2021兰州第二十七中学高二期末考试数学（理）试卷含答案

www.ks5u.com2020—2021学年第一学期期末试题

                高二数学（理）

本试卷分第I卷(选择题)和第II卷(非选择题)两部分.全卷共三个大题，22个小题，满分150分，考试时间为120分钟.

第Ⅰ卷（选择题  共60分）

一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)

1．若曲线C上所有点的坐标都满足方程，则（    ）

A. 方程是曲线C的方程

B. 坐标满足方程的点都在曲线C上

C. 曲线C是方程所表示的曲线

D. 点的坐标满足方程是点在曲线C上的必要条件

2．已知互不重合的三个平面， ， ，命题:若， ，则；命题:若上不共线的三点到的距离相等，则，下列结论中正确的是（    ）．

A. 命题“且”为真              B. 命题“或”为假

C. 命题“或”为假              D. 命题“且”为真

3．“且”是“表示圆的方程”的（    ）条件

A. 充分非必要          B. 必要非充分          C. 充要       D. 既非充分又非必要

4．以双曲线的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆方程为（    ）

A.       B．       C．        D．

5．如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别为A1B1,CC1的中点,P为AD上一动点,记θ为异面直线PM与D1N所成的角,则θ的集合是(　　)

1.                        B．  

C．          D．

6．若向量a=(1,0,z)与向量b=(2,1,2)的夹角的余弦值为，则z =（   ）

A.0    B.1               C.      D.2

7．已知向量a、b满足：a·b＝0，|a|＝2，|b|＝3，且(3a＋2b)·(λa－b)＝0，则λ等于(　　)

A.        B．－        C.±        D．1

8．椭圆短轴上的两个三等分点与两个焦点构成一个正方形,则椭圆的离心率为(　　)

A.          B.          C.          D.               

9. 平面直角坐标系上动点，满足，则动点M的轨迹是（    ）

A. 直线         B. 线段         C. 圆        D. 椭圆

10．如图，过抛物线（）的焦点F的直线交抛物线于点A、B，交其准线l于点C，若，且，则p的值为（    ）

A.         B. 3       C.        D.

11. 设F1,F2是双曲线x2-4y2=4a(a>0)的两个焦点,点P在双曲线上,且满足

A. 2 B.  C. 1   D.

12．数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，曲线C：就是其中之一（如图）.给出下列三个结论：

①曲线C恰好经过6个整点（即横、纵坐标均为整数的点）；

②曲线C上任意一点到原点的距离都不超过；

③曲线C所围成的“心形”区域的面积小于3.

其中，所有正确结论的序号是

A. ① B. ② C. ①② D. ①②③

    第Ⅱ卷（非选择题 共90分）

二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填写在答题卡相应位置)

13．命题“∀x∈R，∃x∈N*，使得n≥x”的否定形式是________．

14. 非零向量e1，e2不共线，使ke1＋e2与e1＋ke2共线的k的值是________．

15. 直线y＝kx＋1与椭圆＋＝1总有公共点，则m的取值范围是    ．

16．曲线C是平面内与两个定点F1(-1,0)和F2(1,0)的距离的积等于常数a2(a>1)的点的轨迹.给出下列三个结论:

①曲线C过坐标原点;       ②曲线C关于坐标原点对称;

③若点P在曲线C上,则△F1PF2的面积不大于.      

其中,正确结论的序号是　      　．

三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

17．（本小题满分10分）

已知命题p：关于x的方程x2－ax＋4＝0有实根；命题q：关于x的函数y＝2x2＋ax＋4在[3，＋∞)上是增函数．若“p∨q”是真命题，“p∧q”是假命题，求实数a的取值范围．

18．（本小题满分12分）

已知空间三点A(－2，0，2)，B(－1，1，2)，C(－3，0，4)，设a＝，b＝.

(1)求a和b的夹角θ的余弦值；

(2)若向量ka＋b与ka－2b互相垂直，求k的值．

19．(本题满分12分)

已知动点P与平面上两定点A(－，0)、B(，0)连线的斜率的积为定值－.

(1)试求动点P的轨迹方程C.

(2)设直线l：y＝kx＋1与曲线C交于M、N两点，当时，求直线l的方程．

20．(本小题满分12分)

   如图，在直三棱柱ABC - A1B1C1中，，，，点D是BC的中点.

(1)证明:直线平面；

(2)求平面与所成二面角的正弦值.

21. (本题满分12分)

   如图，在三棱柱ABC­A1B1C1中，侧面AA1C1C⊥底面ABC，AA1＝A1C＝AC＝2，AB＝BC，AB⊥BC，O为AC中点．

(1)证明：A1O⊥平面ABC；

(2)求直线A1C与平面A1AB所成角的正弦值．

22. (本题满分12分)

已知动点M到定点F1(－2，0)和F2(2，0)的距离之和为4.

(1)求动点M轨迹C的方程；

(2)设N(0，2)，过点P(－1，－2)作直线l，交椭圆C异于N的A，B两点，直线NA，NB的斜率分别为k1，k2，证明：k1＋k2为定值．

数学（理）答案

Ⅰ 选择题

Ⅱ 非选择题

二、13．∃x∈R，∀x∈N*，使得n<x    14．±1    15．m≥1且m≠5    16．②③

三、解答题：

17．解：p真：Δ＝(－a)2－4×4≥0，所以a ≤－4或a≥4.

q真：－≤3，所以a≥－12.

由“p∨q”是真命题，“p∧q”是假命题得：p、q两命题一真一假．

当p真q假时，a＜－12；当p假q真时，－4＜a＜4.

综上，a取值范围为(－∞，－12)∪(－4，4)．

18．解：a＝＝(－1，1，2)－(－2，0，2)＝(1，1，0)，

b＝＝(－3，0，4)－(－2，0，2)＝(－1，0，2)．

(1)cos θ＝＝＝－，所以a与b的夹角θ的余弦值为－.

(2)ka＋b＝(k，k，0)＋(－1，0，2)＝(k－1，k，2)，ka－2b＝(k，k，0)－(－2，0，4)＝(k＋2，k，－4)，

所以(k－1，k，2)·(k＋2，k，－4)＝(k－1)(k＋2)＋k2－8＝0.

即2k2＋k－10＝0，所以k＝－或k＝2.

19．解：设点P(x，y)，则依题意有·＝－，整理得＋y2＝1.由于x≠±，所以求得的曲线C的方程为＋y2＝1(x≠±)．

(2)由，消去y得：(1＋2k2)x2＋4kx＝0.

解得x1＝0，x2＝(x1、x2分别为M、N的横坐标)．

由|MN|＝|x1－x2|＝||＝，

解得：k＝±1.

所以直线l的方程x－y＋1＝0或x＋y－1＝0.

20．解：(1)连接，交于， 连结，

直三棱柱中，侧面为平行四边形，

为中点，点是的中点，

又平面，平面   平面

 (2)设平面的法向量.

因为，所以，

即且，取，得，

所以是平面的一个法向量，取平面的一个法向量，

设平面与平面所成二面角的大小为.

由，得.

因此平面与平面所成二面角的正弦值为.

21．解：(1)∵AA1＝A1C＝AC＝2，且O为AC中点，∴A1O⊥AC.

又侧面AA1C1C⊥底面ABC，交线为AC，A1O⊂平面A1AC，∴A1O⊥平面ABC.

(2)连接OB，如图，以O为原点，分别以OB，OC，OA1所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，则由题可知B(1,0,0)，C(0,1,0)，A1(0,0，)，

A(0，－1,0)．∴＝(0,1，－)，

令平面A1AB的法向量为n＝(x，y，z)，

则n·＝n·＝0，而＝(0,1，)，＝(1,1,0)，可求得一个法向量n＝(3，－3，)

∴|cos，n|＝＝＝，故直线A1C与平面A1AB所成角的正弦值为.

22.解：由椭圆定义，可知点M的轨迹是以F1，F2为焦点，以4为长轴长的椭圆．

由c＝2，a＝2，得b＝2.

故曲线C的方程为＋＝1.

(2)证明：当直线l的斜率存在时，设其方程为y＋2＝k(x＋1)，

由

得(1＋2k2)x2＋4k(k－2)x＋2k2－8k＝0.

设A(x1，y1)，B(x2，y2)，

x1＋x2＝－，

x1x2＝.

从而k1＋k2＝＋＝＝2k－(k－4)＝4.

当直线l的斜率不存在时，

得A，B，

得k1＋k2＝4.

综上，恒有k1＋k2＝4.