GB3 ①. 又公差, 所以,.(注: 为区间的中点对应的数) 所以满足条件 = 2 \* GB3 ②. 综合(1)(2)可知的最大值存在,且为. ……………… 14分 (A)(B)(C)(D)(A)第一象限(B)第二象限(C)第三象限(D)第四象限(A)(B)(C)(D)(A)(B)(C)(D)(A)(B)(C)(D)(A)(B)(C)(D)(A)6(B)4(C)3(D)2(A)(B)(C)(D)(A)充分而不必要条件(B)必要而不充分条件(C)充要条件(D)既不充分也不必要条件(A)(B)(C)(D)甲获奖乙获奖丙获奖丁获奖甲的猜测√××√乙的猜测×○○√丙的猜测×√×√丁的猜测○○√×1.C2.A 3.B4.D 5. A6. B7. D8. A9. A10. D11.12.13.,14.乙,丁15. = 2 \* GB3 ②  = 3 \* GB3 ③       0↗极大值↘

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