2021天津市实验中学滨海学校高二下学期期中考试数学（理科）试题含答案

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2020-2021年度第二学期高二年级期中质量调查（数学理科）试卷 满分：150分 时长：120分钟 注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上第I卷（选择题）一、选择题（每题5分，共60分）1．计算（ ）A． B． C． D．2．已知复数(为虚数单位)，则（ ）A． B．2. C． D．13．复数在复平面内对应的点在（ ）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限4．下列各式中正确的是（ ）A．(logax)′= B．(logax)′=C．(3x)′=3x D．(3x)′=3xln35．已知，则导数（ ）A． B． C． D．6．已知函数在处取得极值，则（ ）A．4 B．3 C．2 D．7．执行如图所示的程序框图，则输出（ ）A． B． C． D．8．设直线、的方向向量分别为，，若，则等于（ ）A．－2 B．2 C．6 D．109．已知＝(2，4，5)，＝(3，x，y)分别是直线l1、l2的方向向量．若l1∥l2，则（ ）A．x＝6，y＝15 B．x＝3，y＝C．x＝3，y＝15 D．x＝6，y＝10．已知且，则的值为（ ）A．3 B．4 C．5 D．611．已知函数在上是单调递增函数，则实数的取值范围是（ ）A． B． C． D． 12．如图，在四棱锥中，底面ABCD为矩形，底面，，E为PC的中点，则异面直线PD与BE所成角的余弦值为（ ）A． B． C． D．第II卷（非选择题）二、填空题（每题5分，共20分）13．若复数（为虚数单位）是纯虚数，则=___________．14．已知i为虚数单位，若复数z满足，则实数a的值为______.15．已知函数f (x)的导函数y＝f ′(x)的图象如图所示，则函数f (x)的单调递增区间是________.16．函数是R上的单调函数，则m的范围是_________.三、解答题（共70分）17．(16分)设复数z1＝2＋ai(其中a∈R)，z2＝3－4i.（1）若z1＋z2是实数，求z1·z2的值；（2）若是纯虚数，求|z1|.18．(18分)如图，在正方体中，E为的中点．（1）求证：平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值．19．(18分)已知函数.（1）当时，求函数在处的切线方程；（2）当时，求函数的单调区间和极值.20．(18分)已知函数的图象在点处的切线斜率为，且时，有极值．（1）求的解析式；（2）求在上的最大值和最小值． 2020-2021年度第二学期高二年级期中质量调查（数学理科）答题纸 班级 姓名 座位号 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - --- - - - - - - - -- 一、选择题（每题5分，共60分）二、填空题（每题5分，共20分）13._____________ 14. _____________15. ____________ 16. _____________三、解答题（共70分）2020-2021学年度高中数学期中考试卷理科考试范围：xxx；考试时间：100分钟；命题人：xxx注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上第I卷（选择题）请点击修改第I卷的文字说明一、单选题1．计算（ ）A． B． C． D．【答案】B【分析】直接由复数的除法运算可得解.【详解】.故选：B.2．已知复数(为虚数单位)，则（ ）A． B．2. C． D．1【答案】A【分析】首先根据两个复数代数形式的乘法运算法则，化简复数，之后利用复数的模的运算公式求得结果.【详解】因为，所以.故选：A.3．复数在复平面内对应的点在（ ）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】A【分析】先化简求出，即可得出结论.【详解】，其在复平面内对应的点在第一象限.故选：A.4．下列各式中正确的是（ ）A．(logax)′= B．(logax)′=C．(3x)′=3x D．(3x)′=3xln3【答案】D【分析】根据求导公式直接可判断.【详解】由(logax)′=，可知A，B均错；由(3x)′=3xln3可知D正确.故选：D5．已知，则导数（ ）A． B． C． D．【答案】D【分析】求得，进而可计算得出的值.【详解】，，因此，.故选：D.6．已知函数在处取得极值，则（ ）A．4 B．3 C．2 D．【答案】B【分析】依题意，即可求出参数的值；【详解】解:因为，所以，由条件知，是方程的实数根，．所以，，令，解得或，即在和上单调递增，令，解得，即在上单调递减，故在取得极大值，满足条件；故选：B7．执行如图所示的程序框图，则输出（ ）A． B． C． D．【答案】D【分析】直接运行程序框图即得解.【详解】第一次循环得，，，，，第二次循环得，，，，，第三次循环得，，，，，第四次循环得，，，，，输出，故选：D8．设直线、的方向向量分别为，，若，则等于（ ）A．－2 B．2 C．6 D．10【答案】D【分析】利用向量垂直数量积为零列方程求解即可．【详解】直线、的方向向量分别为，，且，，解得．故选：D．9．已知＝(2，4，5)，＝(3，x，y)分别是直线l1、l2的方向向量．若l1∥l2，则（ ）A．x＝6，y＝15 B．x＝3，y＝C．x＝3，y＝15 D．x＝6，y＝【答案】D【分析】利用向量共线的条件列方程组，直接解得.【详解】由l1∥l2得，，解得x＝6，y＝.故选：D10．已知且，则的值为（ ）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】C 【分析】由空间向量数量积的坐标运算求解．【详解】由已知，解得．故选：C．11．已知函数在上是单调递增函数，则实数的取值范围是（ ）A． B． C． D． 【答案】D12．如图，在四棱锥中，底面ABCD为矩形，底面，，E为PC的中点，则异面直线PD与BE所成角的余弦值为（ ）A． B． C． D．【答案】B【分析】以点为坐标原点建立空间直角坐标系，利用线线角的向量求法可求得结果.【详解】以点为坐标原点，为x轴，为y轴，为z轴建立空间直角坐标系，如下图所示：则，，，，，，设异面直线与所成角为，则.故选：B.【点睛】方法点睛：本题考查线线角的求法，利用空间向量求立体几何常考查的夹角：设直线的方向向量分别为，平面的法向量分别为，则①两直线所成的角为(),；②直线与平面所成的角为(),；③二面角的大小为(),第II卷（非选择题）请点击修改第II卷的文字说明二、填空题13．若复数（为虚数单位）是纯虚数，则=___________．【答案】【分析】利用复数的乘法运算法则、纯虚数的定义即可得出.【详解】解：复数是纯虚数，，且，解得：.故答案为：.14．已知i为虚数单位，若复数z满足，则实数a的值为______.【答案】5【分析】根据两个复数相等，实部和实部相等，虚部和虚部相等，即可得出结果.【详解】设，则可得，所以.故答案为：5【点睛】本题考查了共轭复数、两个复数相等的转化，考查了理解辨析能力和数学运算能力，属于容易题.15．已知函数f (x)的导函数y＝f ′(x)的图象如图所示，则函数f (x)的单调递增区间是________.【答案】和【分析】找到y＝f ′(x)的图象上函数值为正的区间即可.【详解】由y＝f ′(x)的图象可得当和时，，此时单调递增，所以函数f (x)的单调递增区间是和.故答案为：和.16．函数是R上的单调函数，则m的范围是_________.【答案】【分析】是R上的单调函数，则导函数恒大于等于或恒小于等于，而导函数是开口向上的二次函数，只可能是恒大于等于0，则用判别式求解即可.【详解】是R上的单调函数，则导函数恒大于等于则，故答案为：【点睛】若可导函数f(x)在指定的区间D上单调递增(减)，求参数范围问题，可转化为f′(x)≥0(或f′(x)≤0)恒成立问题，从而构建不等式，要注意“＝”是否可以取到．三、解答题17．设复数z1＝2＋ai(其中a∈R)，z2＝3－4i.（1）若z1＋z2是实数，求z1·z2的值；（2）若是纯虚数，求|z1|.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）由已知求得，再由复数代数形式的乘除运算求的值；（2）利用复数代数形式的乘除运算化简，由实部为0且虚部不为0求得，则可求．【详解】解：（1）（其中，，，由是实数，得．，，则；（2）由是纯虚数，得，即．．18．如图，在正方体中，E为的中点．（1）求证：平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值．【答案】（1）证明见解析；（2）．【分析】（1）连接交于点O，连接，即可得到，根据线面平行的判定定理即可得证；（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量法求出线面角的正弦值；【详解】解：（1）连接交于点O，连接，在正方形中，．因为E为的中点，所以．因为平面，平面，所以平面．（2）不妨设正方体的棱长为2，建立如图所示的空间直角坐标系则，所以．设平面的法向量为，所以所以即令，则，于是．设直线与平面所成角为，则．所以直线与平面所成角的正弦值为．【点睛】本题考查了立体几何中的线面平行的判定和线面角的求解问题，意在考查学生的空间想象能力和逻辑推理能力；解答本题关键在于能利用直线与直线、直线与平面、平面与平面关系的相互转化，通过严密推理，同时对于立体几何中角的计算问题，往往可以利用空间向量法，通过求解平面的法向量，利用向量的夹角公式求解.19．已知函数.（1）当时，求函数在处的切线方程；（2）当时，求函数的单调区间和极值.【答案】（1）；（2）函数的增区间为，该函数无极值.【分析】（1）求出、的值，利用点斜式可得出所求切线的方程；（2）利用导数分析函数的单调性，由此可得出结论.【详解】（1）当时，，则，所以，，.所以，函数在处的切线方程，因此，所求切线的方程为；（2）当时，，该函数的定义域为，，所以，函数的增区间为，该函数无极值.20．已知函数的图象在点处的切线斜率为，且时，有极值．（1）求的解析式；（2）求在上的最大值和最小值．【答案】（1）；（2）最大值为8，最小值为．【分析】（1）先对函数求导，然后利用导数的几何意义可得从而可求出的值，进而可得的解析式；（2）先对函数求导，然后令导数等于零，求出极值点，再求出极值和端点处的函数值，比较可得函数的最值【详解】解：（1）由题意可得，．由解得经检验得时，有极大值．所以．（2）由（1）知，．令，得，，，的值随的变化情况如下表：由表可知在上的最大值为8，最小值为．12345678910111217.（16分）18. （18分）19.（18分）20.（18分）200单调递增极大值单调递减极小值单调递增函数值388