2021省哈尔滨师大附中高二下学期期中考试数学（理）含答案

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高二下学期期中考试（数学理）参考答案：选择题：D B C D A B BADACC填空题：13. 1 14.3 15. 16. 解答题：17.解：（1）令，得令，得在递减，在递增， ----6（2） 在处的切线方程为即 ----1218.解：（ 1）设“从所有试验动物中任取一只，取到‘注射疫苗’动物“为事件，由，解得，由此能求出，，. ----3（2）求出，从而有把握认为注射此种疫苗有效. ----6 （3）抽出的感染病毒的小白鼠中共有8只为未注射疫苗的，有2只是注射疫苗的的可能取值为∴的分布列为：所以 ---1219.解：（1）由（0.002+0.0095+0.011+0.0125+x+0.005+0.0025）×20＝1，解得x＝0.0075； ---2（2）用频率估计概率，可得从该市所有高三考生的理综成绩中随机抽取1个，理综成绩位于[220，260）内的概率为（0.0125+0.0075）×20＝0.4， ---4所以随机变量Y服从二项分布Y～B（3，0.4），故P（Y＝k）＝C3k0.4k0.63﹣k，k＝0，1，2，3， ---6故Y的分布列为 ---10 则E（Y）＝3×0.4＝1.2； ---12 20.解: （1） 因为抛物线 x2=-43y 的焦点是 0,-3，所以 b=3．因为 ca=22，且 a2=b2+c2，所以 a=6，c=3．所以椭圆 C 的方程 x26+y23=1． ---3    （2） （i）设点 Ax0,y0，那么点 D 为 x0,-y0，因为 M 是线段 AN 的中点，所以 Ax0,2m，Dx0,-2m．所以 k1=2m-mx0=mx0，k2=-2m-mx0=-3mx0．所以 k1k2=-13； ---6（ii）根据题意得：直线 AM 的斜率一定存在且 k>0，设直线 AM 的方程为 y=kx+m，则直线 DM 的方程为 y=-3kx+m联立 y=kx+m,x26+y23=1, 整理得：1+2k2x2+4kmx+2m2-6=0， 利用韦达定理可知：x0⋅xB=2m2-61+2k2，所以 xB=2m2-61+2k2x0．所以同理可得 xG=2m2-61+2-3k2x0=2m2-61+18k2x0．所以 kBG=yB-yGxB-xG=kxB+m--3kxG+mxB-xG=kxB+3kxGxB-xG=k2m2-61+2k2x0+3k2m2-61+18k2x02m2-61+2k2x0-2m2-61+18k2x0=k1+2k2+3k1+18k211+2k2-11+18k2=k+18k3+3k+6k31+18k2-1-2k2=4k+24k316k2=14k+32k. 因为 k>0，所以 kBG=14k+32k≥214k⋅32k=62．当且仅当 14k=32k，即 k=66 时，等号成立，所以直线 BG 的斜率的最小值为 62． ---1221.解：（1） 因为 fʹx=1-2lnxx-ax，所以 gx=xfʹx=x-2lnx-a，x∈0,+∞ gʹx=x-2x， x，gʹx，gx 的变化如下：x0,222,+∞gʹx负0正gx单调递减极小值单调递增所以 gx 单调递减区间为 0,2，单调递增区间为 2,+∞．极小值为 g2=2-2ln2-a，无极大值； ---3 （2） （i）hx=x-alnx， hʹx=1-ax=x-ax，①当 a≤0 时，hʹx>0，不可能有两个零点，②当 a>0 时，令 hʹx0，且 a>e，hea=ea-a2>0，所以 hx 在（1,a)， a,ea 上有两个零点，符合题意；综上， a>e ---7（ii）证明：xex-alnx+x=xex-alnxexx>0 有两个实根，令 t=xex，gt=t-alnt 有两个零点 t1，t2，t1=x1ex1，t2=x2ex2，所以 t1-alnt1=0,t2-alnt2=0. 所以 alnt2-lnt1=t2-t1, ⋯⋯① alnt2+lnt1=t2+t1, ⋯⋯② 要证 ex1+x2>e2x1x2，只需证 x1ex1⋅x2ex2>e2，即证 lnx1ex1+lnx2ex2>2，所以只需证 lnt1+lnt2>2．由①②可得 lnt2+lnt1=t2+t1t2-t1lnt2-lnt1=t2t1+1lnt2t1t2t1-1，只需证 t2t1+1lnt2t1t2t1-1>2，设 02t-1t+1，即证 lnt+4t+1-2>0，令 ht=lnt+4t+1-2，t>1，则 hʹt=1t-4t+12=(t-1)2tt+12>0， ht>h1=0．即当 t>1 时，lnt+4t+1-2>0，所以 lnt1+lnt2>2，即 x1ex1⋅x2ex2>e2，即 ex1+x2>e2x1x2． ---1222. 解：（1） 由直线 l 的参数方程 x=22-2t,y=2+t, （t为参数），得 x-22=-2t,y-2=t, 消去 t 得 x+2y-42=0，故 l 的直角坐标方程为 x+2y-42=0，由 x=ρcosθ，y=ρsinθ，x2+y2=ρ2，结合由 ρ2=41+3sin2θ 得 ρ2+3ρ2sin2θ=4，又 x=ρcosθ,y=ρsinθ, 所以 ⇒x2+y2+3y2=4⇒x24+y2=1，故 C 的参数方程为 x=2cosα,y=sinα.(α为参数) ---5  （2） 在曲线 C 上任意取一点 P2cosα,sinα 到 l 的距离为 d=∣2cosα+2sinα-42∣5=22sinα+π4-425，则 ∣PA∣=dsin45∘=455sinα+π4-2，当 sinα+π4=-1 时，∣PA∣ 取得最大值，最大值为 1255. ---1023.解：（1） 若不等式 fx≥m-1 有解，只需 fx 的最大值 fxmax≥m-1 即可．因为 x-1-x+2≤x-1-x+2=3，当且仅当x≤-2取等，所以 m-1≤3，解得 -2≤m≤4，所以实数 m 的最大值 M=4． ---5      （2） 根据（Ⅰ）知正实数 a，b 满足 3a2+b2=4，由柯西不等式可知 3a2+b23+1≥3a+b2，所以 3a+b2≤16，因为 a，b 均为正实数，所以 3a+b≤4（当且仅当 a=b=1 时取“=”） ---10  Y0123 P0.216 0.4320.2880.064