2020天水一中高三下学期诊断考试数学（理）试题扫描版含答案

甘肃省天水市第一中学2019-2020学年度第二学期高三诊断考试

理科数学

天水一中2019-2020学年第二学期高三诊断考试

理科数学试题答案

一、单选题（每小题5分，共60分）

1．A   2．C  3．A  4．C  5．D  6．C  7．D  8．D  9．C  10．A  11．B  12．C

二、填空题

13．200    14．   15．    16．

三、解答题

17．（1）；（2）

（1）当时，，所以，

当时，因为，所以，

两式作差得，即，因为，

所以数列是首项为1，公比为3的等比数列，故；

（2）令，则，，

所以数列的公差，故，

所以，

所以.

18．（1）证明见解析；（2）.

（1）证明：取中点，连结，设交于，连结，，

在菱形中，，

∵平面，平面，∴，

又，，平面，∴平面，

∵，分别是，的中点，∴，，

又，，∴，且，

∴四边形是平行四边形，则，∴平面，

又平面，∴平面平面.

（2）由（1）中证明知，平面，则，，两两垂直，以，

，所在直线分别为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系.

由及是菱形，

得，，，则，

，，，

，，，

设平面的一个法向量为，

则，即，

取，求得，所以，

同理，可求得平面的一个法向量为，

设平面与平面构成的二面角的平面角为，则

，又，，

∴，

∴平面与平面构成的二面角的正弦值为.

19．（Ⅰ）（Ⅱ）最少为元

（Ⅰ）选出种商品一共有种选法,

选出的种商品中至多有一种是家电商品有种

所以至多有一种是家电商品的概率为

（Ⅱ）奖券总额是一随机变量,设为,可能值为,,,

所以

所以,因此要使促销方案对商场有利，则最少为元

20．（1）（2）

（1）当点的坐标为时，，所以．

由对称性，，

所以，得

将点代入椭圆方程 中，解得，

所以椭圆方程为.

（2）当直线的斜率不存在时，，

此时．

当直线的斜率存在时，设直线的方程为．

由消去整理得：． 显然，

设，则

故 ．

因为，所以，

所以点到直线的距离即为点到直线的距离，

所以

，

因为，所以，所以．综上，．

21．（1）；（2）.

设x>0时，结合函数的奇偶性得到：

（1）当x>0时，有，

；

所以在（0，1）上单调递增，在上单调递减，函数在处取得唯一的极值．由题意，且，解得所求实数的取值范围为  

（2）当时，

令，由题意，在上恒成立 

令，则，当且仅当时取等号．

所以在上单调递增，

因此，    在上单调递增，．

所以．所求实数的取值范围为

22．（1）点 ；（2）

试题解析:（1）点的直角坐标为；

由得①

将，，代入①，

可得曲线的直角坐标方程为．

（2）直线 的直角坐标方程为，

设点的直角坐标为，则，

那么到直线的距离：

，

（当且仅当时取等号），

所以到直线的距离的最小值为．

23．(1) .

(2) .

详解：（1）显然，当时，解集为，，无解；

当时，解集为，，，

综上所述.

(2)当时，令

由此可知在上单调递减，在上单调递增，当时，取到最小值-2，由题意知，，.