2020新疆博尔塔拉蒙古自治州第五师高级中学高三上学期第二次月考数学（理）试题含答案

数学试卷（理数）

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分）

1.若集合表示实数集，则下列选项错误的是(      )

A．       B．         D．

2.我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯（   ）

A．9盏               B．5盏             C．3盏             D．1盏

3.函数“  是偶函数”的否定是(    )

A.            B.

C.           D.

A. 16                    B. 4              C. 1                  D.

5.直三棱柱中，所有棱长都相等，M是的中点，N是的中点，则AM与NC1所成角的余弦值为（   ）

A．  B．  C． D．

6.若 分别是 的中点，则的值为（  ）

A．     B． 

C． D．

8.一锥体的三视图如图所示，则该棱锥的最长棱的棱长为(　　)

A.         B.       C.      D.

9.三棱锥P­ABC中，PA⊥平面ABC且PA＝2，△ABC是边

长为的等边三角形，则该三棱锥外接球的表面积为(　　)

A.          B．4π      C．8π      D．20π

11.已知函数的定义在R上的奇函数，当时，满足，则在区间内（    ）

A. 没有零点     B. 恰有一个零点     C. 至少一个零点     D. 至多一个零点

12. 在矩形ABCD中，AB=1，AD=2，动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上．若= +，则+的最大值为（     ）

A．3           B．2           C．  D．2

二、填空题(本大题包括4小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在答题卡中的横线上)

13. 已知向量满足且则与的夹角为_________. 14.定积分的值为         ；

15.定义：，已知数列满足：，若对任意正整数，都有成立，则的值为_________.

16. 定义在R上的函数为减函数，且函数的图象关于点（1,0）对称，若且，则的取值范围是_________。

三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

17.（本小题满分 10 分）已知函数f(x)＝2|x＋1|＋|x－2|.

(1)求f(x)的最小值m；

(2)若a，b，c均为正实数，且满足a＋b＋c＝m，求证：＋＋≥3.

18.(本小题满分12分)已知f(x)=sin(π+ωx)·sin-cos2ωx(ω>0)的最小正周期为T=π.

(1)求f的值;

(2)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若(2a-c)cos B=bcos C,求角B的大小以及f(A)的取值范围.

19. （本小题满分12分）已知等差数列的前n项和为Sn,公差d≠0,

且,成等比数列.

(1)求数列的通项公式;

(2)设是首项为1,公比为3的等比数列,求数列的前n项和Tn.

20.（本小题满分12分）如图1，平面五边形中，∥，，，△是边长为2的正三角形. 现将△沿折起，得到四棱(如图2)，且.

（1）求证：平面平面；

（2）在棱上是否存在点，使得∥平面？若存在，求的值；若不存在，请说明理由. 

21. （本小题满分12分）已知数列，满足，，.

（Ⅰ）求证：数列为等差数列；

（Ⅱ）设，求.

22. （本小题满分12分）已知函数 (为常数，)·

(Ⅰ)若是函数的一个极值点，求的值；(Ⅱ)求证：当时，在上是增函数；(Ⅲ)若对任意的，总存在，使不等式成立，求实数m的取值范围．

数学试卷（理数）答案

一．              选择题

二．        填空题
             

三．解答题

17.（1）当，；

当，；

当，。      

综上，的最小值。      ......5分

（2），，均为正实数，且满足。     

又因为。      

（当且仅当时，取“”）

所以，即。      ......10分

18.解 (1)f(x)=sin(π+ωx)·sin-cos2ωx=sin ωx·cos ωx-cos2ωx

=sin 2ωx-cos 2ωx-=sin.

∵最小正周期为T=π,∴=π,ω=1.

∴f(x)=sin.

∴f=sin.

(2)∵(2a-c)cos B=bcos C,

∴(2sin A-sin C)cos B=sin Bcos C,

2sin Acos B=sin Bcos C+cos Bsin C=sin(B+C)=sin A.

∵sin A>0,∴cos B=,∵B∈(0,π),∴B=.

∴A∈,2A-,

∴sin.即f(A)的取值范围为.

19.解 (1)依题意得解得

所以an=a1+(n-1)d=3+2(n-1)=2n+1,即an=2n+1.

(2)=3n-1,bn=an·3n-1=(2n+1)·3n-1,

Tn=3+5×3+7×32+…+(2n+1)·3n-1,①

3Tn=3×3+5×32+7×33+…+(2n-1)·3n-1+(2n+1)·3n,②

①-②得-2Tn=3+2×3+2×32+…+2·3n-1-(2n+1)3n=3+2·-(2n+1)3n=-2n·3n,所以Tn=n·3n.

20.（Ⅰ）证明：由已知得，.

      因为，所以平面.                               

又平面，所以平面平面.         

（2）在棱上存在点，使得∥平面，此时.                

理由如下：

设的中点为，连接，，

则 ∥，.

因为∥，且，

所以∥,且，

所以 四边形是平行四边形，                                     

所以 ∥.

因为平面，且平面，

所以∥平面.   

21.证明(Ⅰ)由,得, 
, 
数列是首项为1,公差为的等差数列, 
(Ⅱ)解:设, 
由(Ⅰ)得,数列是首项为1,公差为的等差数列, 
, 
即, 
, 
且
是首项,公差为的等差数列, 
 

22.试题解析：
（Ⅰ）由已知，得且，
                                                    
（Ⅱ）当时， 
当时， 又   
故在上是增函数                              

（Ⅲ）时，由（Ⅱ）知，在上的最大值为
于是问题等价于：对任意的，不等式恒成立。
记
则
当时， 在区间上递减，此时
由于，时不可能使恒成立，故必有

若，可知在区间上递减，在此区间上，有
，与恒成立相矛盾，故，这时，
在上递增，恒有，满足题设要求，
    即所以实数的取值范围为