2021湖北省荆、荆、襄、宜四地七校考试联盟高二下学期期中联考数学试题含答案

2021年春“荆、荆、襄、宜四地七校考试”

高二期中联考

数学试题

注意事项：

1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上.

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 已知三条直线,下列三个命题:

①若a与b异面,b与c异面,则a与c异面;

②若,a和c相交,则b和c也相交;

③若，,则；其中正确命题的个数是（）

A．0 B．1 C．2 D．3

2. 已知复数满足 （为虚数单位），则（）

A.  B.  C.  D.

3.中，分别是角的对边，则是“”成立的(   )

A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C.充要条件 D. 既不充分又不必要条件

4. 设等差数列的前项和为，若，，则（　　）

A．63 B．45 C．36       D．27

5.已知函数,则关于该函数性质的说法中，正确的是（）

A．最小正周期为              B．将其图象向右平移个单位，所得图象关于y轴对称

C．对称中心为D．在上单调递减

6. 正方体中，点E、F分别是棱和的中点，则直线AE与DF所成角的余弦值为（）

A． B． C． D．

7. 设双曲线E：的右顶点为A，右焦点为为双曲线E在第二象限上的点，直线交双曲线E于另一个点C（O为坐标原点），若直线平分线段，则双曲线E的离心率为（）

A. B. C. D.

8．若函数满足：对，均可作为一个三角形的边长，就称函数是区间D上的“W函数”．则下列四个函数：①，；②，；③，；④，中，“W函数”有（）个

A．4 B．3 C．2 D．1

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.

9已知数列是等比数列，公比为q，前n项和为，下列判断正确的有（）

A.为等比数列  B．为等差数列 

C．为等比数列 D．若，则．

10.．给出下列命题，其中正确的选项有（）

A．非零向量、满足，则与的夹角为

B．若，则为等腰三角形.

C．等边的边长为2，则

D．若，，，为锐角，则实数的取值范围是

11．过抛物线的焦点作直线交抛物线于，两点，为线段的中点，则（）

A．以线段为直径的圆与直线相切 B．以线段为直径的圆与y轴相切

C．当时， D．的最小值为6

12．已知函数有两个零点，，则下列说法正确的是(    )

A． B．

C． D．有极小值点，且

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13斜率为2的直线过抛物线C：的焦点，且与C交于A，B两点，则________．

14已知函数，则曲线在点处的切线方程是________

15二十四节气作为我国古代订立的一种补充历法，在我国传统农耕文化中占有极其重要的位置，是古代劳动人民对天文、气象进行长期观察、研究的产物，凝聚了古代劳动人民的智慧．古代数学著作《周髀算经》中记载有这样一个问题：从夏至之日起，小暑、大暑、立秋、处暑、白露、秋分、寒露、霜降、立冬、小雪、大雪这十二个节气的日影子长依次成等差数列，若小暑、立秋、白露的日影子长的和为18尺，霜降的日影子长为尺，则秋分的日影子长为________尺．

16已知半径为的球面上有三点，，球心为O，二面角的大小为，当直线OC与平面OAB所成角最大时，三棱锥的体积为____．

四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17（10分）已知，，且．

Ⅰ求在上的值域；

Ⅱ已知a，b，c分别为的三个内角A，B，C对应的边长，若，且，，求的面积．

18（12分）在，，，. 这三个条件中任选一个补充在下面的问题中，并加以解答．
设等差数列的前n项和为，数列为等比数列，_____，求数列的前n项和．
 

19（12分）在四棱锥中，底面ABCD是边长为的正方形，平面底面ABCD，.

（1）求证：；

（2）点M，N分别在棱，，，，求平面PCD与平面DMN所成角的正弦值.

20.（12分）下图为某仓库一侧墙面的示意图，其下部是矩形ABCD，上部是圆弧AB，该圆弧所在的圆心为O，为了调节仓库内的湿度和温度，现要在墙面上开一个矩形的通风窗EFGH（其中E，F在圆弧AB上，G，H在弦AB上）.过O作，交AB 于M，交EF于N，交圆弧AB于P，已知（单位：m），记通风窗EFGH的面积为S（单位：）

（1）按下列要求建立函数关系式：

（i）设，将S表示成的函数；

（ii）设，将S表示成的函数；

（2）试问通风窗的高度MN为多少时，通风窗EFGH的面积S最大？

21.（12分）在平面直角坐标系中，A（﹣1，0），B（1，0），设△ABC的内切圆分别与边AC，BC，AB相切于点P，Q，R，已知|CP|＝1，记动点C的轨迹为曲线E.

（1）求曲线E的方程；

（2）过点B（1，0）作直线交曲线于M,N两点，且点M位于轴上方，已知记直线的斜率分别为.

①证明：，为定值；

②设点N关于轴的对称点为，求面积的最大值．

22（12分）．已知函数

（1）求函数在内的单调递增区间；

（2）若对恒成立，求实数的取值范围 .

数学答案

1-4BBCB 5-8BAAB 9AD  10AB  11 ACD 12ABD

填空题

13.【答案】5

解：抛物线的方程为，
抛物线的焦点F坐标为，

又直线AB过焦点F且斜率为2，
直线AB的方程为：．

代入抛物线方程消去y并化简得，
所以
14.【答案】

 解：由题意得，
将与分别代入，
得，，
，，
，
故切线方程是．
故答案为
15【答案】4

解：由题意可得小暑、立秋、白露的日影子长的和为18尺，霜降的日影子长为尺，
即，，
可得，解得故
故秋分的日影子长为尺，
故答案为．
 

16解：设A，B，C所在球小圆为圆，取AB中点E，连接OE，，则即为二面角的平面角，为，，，则，
当直线OC与平面OAB所成角最大时，则C到平面OAB距离最大，则C到AB的距离最大，
此时，此时E，，C三点共线，由余弦定理可知：
，
故三棱锥的体积为，

故答案为．

17解：Ⅰ  
，- - - - - -  -2分
因为，所以,
所以的值域为．- - - - - -  -- - - - - -  -5分
Ⅱ因为，所以， 
因为，所以．- - - - - -  -7分
由余弦定理得：，即
，因为，所以     
- - - - - -  -10分

18当时，，当时，，又满足，所以- - - - - -  4分

选：
设公差为d，由，解得
所以- - - - - -  4分
选：
由，所以，

所以．- - - - - -  4分
设的公比为q，又因为，

得，，所以；- - - - - -  6分
又可知，
数列的前n项和为

+- - - - - -8分
数列

的前n项和为，

- - - - - -12分

19【解答】（1）证明：连接，设，连接，

底面ABCD为正方形，

，，平面底面，平面，

底面ABCD，底面ABCD，，- - - - - -  4分

（2）以为坐标原点，射线的方向分别为轴，轴，轴的正方向建立空间直角坐标系如图所示，

由（1）可知，可得

，，设平面DMN的法向量，

，今，可得，- - - - - -  7分

，设平面PCD的法向量，,

,令a=1可得- - - - - -  10分

，- - - - - -  12分

20.试题解析：（1）由题意知，OF＝OP＝10，MP＝6.5，故OM＝3.5．

（i）在Rt△ONF中，NF＝OFsinθ＝10sinθ，ON＝OFcosθ＝10cosθ．

在矩形EFGH中，EF＝2MF＝20sinθ，FG＝ON－OM＝10cosθ－3.5，

故S＝EF×FG＝20sinθ（10cosθ－3.5）＝10sinθ（20cosθ－7）．

即所求函数关系是S＝10sinθ（20cosθ－7），0＜θ＜θ0，其中cosθ0＝． - - - - -4分

（ii）因为MN＝x，OM＝3.5，所以ON＝x＋3.5．

在Rt△ONF中，NF＝＝＝．

在矩形EFGH中，EF＝2NF＝，FG＝MN＝x，

故S＝EF×FG＝x．

即所求函数关系是S＝x，0＜x＜6.5． - - - - -8分

（2）方法一：选择（i）中的函数模型：令f（θ）＝sinθ（20cosθ－7），

则f ′（θ）＝cosθ（20cosθ－7）＋sinθ（－20sinθ）＝40cos2θ－7cosθ－20．

由f ′（θ）＝40cos2θ－7cosθ－20＝0，解得cosθ＝，或cosθ＝－．

因为0＜θ＜θ0，所以cosθ＞cosθ0，所以cosθ＝．设cosα＝，且α为锐角，

则当θ∈（0，α）时，f ′（θ）＞0 ，f（θ）是增函数；当θ∈（α，θ0）时，f ′（θ）＜0 ，f（θ）是减函数，

所以当θ＝α，即cosθ＝时，f（θ）取到最大值，此时S有最大值．

即MN＝10cosθ－3.5＝4.5m时，通风窗的面积最大． - - - - -12分

方法二：选择（ii）中的函数模型：

因为S＝，令f（x）＝x2（351－28x－4x2），

则f ′（x）＝－2x（2x－9）（4x＋39）．

因为当0＜x＜时，f ′（x）＞0，f（x）单调递增，当＜x＜时，f ′（x）＜0，f（x）单调递减，

所以当x＝时，f（x）取到最大值，此时S有最大值．

即MN＝x＝4.5m时，通风窗的面积最大． - - - - -12分

21【解析】（1）（1）由题意知，|CA|+|CB|＝|CP|+|CQ|+|AP|+|BQ|＝2|CP|+|AB|＝4＞|AB|，

∴曲线E是以A，B为焦点，长轴长为4的椭圆（除去与x轴的交点），

设曲线E：，则c＝1，2a＝4，

即a＝2，b2＝a2﹣c2＝3，∴曲线E的方程为； - - - - -4分

（2）①设直线的方程为，

则，，消得，得

因此，

故 - - - - -8分

②坐标为，则直线方程为，

令解得

，即直线恒过点， - - - - -10分

故

，

当，即时，等号成立，此时求面积最大值为． - - -12分

22.由题意知，

所以当时，解得，

即在的单调递增区间是 - - - - -4分

（2）不等式等价为

即 - - - - -6分

设

①当时，与已知矛盾

②当时，显然不成立；

③当时，设

及

得在单调递减，即

此时在必有一零点，所以当时与已知矛盾

④当时，设

，所以从而在上单调递减，

即恒成立，当时，恒小于零

恒成立，所以恒成立综上，的取值范围为 - - - - -12分