2021长治二中校高二下学期期中考试数学（文）试卷含答案

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 2020—2021学年第二学期高二期中考试数学试题（文科）命题人： 【满分150分，考试时间120分钟】一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．点的直角坐标为，则点的极坐标可以为A．     B．       C．       D．2．已知变量,具有线性相关关系，测得的一组数据如下：(0,1),(1,2),(2,4),(3,5),其回归方程为，则的值等于A．0.9           B．0.8           C．0.6           D．0.23．在极坐标系中，已知两点，，则等于A．       B．          C．        D．44．将参数方程(为参数)化为普通方程为A．   B．   C．()   D．()5．函数的最小值为A．               B．             C．         D．      6．直线(为参数)和圆交于两点，则的中点坐标为A．  B．       C．         D．    7．在参数方程(为参数)表示的曲线上的一个点的坐标是A．      B．         C．         D．8．对于上可导的一个函数，若对于任意实数都有，则必有A．      B．  C．      D．    9．参数方程(为参数)表示的曲线是A．线段             B．双曲线           C．圆            D．圆的一部分    10．是定义在上的非负可导函数，且满足，对于任意正实数，若，则必有A． B．   C．   D．11．直线(为参数)上与点的距离等于的点的坐标是A．      B．      C．或    D．或12．已知函数，，若对于，成立，则的最大值为A．       B．             C．1       D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．平面直角坐标系中以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，其中极坐标方程对应的直角坐标方程是          .14．已知点在曲线(为参数)上，则的取值范围是        .15．过点且斜率为的直线与抛物线交于两点，则    .16．已知函数，其中.若对任意实数，都有，则正数的取值范围是        .三、解答题：本大题共70分17．(本题满分10分) 网购是现在比较流行的一种购物方式，现随机调查50名个人收入不同的消费者是否喜欢网购，调查结果表明：在喜欢网购的30人中有20人是低收入的人，在不喜欢网购的20人中有10人是低收入的人．（1）试根据以上数据完成如下列联表； 喜欢网购不喜欢网购总计低收入的人   高收入的人   总计   （2）判断能否有90%的把握认为“是否喜欢网购与个人收入高低有关系”？参考公式：，其中.参考数据：0.100.050.0250.0100.0050.0012.7063.8415.0246.6357.87910.82818．(本题满分12分)在直角坐标系中，圆经过伸缩变换后得到曲线以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为.（1）求曲线的直角坐标方程及直线的直角坐标方程；（2）设点是上一动点，求点到直线的距离的最大值． 19．(本题满分12分)已知函数．（1）求曲线在点处的切线方程；（2）求在区间上的零点个数． 20．(本题满分12分)在直角坐标系中，倾斜角为的直线的参数方程为(为参数).在以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线的极坐标方程为．（1）求直线的普通方程与曲线的直角坐标方程；（2）若直线与曲线交于两点，且，求直线的倾斜角．21．(本题满分12分)某企业为了提升行业核心竞争力，逐渐加大了科技投入.该企业连续6年来的科技投入(百万元)与收益(百万元)的数据统计如下：科技投入24681012收益5.66.512.027.580.0129.2根据散点图的特点，甲认为样本点分布在指数曲线的周围，据此他对数据进行了一些初步处理，如下表：43.54.5298.534.712730.470.0其中，（1）(ⅰ)请根据表中数据，建立关于的回归方程(保留一位小数)；(ⅱ)根据所建立的回归方程，若该企业想在下一年的收益达到2亿，则科技投入的费用至少要多少？(其中)（2）乙认为样本点分布在二次曲线的周围，并计算得回归方程为，以及该回归模型的相关指数，试比较甲、乙两位员工所建立的模型，谁的拟合效果更好．附：对于一组数据，其回归直线方程的斜率和截距的最小二乘估计为，.相关指数22．(本题满分12分)已知函数，其中.（1）讨论函数的单调性；（2）证明：存在实数，使得函数在区间上有唯一零点．
数学答案（文科）一、选择题：   1–5：BACCD     6–10：DCBBA    11–12：CD二、填空题： ⒔    ⒕     ⒖     ⒗三、解答题： ⒘⑴22列联表如下： 喜欢网购不喜欢网购总计低收入的人201030高收入的人101020总计302050………………………………………………………………………………………5分⑵计算的观测值，故没有90%的把握认为“是否喜欢网购与个人收入高低有关系”.………………………………………10分⒙⑴由经过伸缩变换可得曲线的方程为，即，由极坐标方程，可得直线的直角坐标方程为……………………………………………………………………6分⑵因为椭圆的参数方程为(为参数)，所以可设点，由点到直线的距离公式，点到直线的距离为(其中)，由三角函数性质知，当时，点到直线的距离有最大值…………………………………………12分⒚⑴因为，所以，因为，，由直线的点斜式可得：曲线在点处的切线方程为…………………………………………………4分⑵由⑴知，.当时，，则，函数单调递增；当时，，则，函数单调递减.所以，，结合零点存在定理知在区间上恰好有2个零点.………………12分⒛⑴因为直线的参数方程为(为参数)，当时，直线的直角坐标方程为当时，直线的直角坐标方程为……3分因为，，，由可得所以曲线的直角坐标方程为……………6分⑵曲线的直角坐标方程为，将直线的参数方程代入曲线的方程整理，得因为，可设该方程的两个根为，则，，…………………9分所以整理得，故因为，所以或，解得或，综上所述，直线的倾斜角为或.…………………………………12分⑴(ⅰ)，令；令，则，根据最小二乘法公式可知：从而，故回归方程为，也即………………………5分(ⅱ)设，解得，所以科技投入的费用至少要13.2百万元.………………………………………7分⑵因为，从而即甲建立的回归模型拟合效果更好.…………………12分⑴，令，.若，即，则，，在区间上单调递增.若，即，则有两个实根.当时，，，在区间上单调递增；当时，，，在区间上单调递减；当时，，，在区间上单调递增.………4分⑵由⑴及可知，若满足题意的实数存在，当且仅当极大值时符合要求，此时即是在区间上的唯一零点,于是问题转化为：方程组①有解，满足，且实数存在.由①消去整理得到：②.设，则，当，，单调递减；当，，单调递增.在区间上有唯一极小值，结合，以及可知在区间上有唯一零点，即②在区间上有唯一零点.从而由①知，命题得证.……………………12分