2021湖北省黄梅国际育才高级中学高二下学期期中考试数学试题含答案

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2021年春高二期中考试数学试卷一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分1．下列求导运算不正确的是（ ）A． B．C． D．2．设函数在上可导，则等于（ ）A． B． C． D．以上都不对3．过抛物线的焦点的直线交抛物线于两点，若是线段的中点，则（ ）A．1 B．2 C．3 D．44已知函数在定义域内可导，其图象如下图，记的导函数为，则不等式的解集为 QUOTE （ ）A.  QUOTE  B. C. QUOTE   D.  QUOTE   QUOTE 5. 若是双曲线 QUOTE 的两焦点，点在该双曲线上，且是等腰三角形，则 QUOTE 的周长为 QUOTE （ ）A. 17 B. 16 C. 20 D. 16或206．抛物线的焦点为是抛物线C上的点，若三角形的外接圆与抛物线C的准线相切，且该外接圆的面积为，则的值为（ ）A．2 B． C． D．17.若对于任意的 QUOTE ，都有 QUOTE ，则的最大值为    A. B. C. D. 8．已知椭圆的左、右焦点分别是，若，则称椭圆为“黄金椭圆”．则下列三个命题中正确命题的序号是（ ）①在黄金椭圆中，成等比数列；②在黄金椭圆中，若上顶点、右顶点分别为，则；③在黄金椭圆中，以为顶点的菱形的内切圆过焦点．A．①② B．①③ C．②③ D．①②③二、多选题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，全部选对得5分，部分选对得2分，选错得0分9.已知曲线C： QUOTE ，则下列结论正确的是（ ）A.若曲线C是椭圆，则其长轴长为 QUOTE B.若 QUOTE ，则曲线C表示双曲线C. 曲线C可能表示一个圆D.若 QUOTE ，则曲线C中过焦点的最短弦长为 QUOTE 10．已知函数及其导数，若存在，使得，则称是的一个“巧值点”．下列函数中，有“巧值点”的是（ ）A． B． C． D．11．已知双曲线过点且渐近线方程为，则下列结论正确的是（ ）A．的离心率为 B．的方程为 C．曲线经过的一个焦点 D．直线与有两个公共点12．对于函数，下列说法正确的是（ ）A．在处取得极大值B．有两个不同的零点C．D．若在上恒成立，则三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分13．已知，则曲线在点处的切线方程为_______________.14．已知双曲线C的渐近线方程为，写出双曲线C的一个标准方程：_______________.15．已知P是抛物线y2＝4x上的动点，点P在y轴上的射影是M，点A的坐标为（2，3），则|PA|+|PM|的最小值是__________.16．已知是定义在上的奇函数，，且当时，则不等式的解集是_______________.四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。17．（10分）已知抛物线的准线方程为.（1）求的值；（2）直线交抛物线于、两点，求弦长.18．（12分）已知函数的图象在点处的切线斜率为，且时，有极值．（1）求的解析式；（2）求在上的最大值和最小值．19．（12分）设点是椭圆上一动点，椭圆的长轴长为，离心率为.（1）求椭圆的方程；（2）求点到直线距离的最大值.20．（12分）已知函数，其中.（1）若曲线在处的切线与直线平行，求的值；（2）若函数在定义域内单调递减，求的取值范围.21．（12分）已知函数．（1）讨论函数的单调性；（2）若恒成立，求正实数的取值范围、22．（12分）已知椭圆：，直线：过椭圆的左焦点F，与椭圆在第一象限交于点M，三角形的面积为，A，B分别为椭圆的上，下顶点，P，Q是椭圆上的两个不同的动点.（1）求椭圆的标准方程；（2）直线的斜率为，直线的斜率为，若，问直线是否过定点，若过定点，求出定点；否则说明理由.2021年春高二期中考试数学参考答案1．B 2．C 3．D4．B解：不等式的解集即函数的减区间，由题图知的减区间为，，故的解集为．5. D解：双曲线可化为标准方程，所以，，．因为点P在该双曲线上，且是等腰三角形，所以，或，当时，由题意可令为左焦点，为右焦点，在右支时，根据双曲线的定义有，所以的周长为；在左支时，根据双曲线的定义有，所以的周长为；同理当时，的周长为16或20；综上，的周长为16或20．6．A 解：抛物线的焦点，，准线，设的外心为，半径为，面积，则，，而点在线段的垂直平分线上，，而圆与抛物线的准线相切，则有，即，．7. C解：令，，则，令，解得，则时，，单调递增；当时，，单调递减，对于任意的，都有，即，即在单调递增，所以，即a的最大值为1．8． D解：对①，按照，所以，则 ，故①正确；对②，因为在中，，由①知， 所以，即，故②正确；对③，以为顶点的菱形的内切圆是以原点为圆心，半径为的圆，所以圆过焦点．9. BD解：由题意，若曲线C是椭圆，则，椭圆的焦点在x轴上，所以其长轴长为，故A错误；若，根据双曲线的定义可知曲线C表示双曲线，故B正确；因为对任意的m恒成立，所以曲线C不可能表示一个圆，故C错误；若，则曲线C为椭圆，方程为，焦点坐标为，若过焦点的直线斜率为0时，此时该直线截椭圆C的弦长为；若过焦点的直线斜率不为0时，不妨设该直线过椭圆C的右焦点，方程为，与椭圆C的两个交点分别为，由，可得，则有，当时，上式不等式可取等号，即综上，可知椭圆中过焦点的最短弦长为，故D正确；10．ABD解：在A中，若，则，则，这个方程显然有解，故A对；在B中，若，则，由，令，（），作出两函数的图像如图所示，由两函数图像有一个交点可知该方程存在实数解，故B对；在C中，若，则，即，此方程无解，故C错；在D中，若，则，由，可得，故D对．11．BC解：对于A：由，，得，所以双曲线的离心率为，故A错误；对于C：取，得，，曲线过定点，故C正确；对于B：由双曲线的渐近线方程为，可设双曲线方程为，把点代入，得，即．所以双曲线的方程为，故B正确；对于D：双曲线的渐近线，直线与双曲线的渐近线平行，直线与有1个公共点，故D不正确．12．ACD解：对于选项A：函数定义域为，，令可得，令可得，所以在单调递增，在单调递减，所以在时取得极大值，故选项A正确对于选项B：令，可得，因此只有一个零点，故选项B不正确；对于选项C：显然，在单调递减，可得，因为，即，故选项C正确；对于选项D：由题意知：在上恒成立，令则 ，因为易知当时.，当时，，所以在时取得极大值也是最大值，所以，所以在上恒成立，则，故选项D正确.13．解：由题意知点在曲线上，，则曲线在点处的切线的斜率为，切线方程为，即.14．(答案不唯一)解：依题意，双曲线C的渐近线方程为，不妨设双曲线焦点在轴上，则，可令，可得双曲线C的一个标准方程为.也可令等等. 15．解：当x＝2时，y2＝4×2＝8，所以y＝±2，即|y|＝2，因为3＞2，所以点A在抛物线的外侧，延长PM交直线x＝-1于点N，由抛物线的定义可知|PN|＝|PM|+1＝|PF|，当三点A，P，F共线时，|PA|+|PF|最小，此时为|PA|+|PF|＝|AF|，又焦点坐标为F（1，0），所以|AF|＝＝，即|PM|+1+|PA|的最小值为，所以|PM|+|PA|的最小值为.16．解：设，由当时，即，所以在是上单调递增.为奇函数，则为偶函数，在是上单调递减,即（）设，当时，，即 由，为奇函数，则，所以 由在是上单调递增，，所以，即，所以 当时，，即由，则，根据在是上单调递减所以当时，则，即，所以综上所述：不等式的解集是：17．（Ⅰ）2；（Ⅱ）8.解：（Ⅰ）依已知得，所以；（Ⅱ）设，，由消去，得，则，，所以 .18．（1）；（2）最大值为8，最小值为．解：（1）由题意可得，．由解得经检验得时，有极大值．所以．（2）由（1）知，．令，得，，，的值随的变化情况如下表：由表可知在上的最大值为8，最小值为．19．（1）；（2）解：（1）由已知得，得 椭圆（2）解法一：设，则当时，. 解法二同课本例题20．（1）2（2）解：（1）由题可知，则，解得．（2）∵在上是减函数，∴对恒成立，所以，令，则由得，当时，，当时，，所以在上单调递减，在上单调递增，所以，故只需故的取值范围是．21．（1）当时，在定义域上单调递增；当时，在上单调递减，在上单调递增；（2）．解：的定义域为，当时，在上所以在定义域上单调递增；当时，令有令有所以在上单调递减，在上单调递增.令，由及为正实数知，在处取最小值，所以恒成立等价于，即，整理得令，易知为增函数，且所以的的取值范围是22．（1）；（2）直线过定点．解：（1）直线：过左焦点，所以，，又由可知.从而椭圆经过点.由椭圆定义知，即，故椭圆的方程为：；（2）设直线的方程为，则的方程为，由得，从而点坐标为，由得，从而点坐标为，由条件知，从而直线的斜率存在，.所以直线的方程为，即，过定点故直线过定点．200单调递增极大值单调递减极小值单调递增函数值388