2021自贡田家炳中学高二下学期开学考试数学试卷含答案

这是一份2021自贡田家炳中学高二下学期开学考试数学试卷含答案
高二(下)入学考试数学试题一、选择题：(本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.) 1．过点且斜率不存在的直线方程为( )A． B． C． D．2．空间直角坐标系中两点坐标分别为则两点间距离为( )A．2 B． C． D．63．若方程表示圆，则实数的取值范围为( )A． B． C． D．4．直线和直线平行，则实数 的值为( )A．3 B． C． D．或5．在棱长为1的正方体中，异面直线与所成的角为( )A． B． C． D．6．设是两条不同的直线，是两个不同的平面，下列四个命题为假命题的是( )A．若，则；B．若，，，则C．若，则.D．若，，则7．若实数满足不等式组 QUOTE ，则 QUOTE 的最小值为( )A．0 QUOTE  B． QUOTE 1 C． D． QUOTE 98．太极图是以黑白两个鱼形纹组成的图案，它形象化地表达了阴阳轮转、相反相成是万物生成变化根源的哲理，展现了一种相互转化，相对统一的形式美．按照太极图的构图方法，在平面直角坐标系中，圆O被函数的图象分割为两个对称的鱼形图案(如图)，其中阴影部分小圆的周长均为，现从大圆内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率为( )A．eq \f(1,36) B．eq \f(1,18) C． D．9． 如图所示，是长方体，是的中点，直线 交平面于点，则下列结论正确的是( )A．三点共线 B．不共面 C．不共面 D．共面10．若直线与直线关于点对称，则直线一定过定点( )A． B． C． D．11．已知长方形的长为，宽为，沿对角线折起，形成四面体，则该四面体外接球的表面积为( )A． B． QUOTE  C． D． QUOTE 12．坐标原点在动直线上的投影为点，若点，那么的取值范围为( )A． B． C． D．二、填空题：(本大题共4小题，每小题5分，共20分。)13．直线与直线垂直，则实数的值为 ▲ 14．如图，这是某校高一年级一名学生七次数学测试成绩（满分100分）的茎叶图. 去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的方差是 ▲ 15．两个男生一个女生并列站成一排，其中两男生相邻的概率为 ▲ 16．已知点是直线上一动点，是圆的两条切线，为切点，则弦长的最小值为 ▲ 三、解答题：(共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。)17．（本小题10分）如图，在底面是矩形的四棱锥中，⊥平面，是的中点。（1）求证：平面； （2）求证：平面⊥平面.18．（本小题12分）“有黑扫黑、无黑除恶、无恶治乱”，维护社会稳定和和平发展。扫黑除恶期间，大量违法分子主动投案，某市公安机关对某月连续7天主动投案的人员进行了统计，表示第天主动投案的人数，得到统计表格如下：（1）若与具有线性相关关系，请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出关于的线性回归方程；（2）判定变量与之间是正相关还是负相关。（写出正确答案，不用说明理由）（3）预测第八天的主动投案的人数（按四舍五入取到整数）.回归方程中斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：参考公式：， .19．（本小题12分）已知动点与两个定点的距离之比为；（1）求动点的轨迹方程；（2）过点所代表的曲线外一点作该曲线的两条切线，切点分别为，求的正弦值；（3）若点所代表的曲线内有一点,求过点且倾斜角为的直线与此曲线所截得的弦长.20．（本小题12分）每当《我心永恒》这首感人唯美的歌曲回荡在我们耳边时，便会想起电影《泰坦尼克号》中一暮暮感人画面，让我们明白了什么是人类的“真、善、美”。为了推动我市旅游发展和带动全市经济，更为了向外界传递遂宁人民的“真、善、美”。我市某地将按“泰坦尼克号”原型比例重新修建。为了了解该旅游开发在大众中的熟知度，随机从本市岁的人群中抽取了人，得到各年龄段人数的频率分布直方图如图所示，现让他们回答问题“该旅游开发将在我市哪个地方建成？”，统计结果如下表所示：（1）求出的值；（2）从第组回答正确的人中用分层抽样的方法抽取人，求第组每组抽取的人数；（3）在（2）中抽取的人中随机抽取人，求所抽取的人中恰好没有年龄在段的概率。21．（本小题满分12分）如图，已知直三棱柱中，，，是的中点，是上一点，且．（1）证明：平面；（2）求三棱锥的体积．22．（本小题12分）已知过定点且与直线垂直的直线与轴、轴分别交于点，点满足.（1）若以原点为圆心的圆与有唯一公共点，求圆的轨迹方程；（2）求能覆盖的最小圆的面积；（3）在（1）的条件下，点在直线上，圆上总存在两个不同的点使得为坐标原点），求的取值范围。参考答案一、选择题（5×12=60分）二、填空题（每小题5分，共4小题，共20分）13、 14、(或填) 15、 16、三、解答题17．（本小题10分）（1）连接BD交AC于点G,连接EG，因为E为PD的中点，G为BD的中点，所以 ……3分又因为, ，所以 ……5分（2） ……8分 ……10分18．（本小题12分）（1）根据表中的数据，可得，， ……2分则，， ……4分又由 ……5分故所求回归直线方程为 ………………6分（2）正相关 ………………9分（3）当时，根据方程得，故预测第八天有7人 ………………12分19．（本小题12分）（1）解：设，由题意有： ………………2分化简得： ………………4分（2）因为点到圆心的距离，令圆心为所以在中， ………………6分则 ………………8分（3）过点倾斜角为的直线方程为 ………………9分该直线恰好过圆心，所以与曲线截得的弦长恰好为圆的直径，即弦长 ………………12分20．（本小题12分）（1）第组的人数为：人，第组的频率为： ………………1分 ………………2分 ………………3分故 ………………4分（2）抽样比为：人第组抽取的人数为：人；第组抽取的人数为：人；第组抽取的人数为：人 ………………8分（3）记中2人为A1,A2，中3人为B1,B2,B3，中1人为C，则在抽取的人中随机抽取人的所有事件为A1A2，A1B1，A1B2，A1B3，A1C，A2B1，A2B2，A2B3，A2C，B1B2，B1B3，B1C，B2B3，B2C，B3C共15个，其中不含A1,A2的有6个所抽取的人中恰好没有年龄段在的概率： ………………12分21．（本小题12分）（1）由题意知，等腰直角三角形中，中线，且而直三棱柱中，底面，从而知，一方面，在中，因为，，则由，可得，从而可知，又则得，由此可得，即有…3分另一方面，由，，，得平面又平面，则知 ………………5分综上，，且，又，故平面． ………………6分 （2）如图，D为AC中点，连接ED，则ED∥AB且ED=AB=1 ∵三棱柱为直三棱柱 ∴AA1⊥底面ABCA1A⊥AB 又AB⊥AC ∴AB⊥面AA1C1C 从而ED⊥面A1C1C ………………8分 ∵A1F=2FE ∴ ……………12分22．（本小题12分）（1）因为，所以在线段的垂直平分线上，即在直线上，故 ………………1分以原点为圆心的圆与有唯一公共点，此时圆的半径 ………………3分故：圆的方程为 ………………4分（2）由于三角形ABC为钝角三角形且AB为最长边，故能覆盖三角形ABC的最小圆是以AB为直径的圆……………………（不需证明，写出该结论给2分）………….6分由于点，所以………………………………………..7分故该圆的半径为所以能覆盖该三角形的最小圆面积………………………………………….8分（3）（O为坐标原点），则有OP与MN互相垂直平分，所以圆心到直线MN的距离小于1.即又 ………………10分又，代入（1）得所以实数的取值范围为 ………………12分 12345673455567组号分组回答正确的人数回答正确的人数占本组的频率第组第组第组第组第组题号123456789101112答案BCABCDADACDA