2020遂宁高三第三次诊断考试数学（文）含答案

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遂宁市高中2020届三诊考试数学（文科）试题参考答案及评分意见一、选择题（12×5=60分）二、填空题（45=20分）13. 14. 15. 16.三、解答题：本大题共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（本小题满分12分）【解析】（1）由函数的部分图象可得,,即,则，又函数图像过点 ，则，即，又，即，（每值1分）即，则 …………4分由，，得，，所以函数的单调减区间为………6分（少扣1分）（2）由，得，因为，所以，所以，，又，由正弦定理得①． ……………8分由余弦定理，得，即②．由①②解得，． ……………11分所以 ……………12分18．（本小题满分12分）【解析】(1)设代表队共有人，则，所以，则三等奖代表队的男生人数为，故所求二等奖代表队的男生人数为人。……………3分（2）设男生为，，女生为，，，随机抽取3人，包括的基本事件为，，，，，，，，，，个数为10个，只有一个男生上台领奖基本事件为，，，，，，个数为6个，所以只有一个男生上台领奖的概率为。……………8分(3)试验的全部结果所构成的区域为，面积为，事件表示代表队队员获得奖品，所构成的区域为，如图阴影部分的面积为，这是一个几何概型，所以。即代表队队员获得奖品的概率为。 ……………12分19．（本小题满分12分）【解析】（1）因为在长方体中，有平面，所以， 因为四边形是正方形，所以，又从而平面 ．而平面，所以。 ……………5分（2）因为在长方体中，有与平面所成角为，由（1）知为直线与平面所成的角，所以，所以．由可知，所以，又，即，故，在上取一点，使，连接，则在长方体中，有∥∥，且，所以四边形为平行四边形，所以∥，在上取一点，使因为，，所以,所以在正方形中，，所以≌（）。所以，所以∥，所以（或其补角）为异面直线与所成的角，在中， ，在中，由余弦定理得，则，又在中，由余弦定理得。故所求余弦值为。 ……………12分20．（本小题满分12分）【解析】（1）因为，所以，令，，再令，，所以在上单调递减，所以。 ……………3分所以，则在上单调递减，所以，所以，又，即正实数的取值范围是. ……………5分（2），则， ……………7分因，故，又，故对恒成立，即在区间单调递增；又，； ……………10分故当时，，此时在区间内恰好有个零点；当时，，此时在区间内没有零点。……………12分21．（本小题满分12分）【解析】（1）椭圆上的点的下辅助点为，辅助圆的半径为，椭圆长半轴为，将点代入椭圆方程中，解得，椭圆的方程为； ……………4分（2）设点，则点，将两点坐标分别代入辅助圆方程和椭圆方程可得，，，故，即，又，则 ……………6分将与联立可解得或，下辅助点的坐标为或； ……………7分（3）由题意可设，.联立整理得，则.根据韦达定理得 ， ……………8分因为. 所以，因为点在椭圆上，所以，整理得，即 ……………10分在直线l：中，由于直线与坐标轴围成三角形，则，.令，得，令，得.所以三角形面积为当且仅当，时，取等号，此时.所以直线l与坐标轴围成的三角形面积的最小值为. ……………12分22．（本小题满分10分）【解析】（1）将曲线方程，先向左平移个单位，再向上平移个单位，得到曲线的方程为，也即，故曲线的参数方程为为参数）； ……………2分又点为曲线上任意一点，所以，所以的最大值为； ……………5分（2）由（1）知曲线C的直角坐标方程为，又直线l的参数方程为，（为参数），所以直线的普通方程为，所以有解得或， ……………8分所以线段的中点坐标为，即线段的中点坐标为，直线的斜率为，则与直线垂直的直线的斜率为，故所求直线的直角坐标方程为，即，将代入，得其极坐标方程为 ……………10分23．（本小题满分10分）【解析】（1）不等式化为，即，等价于①或②，由①解得，由②解得或， ……………4分所以不等式的解集为． ……………5分（2）根据绝对值三角不等式可知， ……………7分因为的值域为所以，则，故，当且仅当，即时取等号时，由基本不等式可得．……………10分题号123456789101112答案DDBAABCCADCC