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2021钦州高二上学期期末数学（理）试题含解析
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钦州市2020年秋季学期教学质量监测高二数学（理科）（考试时间：120分钟；赋分：150分）第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个备选项中，有且只有一项是符合题目要求的.（温馨提示：请在答题卡上作答，在本试卷上作答无效.）1. 下列语句能作为命题（ ）A. 3比5大 B. 太阳和月亮 C. 高二年级的学生 D. 2. 已知，，若，则等于（ ）A. 1 B. 2 C. D. 33. 命题“若，则”的否命题是（ ）A. 若，则 B. 若，则C. 若，则 D. 若，则4. 椭圆与轴的交点为，两个焦点为，，则的面积为（ ）A. 6 B. 8 C. 10 D. 125. 某班有学生56人，现将所有学生按1，2，3，…，56随机编号，若采用系统抽样的方法抽取一个容量为4的样本，抽得编号为4，，32，的学生样本，则（ ）A 64 B. 60 C. 58 D. 366. 据统计，某产品的市场销售量（万台）与广告费用投入（万元）之间的对应数据的散点图如图所示，由图可知，与之间有较强的线性相关关系，其线性回归方程是.预测广告费用投入为10万元时，估计该厂品的市场销售约为（ ） A. 6.1万台 B. 5.5万台 C. 5.2万台 D. 6万台7. 在“我爱你，中国”为主题演讲比赛中，七位评委对甲参赛选手的评分如图茎叶图所示，去掉一个最高分和一个最低分，所剩数据的方差为（ ）A. B. C. D. 8. 阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，则输出的值为（ ）A. 4 B. 8 C. 16 D. 329. 为考察、两名运动员的训练情况，下面是、两名运动员连续10天完成训练指标任务的综合得分的折线图，给出下列四个结论，其中错误的结论是（ ）A. 第3天至第10天两名运动员综合得分均超过80分；B. 第1天至第7天运动员的得分逐日提高；C. 第2天至第3天运动员的得分增量大于运动员的得分增量；D. 运动员第1天至第3天的得分方差大于第2天至第4天的得分的方差.10. 直三棱柱中，，，则与面成角的正弦值为（ ）A. B. C. D. 11. 是抛物线上一点，若点到抛物线的焦点距离为6，则抛物线的准线方程是（ ）A. B. C. D. 12. 已知双曲线，过其右焦点作轴的垂线，交双曲线于、两点，若双曲线的左焦点在以为直径的圆内，则双曲线离心率的取值范围是（ ）A. B. C. D. 第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13. 命题“，使”是真命题，则的范围是________.14. 某高中各年级男、女生人数统计如表：按年级分层抽样，若抽取该校学生80人中，高二学生有27人，则表中a＝_____．15. 长方体中，，，则异面直线与所成的角余弦值为__________.16. 明朝著名易学家来知德创立了以太极图解释一年、一日之象的图式，一年气象图将二十四节气配以太极图，说明一年之气象.他认为“万古之人事，一年之气象也，春作夏长秋收冬藏，一年不过如此”.下图是来氏太极图，其大圆半径为6，大圆内部的同心小圆半径为2，两圆之间的图案是对称的，若在大圆内随机取一点，则该点落在空白区域的概率为__________. 三、解答题：本大题共6题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. 已知命题：，命题：.(1)若为假命题，求实数的取值范围；(2)若是的充分条件，求实数的取值范围.18. 已知中，点，的坐标分别是，，动点满足.（1）求顶点轨迹方程；（2）根据（1）所求得的轨迹方程，求面积的最大值.19. 2020年新型冠状病毒肺炎疫情期间，某医院随着医疗工作的有序开展，从2020年3月1日算第一天起，该医院每日治愈的新型冠状病毒肺炎人数（人）的近5天的具体数据如下表：若在一定时间内，该医院每日治愈的新型冠状病毒肺炎病人数与天数具有相关关系，已知线性回归方程恒过定点，且，.（1）求的值和线性回归方程；（2）预测该医院3月11日能否可以实现“单日治愈人数突破40人”的目标？参考公式：，，，为样本平均值.20. 如图所示，正三棱柱内接于圆柱，，，点在轴上运动.（1）证明：不论在何处，总有；（2）当点为的中点时，求平面与平面所成的锐二面角的余弦值.21. 为了了解某工厂生产的产品情况，从该工厂生产的产品随机抽取了一个容量为200的样本，测量它们的尺寸（单位：），数据分为，，，，，，七组，其频率分布直方图如图所示. （1）根据频率分布直方图，求200件样本中尺寸在内的样本数；（2）记产品尺寸在内为等品，每件可获利6元；产品尺寸在内为不合格品，每件亏损3元；其余的为合格品，每件可获利4元.若该机器一个月共生产2000件产品.以样本的频率代替总体在各组的频率，若单月利润未能达到9000元，则需要对该工厂设备实施升级改造.试判断是否需要对该工厂设备实施升级改造.22. 已知椭圆标准方程为，椭圆的左、右焦分别为、，为椭圆上的点，且.过点且斜率为的直线与椭圆交于、两点.（1）求椭圆方程；（2）若在以为直径的圆上，求直线的方程和圆的方程.钦州市2020年秋季学期教学质量监测高二数学（理科）（解析版）（考试时间：120分钟；赋分：150分）第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个备选项中，有且只有一项是符合题目要求的.（温馨提示：请在答题卡上作答，在本试卷上作答无效.）1. 下列语句能作为命题是（ ）A. 3比5大 B. 太阳和月亮 C. 高二年级的学生 D. 【答案】A【解析】【分析】根据命题定义逐个判断.【详解】根据命题定义：能判断真假的陈述句，A正确，B、C不是陈述句，D不能判断真假.故选：A.2. 已知，，若，则等于（ ）A. 1 B. 2 C. D. 3【答案】B【解析】【分析】由条件，求的值.【详解】，，即，解得：.故选：B3. 命题“若，则”的否命题是（ ）A. 若，则 B. 若，则C. 若，则 D. 若，则【答案】B【解析】【分析】由题意，根据否命题的形式分析几科得到答案．【详解】否命题是条件和结论都否定，根据题意，命题“若，则”的否命题是“若，则”．故选：B【点睛】写一个命题的逆命题、否命题、逆否命题的关键：分清楚原命题的条件和结论，可以先将原命题改写成“若p则q”的形式（写法不一定惟一），再写出其它三种命题（大前提不变）．4. 椭圆与轴的交点为，两个焦点为，，则的面积为（ ）A. 6 B. 8 C. 10 D. 12【答案】D【解析】【分析】由椭圆的方程求出的值、以及的坐标，利用三角形的面积公式即可求解.【详解】由椭圆可得，所以，令可得，所以，所以的面积为，故选：D5. 某班有学生56人，现将所有学生按1，2，3，…，56随机编号，若采用系统抽样的方法抽取一个容量为4的样本，抽得编号为4，，32，的学生样本，则（ ）A. 64 B. 60 C. 58 D. 36【答案】A【解析】【分析】先求出样本间隔，再由样本间隔求出.【详解】因为样本容量为，所以样本的间隔为则即故选：A6. 据统计，某产品的市场销售量（万台）与广告费用投入（万元）之间的对应数据的散点图如图所示，由图可知，与之间有较强的线性相关关系，其线性回归方程是.预测广告费用投入为10万元时，估计该厂品的市场销售约为（ ） A. 6.1万台 B. 5.5万台 C. 5.2万台 D. 6万台【答案】B【解析】【分析】算出，代入，求出，即可求解.【详解】解：由题意知：，，将代入，即，解得：，即，将代入得.故选：B.7. 在“我爱你，中国”为主题的演讲比赛中，七位评委对甲参赛选手的评分如图茎叶图所示，去掉一个最高分和一个最低分，所剩数据的方差为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据茎叶图数据，去掉最低分78，最高分94，剩余数据为85，85，85，87，88，求出平均数，再求出方差．【详解】由茎叶图可知评委打出的最低分78，最高分94．其余得分为85，85，85，87，88，故平均分为，方差为．故选：C【点睛】(1) 平均数：是指在一组数据中所有数据之和再除以这组数据的个数，表示一组数据集中趋势的量数；(2) 方差：是各个数据分别与其平均数之差的平方的和的平均数，数据和其数学期望（即均值）之间的偏离程度，反映数据离散程度．8. 阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，则输出的值为（ ）A. 4 B. 8 C. 16 D. 32【答案】C【解析】分析】根据程序框图计算，判定是否成立，不成立继续循环直到条件成立输出值即可.【详解】解：第一次循环：不成立，故进行第二次循环；第二次循环：不成立，故进行第三次循环；第三次循环：成立，结束循环，输出；故选：C.9. 为考察、两名运动员的训练情况，下面是、两名运动员连续10天完成训练指标任务的综合得分的折线图，给出下列四个结论，其中错误的结论是（ ）A. 第3天至第10天两名运动员综合得分均超过80分；B. 第1天至第7天运动员的得分逐日提高；C. 第2天至第3天运动员的得分增量大于运动员的得分增量；D. 运动员第1天至第3天得分方差大于第2天至第4天的得分的方差.【答案】D【解析】【分析】根据图象，逐一分析选项，即可得答案.【详解】由图象可得，第3天至第10天两名运动员综合得分均超过80分，故A正确；由图象可得，第1天至第7天B运动员的得分逐日提高，故B正确；第2天至第3天，A运动员得分增量大于2，B运动员得分增量小于2，所以第2天至第3天A运动员的得分增量大于B运动员的得分增量，故C正确；在1天至第3天的得分统计中，A运动员最小得分78最高得分80，在第2天至第4天的得分统计中，A运动员最小得分78最高得分高于80，所以第1天至第3天方差小于第2天至第4天的方差，故D错误.故选：D10. 直三棱柱中，，，则与面成角的正弦值为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】过作,可证平面，连接,可知即为所求线面角，计算即可求解.【详解】如图，过作，连接， 在直三棱柱中，因为所以平面，故在平面上的射影为,所以为直线与平面所成的角，设，又所以故故选：A【点睛】方法点晴：求线面夹角一般有两种方法：（1）几何法：作平面的垂线，找到夹角再用三角函数求解；（2）向量法：建系用空间向量公式求解.11. 是抛物线上一点，若点到抛物线的焦点距离为6，则抛物线的准线方程是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】利用抛物线的定义求解即可．【详解】抛物线的准线方程为其上一点到抛物线的焦点距离为6，则解得，即抛物线的准线方程为故选：A12. 已知双曲线，过其右焦点作轴的垂线，交双曲线于、两点，若双曲线的左焦点在以为直径的圆内，则双曲线离心率的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】由题将代入双曲线，可求出圆半径，再根据题意可得，即可由此求出离心率.【详解】由题可得轴，将代入双曲线可得，以为直径的圆的半径为，双曲线的左焦点在以为直径的圆内，，即，即，两边除以可得，解得（舍去）或，故双曲线离心率的取值范围是.故选：D.【点睛】本题考查双曲线离心率的取值范围的求解，解题的关键是求出圆半径，根据题意得出.第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13. 命题“，使”是真命题，则的范围是________.【答案】.【解析】【分析】等价于在恒成立，即得解.【详解】命题“，使”是真命题等价于时，恒成立.所以在恒成立，所以.故答案为：【点睛】本题主要考查全称命题的真假求参数的问题的求解，意在考查学生对该知识的理解掌握水平.14. 某高中各年级男、女生人数统计如表：按年级分层抽样，若抽取该校学生80人中，高二学生有27人，则表中a＝_____．【答案】480；【解析】【分析】根据分层抽样满足每个个体被抽到的概率是相等的，建立等量关系式，求得结果.【详解】根据题意，由分层抽样方法得，解得，故答案为：.【点睛】该题考查的是有关分层抽样的问题，涉及到的知识点有分层抽样中按照成比例建立等量关系式求参数，属于基础题目.15. 长方体中，，，则异面直线与所成的角余弦值为__________.【答案】【解析】【分析】连接，因为所以或补角为异面直线与所成的角，由余弦定理求解.【详解】如图所示， 连接和因为，所以或补角为异面直线与所成的角因为，，所以，， 由余弦定理得故答案为：.【点睛】方法点晴：求线线夹角可用几何法：先平移相交找角再用三角知识求解；也可用空间向量公式求解.16. 明朝著名易学家来知德创立了以太极图解释一年、一日之象的图式，一年气象图将二十四节气配以太极图，说明一年之气象.他认为“万古之人事，一年之气象也，春作夏长秋收冬藏，一年不过如此”.下图是来氏太极图，其大圆半径为6，大圆内部的同心小圆半径为2，两圆之间的图案是对称的，若在大圆内随机取一点，则该点落在空白区域的概率为__________. 【答案】【解析】【分析】设大圆面积为，小圆面积为，并求出、，进而求得白色区域的面积，结合面积比即可求解.【详解】设大圆面积，小圆面积，则，，可得白色区域的面积为，所以落在白色区域的概率为.故答案为：.【点睛】本题主要考查了几何概型的概率的计算问题，解决此类问题的步骤：求出满足条件A的基本事件对应的“几何度量”，再求出总的基本事件对应的“几何度量”，然后根据求解，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题．三、解答题：本大题共6题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. 已知命题：，命题：.(1)若为假命题，求实数的取值范围；(2)若是的充分条件，求实数的取值范围.【答案】(1)；（2）.【解析】【分析】(1)求解一元二次不等式即可求出实数的取值范围；(2)把是的充分条件，转化为集合的包含关系，列不等式组求解．【详解】解：(1)∵为假命题，则成立，解得或，∴实数的取值范围是.(2)∵是的充分条件，又∵：，：，∴，∴.解得.∴实数的取值范围是.【点睛】结论点睛：有关充要条件类问题的判断，一般可根据如下规则判断：(1)若是的必要不充分条件，则对应集合是对应集合的真子集；(2)若是的充分不必要条件， 则对应集合是对应集合的真子集；(3)若是的充分必要条件，则对应集合与对应集合相等；(4)若是的既不充分又不必要条件，对应集合与对应集合互不包含．18. 已知中，点，的坐标分别是，，动点满足.（1）求顶点的轨迹方程；（2）根据（1）所求得的轨迹方程，求面积的最大值.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）设动点的坐标为根据，列方程化简即可；（2）因为动点的轨迹方程是以为圆心，以为半径的圆，故当的高为圆的半径时，的面积最大.【详解】解：（1）设动点的坐标为，则，，∵，所以，化简得，即动点的轨迹方程为. （2）由（1）知，动点的轨迹是以为圆心，以为半径的圆（除该圆与轴的交点之外）.因此，当高为圆的半径时，的面积最大，此时.【点睛】方法点睛：求轨迹方程的常用方法（1）直接法：如果动点满足的几何条件本身就是一些几何量，如（距离和角）的等量关系，或几何条件简单明了易于表达，只需要把这种关系转化为的等式，就能得到曲线的轨迹方程；（2）定义法：某动点的轨迹符合某一基本轨迹如直线、圆锥曲线的定义，则可根据定义设方程，求方程系数得到动点的轨迹方程；（3）几何法：若所求轨迹满足某些几何性质，如线段的垂直平分线，角平分线的性质，则可以用几何法，列出几何式，再代入点的坐标即可；（4）相关点法（代入法）：若动点满足的条件不变用等式表示，但动点是随着另一动点（称之为相关点）的运动而运动，且相关点满足的条件是明显的或是可分析的，这时我们可以用动点的坐标表示相关点的坐标，根据相关点坐标所满足的方程，求得动点的轨迹方程；（5）交轨法：在求动点轨迹时，有时会出现求两个动曲线交点的轨迹问题，这类问题常常通过解方程组得出交点（含参数）的坐标，再消去参数参数求出所求轨迹的方程.19. 2020年新型冠状病毒肺炎疫情期间，某医院随着医疗工作的有序开展，从2020年3月1日算第一天起，该医院每日治愈的新型冠状病毒肺炎人数（人）的近5天的具体数据如下表：若在一定时间内，该医院每日治愈的新型冠状病毒肺炎病人数与天数具有相关关系，已知线性回归方程恒过定点，且，.（1）求的值和线性回归方程；（2）预测该医院3月11日能否可以实现“单日治愈人数突破40人”的目标？参考公式：，，，为样本平均值.【答案】（1），；（2）能实现.【解析】【分析】（1）线性回归方程恒过定点，知故可求；根据参数公式求回归方程；（2）取代入回归方程计算结果再与40比较即可有结论.【详解】解：（1）由题意，，，∴，解得，∵，， 所以，，，所以线性回归方程.（2）在中，3月11日即，取..∵，∴该医院3月11日能实现“单日治愈人数突破40人”的目标.【点晴】关键点点晴：定点为回归方程中心点，即，，是求的关键.20. 如图所示，正三棱柱内接于圆柱，，，点在轴上运动.（1）证明：不论在何处，总有；（2）当点为的中点时，求平面与平面所成的锐二面角的余弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】【分析】（1）连接并延长，交于，通过和证明平面，即可得出.（2）以为坐标原点建立空间直角坐标系，求出平面与平面的法向量，利用向量关系即可求出.【详解】（1）证明：连接并延长，交于，∵为正三角形，为外接圆的圆心，∴，∴，又∵在圆柱中，平面，因为平面，所以，又，平面，平面，∴平面，不论在何处，总有平面，所以；（2）如图，设的中点为，由已知得，，相互垂直，以为坐标原点建立空间直角坐标系， ∵，则，为的中点，求得，∴，，，∴，， 设平面的一个法向量为，则有，即，取，解得，，得，∵面，可得平面的一个法向量为，∴，故所求锐二面角的余弦值为.【点睛】利用法向量求解空间面面角的关键在于“四破”：第一，破“建系关”，构建恰当的空间直角坐标系；第二，破“求坐标关”，准确求解相关点的坐标；第三，破“求法向量关”，求出平面的法向量；第四，破“应用公式关”.21. 为了了解某工厂生产的产品情况，从该工厂生产的产品随机抽取了一个容量为200的样本，测量它们的尺寸（单位：），数据分为，，，，，，七组，其频率分布直方图如图所示. （1）根据频率分布直方图，求200件样本中尺寸在内的样本数；（2）记产品尺寸在内为等品，每件可获利6元；产品尺寸在内为不合格品，每件亏损3元；其余的为合格品，每件可获利4元.若该机器一个月共生产2000件产品.以样本的频率代替总体在各组的频率，若单月利润未能达到9000元，则需要对该工厂设备实施升级改造.试判断是否需要对该工厂设备实施升级改造.【答案】（1）件；（2）需要对该工厂设备实施升级改造.【解析】【分析】（1）根据评论分布直方图面积之和为1列等式计算得，用200乘以内的频率即可得出答案；（2）根据题意计算等品件，不合格品有件，进而得合格品有件，根据题意计算其利润与9000比较判定需要对该工厂设备实施升级改造.【详解】解：（1）因为，解得，所以200件样本中尺寸在内的样本数为（件）.（2）由题意可得，这批产品中优等品有件，这批产品中不合格品有件， 这批产品中合格品有件，元. 所以该工厂生产的产品一个月所获得的利润为8960元，因为，所以需要对该工厂设备实施升级改造.【点睛】频率分布直方图中的常见结论（1）众数的估计值为最高矩形的中点对应的横坐标；（2）平均数的估计值等于频率分布直方图中每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横坐标之和；（3）中位数的估计值的左边和右边的小矩形的面积和是相等的.22. 已知椭圆标准方程为，椭圆的左、右焦分别为、，为椭圆上的点，且.过点且斜率为的直线与椭圆交于、两点.（1）求椭圆方程；（2）若在以为直径的圆上，求直线的方程和圆的方程.【答案】（1）；（2），.【解析】【分析】（1）根据焦点坐标，结合椭圆的定义以及椭圆的性质求出的值，从而可得椭圆方程；（2）设直线方程为，与椭圆方程联立，利用韦达定理结合，求得，从而可得直线方程，利用中点坐标公式与直线方程求出圆心坐标，利用两点间距离公式求出半径，从而可得圆的方程.【详解】（1）由已知得，，∴，，所以椭圆标准方程为.（2）由已知，直线过点且斜率为 ，所以可设直线方程为，设、，联立方程组，，，因为以为直径的圆恰好经过点，∴，∴，所以，化简得，，化简得，解得或（舍去）， 直线的方程是.此时，，..∴圆的方程是.【点睛】方法点睛：求椭圆标准方程的方法一般为待定系数法,根据条件确定关于的方程组，解出，从而写出椭圆的标准方程．解决直线与椭圆的位置关系的相关问题，其常规思路是先把直线方程与椭圆方程联立，消元、化简，然后应用根与系数的关系建立方程，解决相关问题．涉及弦中点的问题常常用“点差法”解决，往往会更简单. 年级人数性别高一高二高三男生592563520女生528517a第天12345治愈新型冠状病毒肺炎人数（人）24818年级人数性别高一高二高三男生592563520女生528517a第天12345治愈的新型冠状病毒肺炎人数（人）24818
钦州市2020年秋季学期教学质量监测高二数学（理科）（考试时间：120分钟；赋分：150分）第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个备选项中，有且只有一项是符合题目要求的.（温馨提示：请在答题卡上作答，在本试卷上作答无效.）1. 下列语句能作为命题（ ）A. 3比5大 B. 太阳和月亮 C. 高二年级的学生 D. 2. 已知，，若，则等于（ ）A. 1 B. 2 C. D. 33. 命题“若，则”的否命题是（ ）A. 若，则 B. 若，则C. 若，则 D. 若，则4. 椭圆与轴的交点为，两个焦点为，，则的面积为（ ）A. 6 B. 8 C. 10 D. 125. 某班有学生56人，现将所有学生按1，2，3，…，56随机编号，若采用系统抽样的方法抽取一个容量为4的样本，抽得编号为4，，32，的学生样本，则（ ）A 64 B. 60 C. 58 D. 366. 据统计，某产品的市场销售量（万台）与广告费用投入（万元）之间的对应数据的散点图如图所示，由图可知，与之间有较强的线性相关关系，其线性回归方程是.预测广告费用投入为10万元时，估计该厂品的市场销售约为（ ） A. 6.1万台 B. 5.5万台 C. 5.2万台 D. 6万台7. 在“我爱你，中国”为主题演讲比赛中，七位评委对甲参赛选手的评分如图茎叶图所示，去掉一个最高分和一个最低分，所剩数据的方差为（ ）A. B. C. D. 8. 阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，则输出的值为（ ）A. 4 B. 8 C. 16 D. 329. 为考察、两名运动员的训练情况，下面是、两名运动员连续10天完成训练指标任务的综合得分的折线图，给出下列四个结论，其中错误的结论是（ ）A. 第3天至第10天两名运动员综合得分均超过80分；B. 第1天至第7天运动员的得分逐日提高；C. 第2天至第3天运动员的得分增量大于运动员的得分增量；D. 运动员第1天至第3天的得分方差大于第2天至第4天的得分的方差.10. 直三棱柱中，，，则与面成角的正弦值为（ ）A. B. C. D. 11. 是抛物线上一点，若点到抛物线的焦点距离为6，则抛物线的准线方程是（ ）A. B. C. D. 12. 已知双曲线，过其右焦点作轴的垂线，交双曲线于、两点，若双曲线的左焦点在以为直径的圆内，则双曲线离心率的取值范围是（ ）A. B. C. D. 第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13. 命题“，使”是真命题，则的范围是________.14. 某高中各年级男、女生人数统计如表：按年级分层抽样，若抽取该校学生80人中，高二学生有27人，则表中a＝_____．15. 长方体中，，，则异面直线与所成的角余弦值为__________.16. 明朝著名易学家来知德创立了以太极图解释一年、一日之象的图式，一年气象图将二十四节气配以太极图，说明一年之气象.他认为“万古之人事，一年之气象也，春作夏长秋收冬藏，一年不过如此”.下图是来氏太极图，其大圆半径为6，大圆内部的同心小圆半径为2，两圆之间的图案是对称的，若在大圆内随机取一点，则该点落在空白区域的概率为__________. 三、解答题：本大题共6题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. 已知命题：，命题：.(1)若为假命题，求实数的取值范围；(2)若是的充分条件，求实数的取值范围.18. 已知中，点，的坐标分别是，，动点满足.（1）求顶点轨迹方程；（2）根据（1）所求得的轨迹方程，求面积的最大值.19. 2020年新型冠状病毒肺炎疫情期间，某医院随着医疗工作的有序开展，从2020年3月1日算第一天起，该医院每日治愈的新型冠状病毒肺炎人数（人）的近5天的具体数据如下表：若在一定时间内，该医院每日治愈的新型冠状病毒肺炎病人数与天数具有相关关系，已知线性回归方程恒过定点，且，.（1）求的值和线性回归方程；（2）预测该医院3月11日能否可以实现“单日治愈人数突破40人”的目标？参考公式：，，，为样本平均值.20. 如图所示，正三棱柱内接于圆柱，，，点在轴上运动.（1）证明：不论在何处，总有；（2）当点为的中点时，求平面与平面所成的锐二面角的余弦值.21. 为了了解某工厂生产的产品情况，从该工厂生产的产品随机抽取了一个容量为200的样本，测量它们的尺寸（单位：），数据分为，，，，，，七组，其频率分布直方图如图所示. （1）根据频率分布直方图，求200件样本中尺寸在内的样本数；（2）记产品尺寸在内为等品，每件可获利6元；产品尺寸在内为不合格品，每件亏损3元；其余的为合格品，每件可获利4元.若该机器一个月共生产2000件产品.以样本的频率代替总体在各组的频率，若单月利润未能达到9000元，则需要对该工厂设备实施升级改造.试判断是否需要对该工厂设备实施升级改造.22. 已知椭圆标准方程为，椭圆的左、右焦分别为、，为椭圆上的点，且.过点且斜率为的直线与椭圆交于、两点.（1）求椭圆方程；（2）若在以为直径的圆上，求直线的方程和圆的方程.钦州市2020年秋季学期教学质量监测高二数学（理科）（解析版）（考试时间：120分钟；赋分：150分）第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个备选项中，有且只有一项是符合题目要求的.（温馨提示：请在答题卡上作答，在本试卷上作答无效.）1. 下列语句能作为命题是（ ）A. 3比5大 B. 太阳和月亮 C. 高二年级的学生 D. 【答案】A【解析】【分析】根据命题定义逐个判断.【详解】根据命题定义：能判断真假的陈述句，A正确，B、C不是陈述句，D不能判断真假.故选：A.2. 已知，，若，则等于（ ）A. 1 B. 2 C. D. 3【答案】B【解析】【分析】由条件，求的值.【详解】，，即，解得：.故选：B3. 命题“若，则”的否命题是（ ）A. 若，则 B. 若，则C. 若，则 D. 若，则【答案】B【解析】【分析】由题意，根据否命题的形式分析几科得到答案．【详解】否命题是条件和结论都否定，根据题意，命题“若，则”的否命题是“若，则”．故选：B【点睛】写一个命题的逆命题、否命题、逆否命题的关键：分清楚原命题的条件和结论，可以先将原命题改写成“若p则q”的形式（写法不一定惟一），再写出其它三种命题（大前提不变）．4. 椭圆与轴的交点为，两个焦点为，，则的面积为（ ）A. 6 B. 8 C. 10 D. 12【答案】D【解析】【分析】由椭圆的方程求出的值、以及的坐标，利用三角形的面积公式即可求解.【详解】由椭圆可得，所以，令可得，所以，所以的面积为，故选：D5. 某班有学生56人，现将所有学生按1，2，3，…，56随机编号，若采用系统抽样的方法抽取一个容量为4的样本，抽得编号为4，，32，的学生样本，则（ ）A. 64 B. 60 C. 58 D. 36【答案】A【解析】【分析】先求出样本间隔，再由样本间隔求出.【详解】因为样本容量为，所以样本的间隔为则即故选：A6. 据统计，某产品的市场销售量（万台）与广告费用投入（万元）之间的对应数据的散点图如图所示，由图可知，与之间有较强的线性相关关系，其线性回归方程是.预测广告费用投入为10万元时，估计该厂品的市场销售约为（ ） A. 6.1万台 B. 5.5万台 C. 5.2万台 D. 6万台【答案】B【解析】【分析】算出，代入，求出，即可求解.【详解】解：由题意知：，，将代入，即，解得：，即，将代入得.故选：B.7. 在“我爱你，中国”为主题的演讲比赛中，七位评委对甲参赛选手的评分如图茎叶图所示，去掉一个最高分和一个最低分，所剩数据的方差为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据茎叶图数据，去掉最低分78，最高分94，剩余数据为85，85，85，87，88，求出平均数，再求出方差．【详解】由茎叶图可知评委打出的最低分78，最高分94．其余得分为85，85，85，87，88，故平均分为，方差为．故选：C【点睛】(1) 平均数：是指在一组数据中所有数据之和再除以这组数据的个数，表示一组数据集中趋势的量数；(2) 方差：是各个数据分别与其平均数之差的平方的和的平均数，数据和其数学期望（即均值）之间的偏离程度，反映数据离散程度．8. 阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，则输出的值为（ ）A. 4 B. 8 C. 16 D. 32【答案】C【解析】分析】根据程序框图计算，判定是否成立，不成立继续循环直到条件成立输出值即可.【详解】解：第一次循环：不成立，故进行第二次循环；第二次循环：不成立，故进行第三次循环；第三次循环：成立，结束循环，输出；故选：C.9. 为考察、两名运动员的训练情况，下面是、两名运动员连续10天完成训练指标任务的综合得分的折线图，给出下列四个结论，其中错误的结论是（ ）A. 第3天至第10天两名运动员综合得分均超过80分；B. 第1天至第7天运动员的得分逐日提高；C. 第2天至第3天运动员的得分增量大于运动员的得分增量；D. 运动员第1天至第3天得分方差大于第2天至第4天的得分的方差.【答案】D【解析】【分析】根据图象，逐一分析选项，即可得答案.【详解】由图象可得，第3天至第10天两名运动员综合得分均超过80分，故A正确；由图象可得，第1天至第7天B运动员的得分逐日提高，故B正确；第2天至第3天，A运动员得分增量大于2，B运动员得分增量小于2，所以第2天至第3天A运动员的得分增量大于B运动员的得分增量，故C正确；在1天至第3天的得分统计中，A运动员最小得分78最高得分80，在第2天至第4天的得分统计中，A运动员最小得分78最高得分高于80，所以第1天至第3天方差小于第2天至第4天的方差，故D错误.故选：D10. 直三棱柱中，，，则与面成角的正弦值为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】过作,可证平面，连接,可知即为所求线面角，计算即可求解.【详解】如图，过作，连接， 在直三棱柱中，因为所以平面，故在平面上的射影为,所以为直线与平面所成的角，设，又所以故故选：A【点睛】方法点晴：求线面夹角一般有两种方法：（1）几何法：作平面的垂线，找到夹角再用三角函数求解；（2）向量法：建系用空间向量公式求解.11. 是抛物线上一点，若点到抛物线的焦点距离为6，则抛物线的准线方程是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】利用抛物线的定义求解即可．【详解】抛物线的准线方程为其上一点到抛物线的焦点距离为6，则解得，即抛物线的准线方程为故选：A12. 已知双曲线，过其右焦点作轴的垂线，交双曲线于、两点，若双曲线的左焦点在以为直径的圆内，则双曲线离心率的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】由题将代入双曲线，可求出圆半径，再根据题意可得，即可由此求出离心率.【详解】由题可得轴，将代入双曲线可得，以为直径的圆的半径为，双曲线的左焦点在以为直径的圆内，，即，即，两边除以可得，解得（舍去）或，故双曲线离心率的取值范围是.故选：D.【点睛】本题考查双曲线离心率的取值范围的求解，解题的关键是求出圆半径，根据题意得出.第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13. 命题“，使”是真命题，则的范围是________.【答案】.【解析】【分析】等价于在恒成立，即得解.【详解】命题“，使”是真命题等价于时，恒成立.所以在恒成立，所以.故答案为：【点睛】本题主要考查全称命题的真假求参数的问题的求解，意在考查学生对该知识的理解掌握水平.14. 某高中各年级男、女生人数统计如表：按年级分层抽样，若抽取该校学生80人中，高二学生有27人，则表中a＝_____．【答案】480；【解析】【分析】根据分层抽样满足每个个体被抽到的概率是相等的，建立等量关系式，求得结果.【详解】根据题意，由分层抽样方法得，解得，故答案为：.【点睛】该题考查的是有关分层抽样的问题，涉及到的知识点有分层抽样中按照成比例建立等量关系式求参数，属于基础题目.15. 长方体中，，，则异面直线与所成的角余弦值为__________.【答案】【解析】【分析】连接，因为所以或补角为异面直线与所成的角，由余弦定理求解.【详解】如图所示， 连接和因为，所以或补角为异面直线与所成的角因为，，所以，， 由余弦定理得故答案为：.【点睛】方法点晴：求线线夹角可用几何法：先平移相交找角再用三角知识求解；也可用空间向量公式求解.16. 明朝著名易学家来知德创立了以太极图解释一年、一日之象的图式，一年气象图将二十四节气配以太极图，说明一年之气象.他认为“万古之人事，一年之气象也，春作夏长秋收冬藏，一年不过如此”.下图是来氏太极图，其大圆半径为6，大圆内部的同心小圆半径为2，两圆之间的图案是对称的，若在大圆内随机取一点，则该点落在空白区域的概率为__________. 【答案】【解析】【分析】设大圆面积为，小圆面积为，并求出、，进而求得白色区域的面积，结合面积比即可求解.【详解】设大圆面积，小圆面积，则，，可得白色区域的面积为，所以落在白色区域的概率为.故答案为：.【点睛】本题主要考查了几何概型的概率的计算问题，解决此类问题的步骤：求出满足条件A的基本事件对应的“几何度量”，再求出总的基本事件对应的“几何度量”，然后根据求解，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题．三、解答题：本大题共6题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. 已知命题：，命题：.(1)若为假命题，求实数的取值范围；(2)若是的充分条件，求实数的取值范围.【答案】(1)；（2）.【解析】【分析】(1)求解一元二次不等式即可求出实数的取值范围；(2)把是的充分条件，转化为集合的包含关系，列不等式组求解．【详解】解：(1)∵为假命题，则成立，解得或，∴实数的取值范围是.(2)∵是的充分条件，又∵：，：，∴，∴.解得.∴实数的取值范围是.【点睛】结论点睛：有关充要条件类问题的判断，一般可根据如下规则判断：(1)若是的必要不充分条件，则对应集合是对应集合的真子集；(2)若是的充分不必要条件， 则对应集合是对应集合的真子集；(3)若是的充分必要条件，则对应集合与对应集合相等；(4)若是的既不充分又不必要条件，对应集合与对应集合互不包含．18. 已知中，点，的坐标分别是，，动点满足.（1）求顶点的轨迹方程；（2）根据（1）所求得的轨迹方程，求面积的最大值.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）设动点的坐标为根据，列方程化简即可；（2）因为动点的轨迹方程是以为圆心，以为半径的圆，故当的高为圆的半径时，的面积最大.【详解】解：（1）设动点的坐标为，则，，∵，所以，化简得，即动点的轨迹方程为. （2）由（1）知，动点的轨迹是以为圆心，以为半径的圆（除该圆与轴的交点之外）.因此，当高为圆的半径时，的面积最大，此时.【点睛】方法点睛：求轨迹方程的常用方法（1）直接法：如果动点满足的几何条件本身就是一些几何量，如（距离和角）的等量关系，或几何条件简单明了易于表达，只需要把这种关系转化为的等式，就能得到曲线的轨迹方程；（2）定义法：某动点的轨迹符合某一基本轨迹如直线、圆锥曲线的定义，则可根据定义设方程，求方程系数得到动点的轨迹方程；（3）几何法：若所求轨迹满足某些几何性质，如线段的垂直平分线，角平分线的性质，则可以用几何法，列出几何式，再代入点的坐标即可；（4）相关点法（代入法）：若动点满足的条件不变用等式表示，但动点是随着另一动点（称之为相关点）的运动而运动，且相关点满足的条件是明显的或是可分析的，这时我们可以用动点的坐标表示相关点的坐标，根据相关点坐标所满足的方程，求得动点的轨迹方程；（5）交轨法：在求动点轨迹时，有时会出现求两个动曲线交点的轨迹问题，这类问题常常通过解方程组得出交点（含参数）的坐标，再消去参数参数求出所求轨迹的方程.19. 2020年新型冠状病毒肺炎疫情期间，某医院随着医疗工作的有序开展，从2020年3月1日算第一天起，该医院每日治愈的新型冠状病毒肺炎人数（人）的近5天的具体数据如下表：若在一定时间内，该医院每日治愈的新型冠状病毒肺炎病人数与天数具有相关关系，已知线性回归方程恒过定点，且，.（1）求的值和线性回归方程；（2）预测该医院3月11日能否可以实现“单日治愈人数突破40人”的目标？参考公式：，，，为样本平均值.【答案】（1），；（2）能实现.【解析】【分析】（1）线性回归方程恒过定点，知故可求；根据参数公式求回归方程；（2）取代入回归方程计算结果再与40比较即可有结论.【详解】解：（1）由题意，，，∴，解得，∵，， 所以，，，所以线性回归方程.（2）在中，3月11日即，取..∵，∴该医院3月11日能实现“单日治愈人数突破40人”的目标.【点晴】关键点点晴：定点为回归方程中心点，即，，是求的关键.20. 如图所示，正三棱柱内接于圆柱，，，点在轴上运动.（1）证明：不论在何处，总有；（2）当点为的中点时，求平面与平面所成的锐二面角的余弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】【分析】（1）连接并延长，交于，通过和证明平面，即可得出.（2）以为坐标原点建立空间直角坐标系，求出平面与平面的法向量，利用向量关系即可求出.【详解】（1）证明：连接并延长，交于，∵为正三角形，为外接圆的圆心，∴，∴，又∵在圆柱中，平面，因为平面，所以，又，平面，平面，∴平面，不论在何处，总有平面，所以；（2）如图，设的中点为，由已知得，，相互垂直，以为坐标原点建立空间直角坐标系， ∵，则，为的中点，求得，∴，，，∴，， 设平面的一个法向量为，则有，即，取，解得，，得，∵面，可得平面的一个法向量为，∴，故所求锐二面角的余弦值为.【点睛】利用法向量求解空间面面角的关键在于“四破”：第一，破“建系关”，构建恰当的空间直角坐标系；第二，破“求坐标关”，准确求解相关点的坐标；第三，破“求法向量关”，求出平面的法向量；第四，破“应用公式关”.21. 为了了解某工厂生产的产品情况，从该工厂生产的产品随机抽取了一个容量为200的样本，测量它们的尺寸（单位：），数据分为，，，，，，七组，其频率分布直方图如图所示. （1）根据频率分布直方图，求200件样本中尺寸在内的样本数；（2）记产品尺寸在内为等品，每件可获利6元；产品尺寸在内为不合格品，每件亏损3元；其余的为合格品，每件可获利4元.若该机器一个月共生产2000件产品.以样本的频率代替总体在各组的频率，若单月利润未能达到9000元，则需要对该工厂设备实施升级改造.试判断是否需要对该工厂设备实施升级改造.【答案】（1）件；（2）需要对该工厂设备实施升级改造.【解析】【分析】（1）根据评论分布直方图面积之和为1列等式计算得，用200乘以内的频率即可得出答案；（2）根据题意计算等品件，不合格品有件，进而得合格品有件，根据题意计算其利润与9000比较判定需要对该工厂设备实施升级改造.【详解】解：（1）因为，解得，所以200件样本中尺寸在内的样本数为（件）.（2）由题意可得，这批产品中优等品有件，这批产品中不合格品有件， 这批产品中合格品有件，元. 所以该工厂生产的产品一个月所获得的利润为8960元，因为，所以需要对该工厂设备实施升级改造.【点睛】频率分布直方图中的常见结论（1）众数的估计值为最高矩形的中点对应的横坐标；（2）平均数的估计值等于频率分布直方图中每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横坐标之和；（3）中位数的估计值的左边和右边的小矩形的面积和是相等的.22. 已知椭圆标准方程为，椭圆的左、右焦分别为、，为椭圆上的点，且.过点且斜率为的直线与椭圆交于、两点.（1）求椭圆方程；（2）若在以为直径的圆上，求直线的方程和圆的方程.【答案】（1）；（2），.【解析】【分析】（1）根据焦点坐标，结合椭圆的定义以及椭圆的性质求出的值，从而可得椭圆方程；（2）设直线方程为，与椭圆方程联立，利用韦达定理结合，求得，从而可得直线方程，利用中点坐标公式与直线方程求出圆心坐标，利用两点间距离公式求出半径，从而可得圆的方程.【详解】（1）由已知得，，∴，，所以椭圆标准方程为.（2）由已知，直线过点且斜率为 ，所以可设直线方程为，设、，联立方程组，，，因为以为直径的圆恰好经过点，∴，∴，所以，化简得，，化简得，解得或（舍去）， 直线的方程是.此时，，..∴圆的方程是.【点睛】方法点睛：求椭圆标准方程的方法一般为待定系数法,根据条件确定关于的方程组，解出，从而写出椭圆的标准方程．解决直线与椭圆的位置关系的相关问题，其常规思路是先把直线方程与椭圆方程联立，消元、化简，然后应用根与系数的关系建立方程，解决相关问题．涉及弦中点的问题常常用“点差法”解决，往往会更简单. 年级人数性别高一高二高三男生592563520女生528517a第天12345治愈新型冠状病毒肺炎人数（人）24818年级人数性别高一高二高三男生592563520女生528517a第天12345治愈的新型冠状病毒肺炎人数（人）24818
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