2021南昌八一中学高二下学期5月月考数学理科试题含答案

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2020~2021学年度第二学期南昌市八一中学高二理科数学5月份考试卷一、单选题1．6名学生排成两排，每排3人，则不同的排法种数为（ ）A．36 B．120 C．720 D．2402．五名学生站成一排，其中甲必须站在乙的左边（可以不相邻）的站法种数为（ ）A． B． C． D．3．已知点为的外心，的边长为2，则（ ）A． B．1 C．2 D．44．已知向量满足，则（ ）A．3 B．2 C． D．5．已知向量,,满足，且,，向量与与的夹角都是，则与的夹角为（ ）A．0 B． C． D．6．某校开设类选修课4门，类选修课3门，每位同学从中选3门. 若要求两类课程中都至少选一门，则不同的选法共有（ ）A．18种 B．24种 C．30种 D．36种7．有3名男生和5名女生站成一排照相，如果男生不排在最左边且两两不相邻，则不同的排法有（ ）A．种 B．种 C．种 D．种8．甲、乙、丙、丁、戊5个人分到三个班，要求每班至少一人，则甲不在班的分法种数有（ ）A．160 B．112 C．100 D．869．的展开式的常数项是（ ）A． B． C． D．10．已知，若，则（ ）A．2 B． C． D．11．如图，是圆的一条直径且，是圆的一条弦，且，点在线段上，则的最小值是（ ）A． B． C． D．12．数学上的“四色问题”，是指“任何一张地图只用四种颜色就能使具有公共边界的国家着上不同的颜色．”，现有五种颜色供选择，涂色我国西部五省，要求每省涂一色，相邻各省不同色，有多少种涂色方法．A．120种 B．180种 C．380种 D．420种第11题图 第12题图 第13题图二、填空题13．如图所示，在平行六面体中，，若，则___________.14．将组成篮球队的10个名额分配给7个学校，每校至少1名，则名额的分配方式共有_____种．15．________（用数字作答）．16．，是的子集，若，称为理想配集，则所有理想配集的个数__________三、解答题17．用、、、、、这六个数字：（1）能组成多少个无重复数字的四位数？（2）能组成多少个无重复数字的四位奇数？（3）能组成多少个无重复数字且比大的四位数？18．在直角坐标系中，曲线的参数方程为(为参数)，曲线的参数方程为(为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.（1）求曲线的极坐标方程；（2）已知射线分别交曲线，于两点，若是线段的中点，求的值.19．如图，四边形中，满足，，，，，将沿翻折至，使得.（Ⅰ）求证：平面平面；（Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值.20．如图，在三棱锥中，是正三角形，是的重心，、、是、、的中点，点在上，且．（Ⅰ）求证：平面平面；（Ⅱ）若，，，求二面角的余弦值．21．已知椭圆：的离心率为，过其右焦点与长轴垂直的直线与椭圆在第一象限交于点，且.（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设椭圆的左、右顶点分别为、，点是椭圆上的动点，且点与点、不重合，直线，与直线分别交于点、，求证：以线段为直径的圆过定点.22．已知函数．（Ⅰ）曲线在点（处的切线斜率为0，求a的值；（Ⅱ）若恒成立，求a的取值范围．高二数学理科5月月考答案一、选择题：1．C 2．D 3．C 4．A 5．C 6．C 7．C 8．C 9．D 10．B 11．A 12．D二、填空题：13．2 14．84 15．1 16．27三、解答题：17．（1）；（2）；（3）.【详解】（1）由题意知，因为数字中有，不能放在首位，先安排首位的数字，从五个非数字中选一个，共有种结果，余下的五个数字在五个位置进行全排列，共有种结果，由分步乘法计数原理可知，能组成个无重复数字的四位数；（2）先排个位数，方法数有种，然后排千位数，方法数有种，剩下百位和十位任意排，方法数有种，由分步乘法计数原理可知，能组成个无重复数字的四位奇数；（3）分以下三种情况讨论：①首位是、、、中的一个，则其它数位可以任意排列，共有个；②首位是，百位数字为或，剩余两个数位可以任意排列，共有个；③首位是，百位数字为，则十位上的数字为或，个位数字可以任意排列，共有个.综上所述，由分类加法计数原理可知， 能组成个无重复数字且比大的四位数.18．（1）曲线的极坐标方程为，曲线的极坐标方程为；（2）.【详解】（1）因为曲线的普通方程为，所以曲线的极坐标方程为.因为曲线的普通方程为，即，所以曲线的极坐标方程为，即.（2）设，，则，，因为是线段的中点，所以，即，整理得，所以，因为，所以，所以，所以.19．【详解】（Ⅰ）过作，垂足为，连，，则，作，垂足为，则，，所以，即又，所以平面，又平面，所以平面平面；（Ⅱ）以为坐标原点，，所在的直线为，轴建立空间直角坐标系则，，，，，设平面的法向量为，则取法向量，设直线与平面所成角为，则.20．【详解】（Ⅰ）证明：连结，因为是正三角形，是的重心，为的中点，所以与共线，且，因为为的中点，，所以是的中点，所以，所以，又平面，平面，所以平面，因为是的中点，所以，因为平面，平面，所以平面，因为，平面，所以平面平面；（Ⅱ）解：因为，，所以，所以，因为，，平面，所以平面，以A为坐标原点，，所在直线为轴，轴建立空间直角坐标系如图所示，则，，，，设平面的法向量为，则有，即，令，则，，所以，设平面的法向量为，则有，即，令，则，所以，所以，故二面角的余弦值．21．【详解】（Ⅰ）由，得，又因为，且，得，，，所以椭圆的方程为.（Ⅱ）由题意，点，点，设点，则，得，又设直线，的斜率分别为，，则，，所以，∴直线：，直线：，所以点，，假设过定点，由得，所以得，令，得或，所以过定点，.22.【详解】解：（1），由题设可知，解得；（2）可化为：，即恒成立，令，所以在单调递减，在单调递增，，故，所以要使恒成立，则需a的取值范围是．