2020武威六中高三下学期第三次诊断考试数学（理）试题含答案

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武威六中2020届高三第三次诊断考试试卷理 科 数 学（本试卷共3页，大题3个，小题22个。答案要求写在答题卡上）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分．）1．集合，，则（ ）A. B． C. D. 2．复数，其中为虚数单位，则的虚部为（ ）A. B． 1 C. D. 3．已知sin α＝eq \f(\r(5),5)，sin(α－β)＝－eq \f(\r(10),10)，α，β均为锐角，则β等于(　　 )A.eq \f(5π,12) B .eq \f(π,3) C.eq \f(π,4) D.eq \f(π,6)4．把60名同学看成一个总体,且给60名同学进行编号,分5为00,01,…,59,现从中抽取一容量为6的样本,请从随机数表的倒数第5行(下表为随机数表的最后5行)第11列开始向右读取,直到取足样本,则抽取样本的第6个号码为(　　 )A.32 B .38 C.39 D.265．如图，在底面边长为1，高为2的正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，点P是平面A1B1C1D1 内一点，则三棱锥P﹣BCD的正视图与侧视图的面积之和为（　　）A．3 B．2 C．4 D．56．在等比数列中，“是方程的两根”是“”的（ ）A. 充分不必要条件 B.必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件7．某运动制衣品牌为了成衣尺寸更精准，现选择15名志愿者，对其身高和臂展进行测量(单位:厘米),左图为选取的15名志愿者身高与臂展的折线图，右图为身高与臂展所对应的散点图,并求得其回归方程为以下结论中不正确的为( )A．15名志愿者身高的极差小于臂展的极差 B．15名志愿者身高和臂展成正相关关系C．可估计身高为190厘米的人臂展大约为189.65厘米D．身高相差10厘米的两人臂展都相差11.6厘米8．宋元时期数学名著《算学启蒙》中有关于“松竹并生”的问题：松长五尺，竹长两尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等，如图是源于其思想的一个程序框图，若输入的a，b分别为5，2，则输出的n等于(　　)A.2 B.3 C.4 D.59．已知抛物线y2＝2x的焦点为F，准线为l，P是l上一点，直线PF与抛物线交于M，N两点，若，则|MN|＝（　　）A． B． C．2 D．10．已知圆C1：x2＋y2－kx＋2y＝0与圆C2：x2＋y2＋ky－4＝0的公共弦所在直线恒过点P(a，b)，且点P在直线mx－ny－2＝0上，则mn的取值范围是(　　)A. B. C. D.11．已知F为双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的右焦点，定点A为双曲线虚轴的一个顶点，过F，A的直线与双曲线的一条渐近线在y轴左侧的交点为B，若eq \o(FA,\s\up6(→))＝(eq \r(2)－1)eq \o(AB,\s\up6(→))，则此双曲线的离心率是(　　)A.eq \r(2) B.eq \r(3) C.2eq \r(2) D.eq \r(5)12．已知函数，当时，的取值范围为，则实数m的取值范围是（ ）A. B. C. D. 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．已知，，与的夹角为，则__________.14．(x2＋1)的展开式的常数项是_________.15．已知f（x）是定义在R上的奇函数，当x＞0时，f（x）＝x2﹣2x，则不等式f（x）＞x的解集用区间表示为　 　．16．甲、乙、丙三位同学获得某项竞赛活动的前三名，但具体名次未知.3人作出如下预测：甲说：我不是第三名；乙说：我是第三名；丙说：我不是第一名．若甲、乙、丙3人的预测结果有且只有一个正确，由此判断获得第三名的是　 .三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程及演算步骤）DABC17．（本小题满分12分）在平面四边形ABCD中，已知AB＝2，AD＝3，∠ADB＝2∠ABD，∠BCD＝．（1）求BD；（2）求△BCD周长的最大值．18.（本小题满分12分）如图所示，四棱锥中，侧面底面，底面是平行四边形，，，，是中点，点在线段上.（Ⅰ）证明：；（Ⅱ）若 ，求实数使直线与平面所成角和直线与平面所成角相等.19.（本小题满分12分）某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额商品后即可抽奖，每次抽奖都从装有4个红球、6个白球的甲箱和装有5个红球、5个白球的乙箱中，各随机摸出1个球，在摸出的2个球中，若都是红球，则获一等奖；若只有1个红球，则获二等奖；若没有红球，则不获奖.（1）求顾客抽奖1次能获奖的概率；（2）若某顾客有3次抽奖机会，记该顾客在3次抽奖中获一等奖的次数为，求的分布列和数学期望.20.（本小题满分12分）已知椭圆C:=1(a>b>0)的离心率e=,过右焦点F且垂直于x轴的弦长为2.(1)求椭圆C的方程;(2)若直线l:y=x+m与椭圆C交于M,N两点,求△MFN的面积取最大值时m的值.21．（本小题满分12分）已知函数f(x)＝(a－x)ex－1，x∈R.(1)求函数f(x)的单调区间及极值；(2)设g(x)＝(x－t)2＋，当a＝1时，存在x1∈(－∞，＋∞)，x2∈(0，＋∞)，使方程f(x1)＝g(x2)成立，求实数m的最小值.【选修4-4：极坐标与参数方程】22．（本小题满分10分）在平面直角坐标系xOy中,曲线C1:(t为参数).在以O为极点,x轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线C2:ρ2=.(1)求曲线C1的普通方程及C2的直角坐标方程;(2)设t1=1,t2=-1在曲线C1上对应的点分别为A,B,P为曲线C2上的点,求△PAB面积的最大值和最小值.【选修4-5：不等式选讲】23.（本小题满分10分）已知函数.(1)若函数的最小值为3，求实数的值；(2)在（1）的条件下，若正数满足，求证：.武威六中2020届高三第三次诊断考试试卷数学（理）参考答案一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分．）CACDB ADCBD AC二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.3 14. -42 15. （﹣3，0）∪（3，+∞） 16. 甲三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程及演算步骤）17.解：（1）在△ABD中，由正弦定理得：＝＝2cos∠ABD，∴cos∠ABD＝，∴cos∠ABD＝＝＝，即：BD2﹣8BD+15＝0，解得：BD＝3或5；（2）在△BCD中，∠BCD＝，由余弦定理得：cos∠BCD＝＝，∴BC2+CD2﹣BD2＝BC×CD， ∴（BC+CD）2＝BD2+3BC×CD，由基本不等式得：，∴（BC+CD）2≤，∴，∴（BC+CD）2≤4BD2，当BD＝3时，BC+CD≤6，即3＜BC+CD≤6，所以6＜BC+CD+BD≤9，当BD＝5时，BC+CD≤10，即3＜BC+CD≤10，所以6＜BC+CD+BD≤15所以△BCD周长的最大值为：9或15．18.(Ⅰ)解：中，∴∴； 连，中 ∴∴，∴ 又∴平面∴ (Ⅱ)由（1）：，又侧面底面于，∴底面，∴以为原点，延长线、、分别为、、轴建系； ∴，，,，，∴，，， 设，（），则， 设平面的一个法向量，则，可得又平面的一个法向量 由题：，即解得：（1）（2）顾客抽奖3次独立重复试验，由（1）知，顾客抽奖1次获一等奖的概率为，∴，于是；；；，故的分布列为的数学期望为.20.解:(1)由题意知解得∴椭圆C的方程为 =1.(2)联立方程得消去y,得3x2+4mx+2m2-4=0,Δ=16m2-12(2m2-4)=-8m2+48>0,∴|m|<.设M(x1,y1),N(x2,y2),∴x1+x2=-, x1x2=,∴|MN|=|x1-x2|=.又点F(,0)到直线MN的距离d=,∴S△FMN=|MN|·d=|+m|·(|m|<).令u(m)=(6-m2)(|m|<),则u'(m)=-2(2m+3)(m+)(m-),令u'(m)=0,得m=-或m=-或m=,当-0;当-0;当0；当x∈(a－1，＋∞)时，f′(x)<0，所以f(x)的单调递增区间为(－∞，a－1)，单调递减区间为(a－1，＋∞)，∴当x＝a－1时，函数f(x)有极大值且为f(a－1)＝ea－1－1，f(x)没有极小值.(2)当a＝1时，由(1)知，函数f(x)在x＝a－1＝0处有最大值f(0)＝e0－1＝0，又因为g(x)＝(x－t)2＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ln x－\f(m,t)))eq \s\up12(2)≥0，∴方程f(x1)＝g(x2)有解，必然存在x2∈(0，＋∞)，使g(x2)＝0；∴x＝t，ln x＝eq \f(m,t)，等价于方程ln x＝eq \f(m,x)有解，即m＝xln x在(0，＋∞)上有解，记h(x)＝xln x，x∈(0，＋∞)，∴h′(x)＝ln x＋1，令h′(x)＝0，得x＝eq \f(1,e)，当x∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,e)))时，h′(x)<0，h(x)单调递减，当x∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,e)，＋∞))时，h′(x)>0，h(x)单调递增，所以当x＝eq \f(1,e)时，h(x)min＝－eq \f(1,e)，所以实数m的最小值为－eq \f(1,e).22(1)由曲线C1:得曲线C1的普通方程为x+y-4=0.由C2:ρ2=得ρ2(2+cos2θ)=6,2ρ2+ρ2cos2θ=6,3x2+2y2=6,所以曲线C2的直角坐标方程为=1.(2)由(1)得点P(cos θ,sin θ),点P到直线AB的距离d=,其中tan φ=,所以dmax=,dmin=.又当t1=1,t2=-1时,A(1,-1+4),B(-1,1+4),|AB|=2,所以△PAB面积的最大值和最小值分别为5,3.23.（1）解:∵,∴,又∵,∴.（2）证明:由（1）知,∴,即,正数,∴,当且仅当时等号成立.0123