2020江苏省灌云一中高三3月线上考试数学试题含答案

这是一份2020江苏省灌云一中高三3月线上考试数学试题含答案
绝密★启用前灌云一中2020届高三3月线上考试数学数学试卷（总分160分）一．填空题（共14小题）1．已知集合A＝{x|x≥1}，B＝{﹣1，0，1，4}，则A∩B＝　 　．2．设复数z＝a+bi（a，b∈R，i是虚数单位），且z2＝2i，则a+b＝　 　．3．若一组样本数据21，19，x，20，18的平均数为20，则该组样本数据的方差为　 　．4．椭圆（b＞0）与双曲线有公共的焦点，则b＝　 　．5．执行如图所示的伪代码，则输出的结果为　 　．6．把分别标有“诚”“信”“考”“试”的四张卡片随意的排成一排，则能使卡片从左到右可以念成“诚信考试”和“考试诚信”的概率是　 　．7．已知圆柱的高为2，它的两个底面的圆周在半径为2的同一个球的球面上．则球的体积与圆柱的体积的比值为　 　．8．已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足，S2020＝　 　．9．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若＝则sin（A﹣）＝　 　．10．如图，在平面四边形ABCD中，∠CBA＝∠CAD＝90°，∠ACD＝30°，AB＝BC，点E在线段BC上，且＝3，若＝λ+μ（λ，μ∈R），则的值为　 　．11．过直线l：y＝x﹣2上任意一点P作圆C： x2+y2＝1的一条切线，切点为A，若存在定点B（x0，y0），使得PA＝PB恒成立，则x0﹣y0＝　 　．12．设a＞0，b＞0，a﹣2b＝1，则的最小值为　 　．13．函数f（x）＝sinωx（ω＞0）的图象与其对称轴在y轴右侧的交点从左到右依次记为A1，A2，A3，…，An，…，在点列{An}中存在三个不同的点Ak、Al、Ap，使得△AkAlAp是等腰直角三角形，将满足上述条件的ω值从小到大组成的数记为ωn，则ω6＝　 　．14．已知定义在R上的偶函数f（x）满足f（1+x）+f（1﹣x）＝0．且当0≤x≤1时，f（x）＝log3（a﹣x）．若对于任意x∈[﹣1，0]，都有5，则实数t的取值范围为　 　．二．解答题（共10小题）15．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2a﹣c＝2bcosC．（1）求B； （2）若，△ABC的面积为，求△ABC的周长．16．如图，在三棱锥A﹣BCD中，点M、N分别在棱AC、CD上，N为CD的中点．（1）若M为AC的中点，求证：AD∥平面BMN；（2）若平面ABD⊥平面BCD，AB⊥BC，求证：BC⊥AD．17．如图所示，一座小岛A距离海岸线上最近的点P的距离是2km，从点P沿海岸正东12km处有一城镇B．一年青人从小岛A出发，先驾驶小船到海岸线上的某点C处，再沿海岸线步行到城镇B．若∠PAC＝θ，假设该年青人驾驶小船的平均速度为2km/h，步行速度为4km/h．（Ⅰ）试将该年青人从小岛A到城镇B的时间t表示成角θ的函数；（Ⅱ）该年青人欲使从小岛A到城镇B的时间t最小，请你告诉他角θ的值．18．已知椭圆C：+＝1（a＞b＞0）的左右焦点分别为F1，F2，点P是椭圆C上一点，以PF1为直径的圆E：x2+＝过点F2．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）过点P且斜率大于0的直线l1与C的另一个交点为A，与直线x＝4的交点为B，过点（3，）且与l1垂直的直线l2与直线x＝4交于点D，求△ABD面积的最小值．19．已知函数的极大值为，其中e＝2.71828…为自然对数的底数．（1）求实数k的值；（2）若函数，对任意x∈（0，+∞），g（x）≥af（x）恒成立．（i）求实数a的取值范围；（ii）证明：x2f（x）＞asinx+x2﹣1．20．对于数列{an}，若从第二项起的每一项均大于该项之前的所有项的和，则称{an}为P数列．（1）若{an}的前n项和Sn＝3n+2，试判断{an}是否是P数列，并说明理由；（2）设数列a1，a2，a3，…，a10是首项为﹣1、公差为d的等差数列，若该数列是P数列，求d的取值范围；（3）设无穷数列{an}是首项为a、公比为q的等比数列，有穷数列{bn}，{cn}是从{an}中取出部分项按原来的顺序所组成的不同数列，其所有项和分别为T1，T2，求{an}是P数列时a与q所满足的条件，并证明命题“若a＞0且T1＝T2，则{an}不是P数列”．参考答案与试题解析一．填空题（共14小题）1．　{1，4}　．【分析】进行交集的运算即可．【解答】解：∵A＝{x|x≥1}，B＝{﹣1，0，1，4}，∴A∩B＝{1，4}．故答案为：{1，4}．【点评】本题考查了描述法、列举法的定义，交集的运算，考查了计算能力，属于基础题．2．　±2　．【分析】由已知利用复数代数形式的乘除运算可得a2﹣b2+2abi＝2i，然后利用复数相等的条件列式求得a，b的值，则答案可求．【解答】解：∵z＝a+bi（a，b∈R），且z2＝2i，∴（a+bi）2＝a2﹣b2+2abi＝2i，得，解得或．∴a+b＝±2．故答案为：±2．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数相等的条件，是基础题．3．　2　．【分析】由平均数的定义求出x的值，再计算方差的大小．【解答】解：数据21，19，x，20，18的平均数为×（21+19+x+20+18）＝20，解得x＝22；所以该组样本数据的方差为s2＝×[（21﹣22）2+（19﹣20）2+（22﹣20）2+（20﹣20）2+（18﹣20）2]＝2．故答案为：2．【点评】本题考查了平均数与方差的计算问题，是基础题．4．　4　．【分析】求得双曲线的焦点坐标，可得25﹣b2＝9，解方程可得b的值．【解答】解：双曲线的焦点为（±3，0），由题意可得25﹣b2＝9，得b2＝16，则b＝4．故答案为：4．【点评】本题考查椭圆和双曲线的焦点坐标，考查方程思想和运算能力，属于基础题．5．　15　．【分析】根据给出的算法语句的作用求解即可．【解答】解：依题意，第一次运行循环时，I＝1，满足I＜9，S＝2×1+1＝3，I＝3；第二次运行循环时，I＝3，满足I＜9，S＝2×3+1＝7，I＝5；第三次运行循环时，I＝5，满足I＜9，S＝2×5+1＝11，I＝7；第四次运行循环时，I＝7，满足I＜9，S＝2×7+1＝15，I＝9；循环结束，输出S＝15，故答案为：15．【点评】本题考查了算法语句的理解和应用，考查分析和解决问题的能力，属于基础题．6．　　．【分析】基本事件总数n＝＝24，能使卡片从左到右可以念成“诚信考试”和“考试诚信”包含的基本事件个数m＝2，由此能求出能使卡片从左到右可以念成“诚信考试”和“考试诚信”的概率．【解答】解：把分别标有“诚”“信”“考”“试”的四张卡片随意的排成一排，基本事件总数n＝＝24，能使卡片从左到右可以念成“诚信考试”和“考试诚信”包含的基本事件个数m＝2，则能使卡片从左到右可以念成“诚信考试”和“考试诚信”的概率是p＝＝＝．故答案为：．【点评】本题考查概率的求法，考查查古典概型等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．7．　　．【分析】画图分析可得，该球的直径与圆柱的底面直径和高构成直角三角形，进而求得圆柱的底面半径，进而求得球的体积与圆柱的体积的比值．【解答】解：如图，外接球的体积，圆柱的底面直径，故底面半径，故圆柱体积V2＝3π×2＝6π．故球的体积与圆柱的体积的比值为．故答案为：．【点评】本题主要考查了圆柱与外接球的关系，需要根据球的直径和圆柱的底面直径和高构成直角三角形进行求解．属于基础题．8．　　．【分析】直接利用关系式的应用求出结果．【解答】解：当n＝1时有得，当n≥2时，①，又②，②﹣①得，整理得；于是n＝2得，n＝4得，n＝6得，…，，；．故答案为：【点评】本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，求和公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中档题型．9．　　．【分析】由已知结合正弦定理及余弦定理可求A，然后代入即可求解．【解答】解：∵＝，由正弦定理可得，，整理可得，b2+c2﹣a2＝bc，由余弦定理可得，cosA＝，∵0＜A＜π，∴A＝，则sin（A﹣）＝sin＝．故答案为：【点评】本题主要考查了正弦定理，余弦定理在求解三角形中的应用，属于基础试题．10．　　．【分析】建立平面直角坐标系后，设AB＝BC＝t后，用向量的坐标运算可得．【解答】解如图建立直角坐标系：设AB＝BC＝t，则A（﹣t，0），C（0，t），点E在线段BC上，且＝3，所以E（0，），因为在Rt△ADC中，AC＝，∠ACD＝30°，所以AD＝，由题知Rt△ABC，是等腰三角形．所以∠DAF＝45°，所以DF＝AF＝，D（﹣（1+）t，），＝（t，t），＝（﹣，），＝（t，），若＝λ+μ（λ，μ∈R），则（t，t）＝λ（﹣，）+μ（t，），，解得，，所以．故答案为：．【点评】本题考查了平面向量的基本运算，属中档题．11．　2±　．【分析】设P（a，a﹣2），B必在以P为圆心，PA为半径的圆上，B（x0，y0）为这些圆的公共点，PB2＝PA2恒成立，即任意a∈R，（x0﹣a）2+[y0﹣（a﹣1）]2＝a2+（a﹣2）2﹣1恒成立，所以，即可解得x0，y0，进而得到答案．【解答】解：设P（a，a﹣2），由题意知B必在以P为圆心，PA为半径的圆上，B（x0，y0）为这些圆的公共点，因为PB2＝PA2，所以（x0﹣a）2+[y0﹣（a﹣2）]2＝a2+（a﹣2）2﹣1即（x02+y02+4y0+1）﹣2a（x0+y0）＝0，因为任意a∈R，（x02+y02+4y0+1）﹣2a（x0+y0）＝0恒成立，所以解得或，所以x0﹣y0＝2±，故答案为：2±．【点评】本题考查直线与圆的位置关系，恒成立问题，属于难题．12．　4+2　．【分析】结合已知条件进行化简后，直接利用基本不等式即可求解．【解答】解：∵a＞0，b＞0，a﹣2b＝1，则＝，＝ab，＝ab+，＝ab+，当且仅当ab＝时取等号，此时取得最小值4+2．故答案为：4+2．【点评】本题考查了基本不等式在求最值中的应用，属于基础题．13．　π　．【分析】令ωx＝kπ+，可求对称轴方程，进而可求A1，A2，A3，……An的坐标，由△AkAtAp是等腰直角三角形可知直线的斜率之积为﹣1可求ωn，进而可求ω6的值．【解答】解：由ωx＝kπ+，得x＝，k∈Z，由题意得x＝，，，…，，即A1（，1），A2（，﹣1），A3（，1），A4（ ，﹣1）…，由△A1A2A3是等腰直角三角形，得kA1A2•kA2A3＝﹣1，即 •＝﹣1，得ω1＝，同理△A1A4A7是等腰直角三角形得kA1A4•kA1A4＝﹣1，得ω2＝．同理△A1A6A11是等腰直角三角形得kA1A6•kA6A11＝﹣1，得ω2＝从而有ωn＝．则ω6＝＝π，故答案是：π．【点评】本题主要考查了正弦函数的对称性及直线垂直关系的应用，还考查了归纳推理的应用，属于知识的简单综合．14．　　．【分析】先求得f（1）的值，由此求得a的值，证得f（x）时周期为4的函数，将1﹣log35转化为f（），根据函数周期性和对称性，将原式转化为﹣+4k≤x2﹣tx，结合x的取值范围即可求得t的取值范围．【解答】解：因为f（1+x）+f（1﹣x）＝0．令x＝0，则2f（1）＝0，即f（1）＝0，由于0≤x≤1时，f（x）＝log3（a﹣x）．所以（1）＝log3（a﹣1）＝0，解得a＝2，即有当0≤x≤1时，f（x）＝log3（2﹣x）．因为1﹣log35＝＝﹣＝﹣＝﹣f（）＝﹣f（1﹣）＝f（1+）＝f（），又因为f（x）为偶函数，所以f（）＝f（﹣），再根据f（1+x）+f（1﹣x）＝0．f（﹣x）＝f（x），则f（x+4）＝f[1+（x+3）]＝﹣f[1﹣（x+3）]＝﹣f[﹣（x+2）]＝﹣f（x+2）＝﹣f[1+（1+x）]＝f[1﹣（1+x）]＝f（﹣x）＝f（x），所以函数f（x）是周期为4的周期函数，当x∈[﹣1，0]时，﹣x∈[0，1]，所以f（x）＝f（﹣x）＝log3（2+x），所以当x∈[﹣1，1]时，f（x）＝log3（2﹣|x|）．因为f（1+x）+f（1﹣x）＝0，所以f（2﹣x）+f（x）＝0，故f（x）＝﹣f（2﹣x），所以当x∈[1，3]时，2﹣x∈[﹣1，1]，所以f（x）＝﹣log3（2﹣|2﹣x|）．作出函数f（x）的图象如图：由5，得﹣+4k≤x2﹣tx﹣≤+4k（k∈Z），对于任意x∈[﹣1，0]成立当x＝0时，﹣+4k≤﹣≤+4k，解得﹣≤k≤，所以k＝0，即﹣≤x2﹣tx﹣≤对于任意x∈[﹣1，0]成立，当x∈[﹣1，0）时，由﹣≤x2﹣tx﹣得t≥（x+）的最大值，由于y＝x+在[﹣1，0）单调递减，所以t≥﹣1﹣＝﹣，由x2﹣tx﹣≤得t≤（x﹣）的最小值，由于y＝x﹣在[﹣1，0）单调递增，所以t≤﹣1﹣＝1，综上，t的取值范围是[﹣，1]，故答案为：[﹣，1]．【点评】本题主要考查不等式的解法，利用函数的奇偶性和单调性之间的关系是解决本题的关键，综合考查函数性质的应用．二．解答题（共10小题）15． 【分析】（1）由已知利用余弦定理可得a2+c2﹣b2＝ac，可求cosB的值，结合范围B∈（0，π），可得B的值．（2）由已知利用三角形的面积公式可求ac＝2，进而利用余弦定理可求a+c的值，即可求解△ABC的周长．【解答】解：（1）∵2a﹣c＝2bcosC＝2b•，∴整理可得a2+c2﹣b2＝ac，∵cosB＝＝＝，∴由B∈（0，π），可得B＝．（2）∵B＝，△ABC的面积为＝acsinB＝ac，∴ac＝2，∵，∴由余弦定理b2＝a2+c2﹣2accosB，可得3＝a2+c2﹣ac＝（a+c）2﹣3ac＝（a+c）2﹣6，解得a+c＝3，∴△ABC的周长a+b+c＝3+．【点评】本题主要考查了余弦定理，三角形的面积公式在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．16．【分析】（1）推导出MN∥AD，由此能证明AD∥平面BMN．（2）作AO⊥BD，垂足为O，推导出AO⊥平面BCD，从而AO⊥BC，再由AB⊥BC，得BC⊥平面ABD，由此能证明BC⊥AD．【解答】证明：（1）在△ACD中，∵点M、N分别在棱AC、CD的中点，∴MN∥AD，∵AD⊄平面BMN，MN⊂平面BMN，∴AD∥平面BMN．（2）如图，在平面ADB中，作AO⊥BD，垂足为O，∵平面ABD⊥平面BCD，平面ABD∩平面BCD＝BD，AO⊂平面ABD，∴AO⊥平面BCD，∵BC⊂平面BCD，∴AO⊥BC，又AB⊥BC，AB∩AO＝A，∴BC⊥平面ABD，∵AD⊂平面ABD，∴BC⊥AD．【点评】本题考查线面平行、线线垂直的证明，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．17．【分析】（Ⅰ）根据直角三角形的边角关系求出AC和BC的值，再求t关于θ的函数解析式；（Ⅱ）根据t的解析式，结合三角函数的性质求出t的最小值以及对应θ的值．【解答】解：（Ⅰ）由题意知，AP⊥PB，AP＝2，，所以PC＝2tanθ，，BC＝12﹣2tanθ，所以t关于θ的函数为；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，令，则；解得，当且仅当时，等号成立；即时，所化时间t最小．【点评】本题考查了解三角形的应用问题，也考查了三角函数图象与性质的问题，是中档题．18． 【分析】（Ⅰ）根据题意求得椭圆的焦点坐标，利用椭圆的定义求得a和b的值，即可求得椭圆方程；（Ⅱ）设直线l1的方程，代入涂鸦方程，利用韦达定理求得A的横坐标，求得直线l2方程，求得D点坐标，利用三角形的面积公式及基本不等式即可求得△ABD面积的最小值．【解答】解：（Ⅰ）在圆E的方程中，令y＝0，得到：x2＝4，所以F1（﹣2，0），F2（2，0），又因为，所以P点坐标为，所以，则，b＝2，因此椭圆的方程为；（Ⅱ）设直线l1：y﹣＝k（x﹣2）（k＞0），所以点B的坐标为，设A（xA，yA），D（xD，yD），将直线l1代入椭圆方程得：（1+2k2）x2+（4k﹣8k2）x+8k2﹣8k﹣4＝0，所以xPxA＝，所以xA＝，直线l2的方程为y﹣＝﹣（x﹣3），所以点D坐标为，所以S△ABD＝（4﹣xA）|yB﹣yD|＝••＝2k++2≥2+2，当且仅当2k＝，即k＝时取等号，综上，△ABD面积的最小值2+2．【点评】本题考查椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系，韦达定理及基本不等式的应用，考查转化思想，属于中档题．19． 【分析】（1）对f（x）求导，判断函数的极大值为f（e），求出k；（2）（i）根据题意，任意x∈（0，+∞），g（x）≥af（x），即，设H（t）＝et﹣at﹣a，H'（t）＝et﹣a，只需H（t）≥0，t∈R，对a分类讨论求出即可；（ii）要证x2f（x）＞asinx+x2﹣1，只需证明，化简得xlnx+1＞asinx，只需证，集合（i）证明即可．【解答】解：（1）f'（x）＝，x＞0，当x∈（0，e）时，f'（x）＞0，f（x）递增；当x∈（e，+∞）时，f'（x）＜0，f（x）递减；所以f（x）的极大值为f（e）＝，故k＝1；（2）（i）根据题意，任意x∈（0，+∞），g（x）≥af（x），即，化简得xex﹣alnx﹣ax﹣a≥0，令h（x）＝xex﹣alnx﹣ax﹣a，x＞0，h（x）＝elnxex﹣alnx﹣ax﹣a＝elnx+x﹣a（lnx+x）﹣a，令lnx+x＝t，t∈R，设H（t）＝et﹣at﹣a，H'（t）＝et﹣a，只需H（t）≥0，t∈R，当a＜0时，当t＜0时，H（t）＜1﹣at﹣a，所以H（）＜1﹣a（﹣1）﹣a＝0，不成立；当a＝0时，H（t）≥0显然成立；当a＞0时，由H'（t）＝et﹣a，当t∈（﹣∞，lna），H（t）递减，t∈（lna，+∞），H（t）递增，H（t）的最小值为H（lna）＝a﹣alna﹣a＝﹣alna，由H（lna）＝﹣alna≥0，得0＜a≤1，综上0≤a≤1；（ii）证明：要证x2f（x）＞asinx+x2﹣1，只需证明，化简得xlnx+1＞asinx，只需证，设F（x）＝lnx+，G（x）＝x﹣sinx，由F'（x）＝，当x∈（0，1）时，F（x）递减；x∈（1，+∞）时，F（x）递增；所以F（x）≥F（1）＝1，由G'（x）＝1﹣cosx≥0，G（x）在（0，+∞）递增，故G（x）＞G（0）＝0，得x＞sinx，又由（i）0≤a≤1，所以，所以F（x）＞成立，故原命题成立．【点评】本题考查已知导数的极值求参数，考查利用导数判断单调性，证明不等式恒成立，考查计算能力，属于中档题．20． 【分析】（1）求出数列{an}的通项，根据P数列的定义判断即可；（2）由P数列的定义建立不等式，求解即可；（3）通过反证法即可得出结论．【解答】解：（1）∵，∴，当n＝1时，a1＝S1＝5，故，那么当k∈N•时，，符合题意，故数列{an}是P数列；（2）由题意知，该数列的前n项和为，由数列a1，a2，a3，…，a10是P数列，可知a2＞S1＝a1，故公差d＞0，对满足n＝1，2，3……，9的任意n都成立，则，解得，故d的取值范围为；（3）①若{an}是P数列，则a＝S1＜a2＝aq，若a＞0，则q＞1，又由an+1＞Sn对一切正整数n都成立，可知，即对一切正整数n都成立，由，故2﹣q≤0，可得q≥2，；若a＜0，则q＜1，又由an+1＞Sn对一切正整数n都成立，可知，即（2﹣q）qn＜1对一切正整数n都成立，又当q∈（﹣∞，﹣1]时，（2﹣q）qn＜1当n＝2时不成立，故有或，解得，∴当{an}是P数列时，a与q满足的条件为或；②假设{an}是P数列，则由①可知，q≥2，a＞0，且{an}中每一项均为正数，若{bn}中的每一项都在{cn}中，则由这两数列是不同数列，可知T1＜T2；若{cn}中的每一项都在{bn}中，同理可得T1＞T2；若{bn}中至少有一项不在{cn}中且{cn}中至少有一项不在{bn}中，设{bn'}，{cn'是将{bn}，{cn}中的公共项去掉之和剩余项依次构成的数列，它们的所有项和分别为T1'，T2'，不妨设{bn'}，{cn'}中最大的项在{bn'}中，设为am（m≥2），则T2'≤a1+a2+……+am﹣1＜am≤T1'，故T2'＜T1'，故总有T1≠T2与T1＝T2矛盾，故假设错误，原命题正确．【点评】本题考查数列的通项公式的求法，考查P数列的判断，考查等差数列、等比数列等基础知识，考查运算求解能力，是难题．