2020宁德高三普通高中毕业班5月质量检查数学（理）试题含答案

2020届宁德市普通高中毕业班质量检查试卷（5.4）

理 科 数 学

本试卷共23题，共150分，共6页．

注意事项：

1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考号填写在答题卡上．考生要认真核对答题卡上粘贴的“姓名、准考证号、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致．

2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．非选择题用0.5毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答．若在试题卷上作答，答案无效．

3．考试结束，监考员将试题卷和答题卡一并交回 ．

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．设集合，，则=

A．   B.    C.   D.

2．设等差数列的前项和为，若，，则

A．36      B．70      C．72      D．144

3．干支是天干（甲、乙、…、癸）和地支（子、丑、…、亥）的合

称，“干支纪年法”是我国传统的纪年法．如图是查找公历某年所

对应干支的程序框图．例如公元1988年，即输入，执行

该程序框图，运行相应的程序，输出，从干支表中查出对应

的干支为戊辰．我国古代杰出数学家祖冲之出生于公元年，

则该年所对应的干支为

A. 己巳     

B. 庚午

C. 壬戌    

D. 癸亥

4． 的展开式中，的系数是

    A．     B．     C．         D．

5．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为

A．       B． 　　C．        D．

6．已知，且，则

A．        B．      C．        D．或

7．在复平面内为坐标原点，复数，对应的

点分别为，，则的大小为

A．        B．        C．        D．

8．函数 恒成立的一个充分不必要条件是

A．  B．  C．   D．

9．已知为坐标原点，是的直径．若点满足，则的最小值为

A．       B．        C．         D．

10．方程的曲线有下列说法：

①该曲线关于对称； ②该曲线关于点对称；

③该曲线不经过第三象限；④该曲线上有无数个点的横、纵坐标都是整数．

其中正确的是

A．②③     B．①④     C．②④      D．①③

11．如图，四边形为正方形，四边形为矩形，

且平面与平面互相垂直．若多面体

的体积为，则该多面体外接球表面积的最小值为

A．      B．     C．       D．

12．双曲线的左、右焦点分别为，，为坐标原点．为

曲线右支上的点，点在外角平分线上，且．若恰为顶角为的等腰三角形，则该双曲线的离心率为

A．      B．     C．       D．

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．

13．若抛物线经过点，，则该抛物线的标准方程为___________．

14．记为正项数列的前项和，．若，，则___________．

15．宁德市中学生篮球比赛中，右图为某球队场比赛得分的茎叶

图，其中有两个数字不慎被墨迹污染（分别用标注）.目前得

知这组数据的平均值为，则方差最大时的值为_________．            

16．已知函数 若关于的不等式的解集非空，且为有限集，则实数的取值集合为___________．

三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程和演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22、23题为选考题，考生根据要求做答．

（一）必考题：共60分

17．（12分）

如图，在平面四边形中，，，，，.

（1）求；

（2）求的长.

18．（12分）

如图，在棱柱中，底面为平行四边形，

,,且在底面上的投影恰为的中点.

（1）过作与垂直的平面，交棱于点，试确定点的位置，并说明理由；

（2）若点满足，试求的值，使二面角为.

19．（12分）

已知椭圆的离心率为，分别为椭圆的左、右焦点，点为椭圆上的一动点，面积的最大值为2.

（1）求椭圆的方程；

（2）直线与椭圆的另一个交点为，点，证明：直线与直线关于轴对称.

20．（12分）

已知函数（）．

（1）讨论函数的单调性；

（2）求证： ．

21．（12分）

某市旅游局为尽快恢复受疫情影响的旅游业，准备在本市的景区推出旅游一卡通（年卡）．为了更科学的制定一卡通的有关条例，市旅游局随机调查了2019年到本市景区旅游的1000个游客的年旅游消费支出（单位：百元），并制成如下频率分布直方图：

由频率分布直方图，可近似地认为到本市景区旅游的游客，其旅游消费支出服从正态分布，其中近似为样本平均数（同一组数据用该组区间的中点值作代表）.

(1) 若2019年到本市景区旅游游客为500万人，试估计2019年有多少游客在本市的年旅游消费支出不低于1820元；

(2) 现依次抽取个游客，假设每个游客的旅游消费支出相互独立，记事件表示“连续3人的旅游消费支出超出”．若表示的概率，为常数），且.

（i）求，及，；

（ii）判断并证明数列从第三项起的单调性，试用概率统计知识解释其实际意义．

参考数据：，，

(二)选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分．

22．[选修4―4：坐标系与参数方程]（10分）

在直角坐标系中，曲线的参数方程为．以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，点的极坐标为，直线的极坐标方程为．

(1)求的直角坐标和 l的直角坐标方程；

(2)把曲线上各点的横坐标伸长为原来的倍，纵坐标伸长为原来的倍，得到曲线，为上动点，求中点到直线距离的最小值．

23．[选修4—5：不等式选讲]（10分）

已知函数. 若存在实数使得成立.

(1)求的值；

(2)若，，求的最小值.

2020年宁德市普通高中毕业班质量检查试卷（5.4）

数学（理科）参考答案及评分标准

说明：

    一、本解答指出了每题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解法不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准指定相应的评分细则．

    二、对计算题，当考生的解答在某一部分解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应给分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．

    三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．

    四、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分．

一、选择题：本题考查基础知识和基本运算，每小题5分，满分60分．

1．B    2．C    3．A    4．D    5．A    6．A

7．B    8．C    9．C   10．D   11．B   12．D

二、填空题：本题考查基础知识和基本运算，每小题5分，满分20分．

13．     14．    15．      16．  

三、解答题：本大题共6小题，满分70分，解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．

17．本小题主要考查正弦定理、余弦定理、三角恒等变换等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想等．满分12分．

解：（1）因为，，

所以.……………………………………2分

在中，，

所以…………………………………………………………3分

……………………………………………………4分

. …………………………………………………………5分

（2）在中，由正弦定理得，…………………………………6分

即，解得.…………………………………………………………8分

因为，，

所以，……………9分

在中，，根据余弦定理，

…10分

解得．…………………………12分

18．本小题主要考查空间直线与直线、直线与平面的位置关系及平面与平面所成的角等基础知识，考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想等．满分12分．

解：

解法一：

（1）当点为棱的中点时，符合题目要求，………1分

下面给出证明.

分别连结，.

在中，

所以，因此，即，…………2分

因为在底面上的投影恰为的中点，

所以平面，

又平面，所以，…………………3分

又，，平面,

所以平面,

因此，点即为所求，平面即为.…………………5分

（2）证明：由题（1）知可得,,，

所以,…………………6分

分别以为轴的正方向，以过点垂直于平面的方向为轴，建立空间直角坐标系，

，，，，，，，.…………………7分

所以

易得平面的一个法向量为.……………8分

，

设为平面的一个法向量，则：

，即得，

令，得，.…………………10分

因为二面角为，所以，即，

所以，又因为二面角的大小为钝角，故..………………12分

解法二：

（1）当点为棱的中点时，符合题目要求，.…………………1分

下面给出证明.

分别连结，，.

因为在底面上的投影恰为的中点，所以平面，

又平面，所以..…………………2分

在中，,故为等边三角形，

又点为棱的中点，所以，.…………………3分

又，，平面,

所以平面,

因此，点即为所求，平面即为..…………………5分

（2）证明：连结，

在平行四边形中，

因为,

所以，故，即,…………………6分

分别以为轴的正方向建立空间直角坐标系，

，，，，，，

……7分

易得平面的一个法向量为……8分

设为平面的一个法向量，则：

，即，

令，得，…………………9分

因为二面角为，

所以，即，

所以，又因为二面角的大小为钝角，解得.……………12分

（其他正确建系方法酌情相应给分）

19．本题主要考查直线椭圆、直线与椭圆的位置关系等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力，考查函数与方程思想、化归与转化思想，考查考生分析问题和解决问题的能力，满分12分．

解：（1）因为椭圆的离心率为，

所以，即，又，所以，…………………………… 1分

因为面积的最大值为2，所以，即，

又因为，所以，，……………………………… 3分

故椭圆的方程为.……………………………… 4分

（2）由（1）得，

当直线的斜率为时，符合题意，………………… 5分

当直线的斜率不为时，

设直线的方程为，代入消去整理得：………………… 6分

，易得，…………………7分

设，则，………………… 8分

记直线的斜率分别为，则

……………11分

所以，因此直线与直线关于轴对称．……………………………… 12分

20．本小题主要考查导数及其应用、不等式等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、创新意识等，考查函数与方程思想、化归与转化思想、分类与整合思想、数形结合思想等．满分12分．

解:（1）定义域为，

.……………………………1分

当时，，

所以函数的单调递增区间为，递减区间为；………………………… 2分

当时，令，得或，………………………………………3分

当时，恒成立，

所以函数的单调递增区间为，无减区间；…………………………………4分

当时，，

所以函数的单调递增区间为和，单调递减区间为；………5分

当时，，

所以函数的单调递增区间为和，单调递减区间为．………6分

综上所述，当时，函数的单调递增区间为，递减区间为；

当时，函数的单调递增区间为，无减区间；

当时，函数的单调递增区间为和，单调递减区间为；

当时，函数的单调递增区间为和，单调递减区间为．

(2)设，

 ，…………………………………7分

由（1）可知，当时，，

且的单调递增区间为，递减区间为，

所以的单调递增区间为，递减区间为，…………………………………8分

故，所以在上单调递增. …………………………………9分

又，

所以当时，，时，；…………………………………10分

又当时，，时，，…………………………………11分

所以..………………………………………12分

21．本小题主要考查频率分布直方图、平均数、正态分布、随机事件的概率、数列及其性质等基础知识，考查运算求解能力、数据处理能力、应用意识，考查分类与整合思想、统计思想、化归与转化思想．满分12分．

解：（1）直方图可得

…………… 2分

∵，，∴旅游费用支出不低于元的概率为

，…………… 3分

∴，

估计年有万的游客在本市的年旅游费用支出不低于元．…………… 4分

（2）（i），………………………………………………………………5分

，……………………………………………………………………6分

所以即 ………………7分

解得………8分

（i）数列从第三项起单调递减. ……………9分

，

  故

又，所以，………………………………10分

即从第三项起数列单调递减.

由此，可知随着抽查人数的增加，事件“不连续3人的旅游费用支出超出”的可能性会越来越小. (即最终会出现连续3人的旅游费用支出超出这一事件).…………………12分

22．选修；坐标系与参数方程

本小题主要考查极坐标与直角坐标的互化、参数方程的应用，意在考查考生综合运用知识和运算求解能力． 满分10分．

（1）因为点的极坐标为，直线的极坐标方程为，

由，………………………………………………………………………………2分

得点的直角坐标为，…………………………………………………………………3分

直线的直角坐标方程为．……………………………………………………4分

解法一：（2）设，则由条件知点在曲线上，所以……………………6分

，即，…………………………………………………………7分

又因为为中点，所以，……………………………………8分

则点到直线距离为，…………………………9分

当时，取得最小值，故中点到直线距离的最小值为．………………………………………………………………………………………10分

解法二：（2）设，则由条件知点在曲线上，…………………………6分

，即，…………………………………………………………7分

则点到直线的距离为，…………………………………………………8分

点到直线距离为，

当时，取得最小值，

故点到直线距离的最小值为，……………………………………………………9分

又因为点为中点，则点到直线距离的最小值为．………………………10分

23．选修：不等式选讲

本小题考查含绝对值、参数的不等式有解问题与基本不等式的应用，考查运算求解能力、推理论证能力，考查化归与转化思想等． 满分10分．

解法一：（1）存在实数使得成立等价于存在实数使得成立，而，…………………………………………………2分

故存在实数使得成立等价于，………………………………………3分

解得，……………………………………………………………………………4分

又因为，则……………………………………………………………………5分

（2）由（1）得，故，

所以，………………………………………………………………………… 6分

由，

故，

所以，，……………………………………………………………………… 7分

，……………… 9分

当且仅当时取最小值.……………………………………………………10分

解法二：（1）同解法一；

（2）由，

得，

即，……………………………………………………………………………… 7分

由，

所以……………………………9分

当且仅当时取最小值. ……………………………………………………10分