2021眉山高二上学期期末考试数学（理）试题含答案

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眉山市高中2022届第三学期期末教学质量检测 数学试题卷（理工类） 2021.01数学试题卷（理工类）共4页．满分150分．考试时间120分钟．注意事项：1．答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号．2．答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上．3．所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效．4．考试结束后，将答题卡交回．一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 抛物线的准线方程为A. B. C． D．2. 棱长为2的正四面体的表面积为A. B. C. D. 3. 设l, m是两条不同的直线，是一个平面，则下列说法正确的是A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 4. 已知为实数，直线与直线垂直，则A. 0或3 B. 3 C. 0 D. 无解5．已知双曲线的实轴长是虚轴长的两倍，则它的渐近线方程为A． B． C． D．6．下列说法正确的是A．若“且”为真命题，则中至多有一个为真命题；B．命题“若，则”的否命题为“若，则”； C．命题“”的否定是“”；D．命题“若，则”的逆否命题为真命题.7．椭圆，过点的直线交椭圆于两点，且，则直线的直线方程是A． B．C． D．8．直线，“”是“圆上至少有三个点到直线的距离为1”的A．既不充分也不必要条件 B．必要不充分条件C．充分不必要条件 D．充要条件在底面是正方形的四棱柱ABCD—A1B1C1D1中，AB=1,BB1=2,∠A1AD=∠A1AB=，则A. B. C. D. 210. 椭圆的长轴为，短轴为，将坐标平面沿轴翻折成一个锐二面角，且点在平面上的射影是该椭圆的一个焦点，则此二面角的大小为A. 60° B. 45° C. 30° 以上答案均不正确11.设F1、F2是椭圆C1和双曲线C2的公共焦点，P是它们的一个公共点，且＜，线段垂直平分线经过F2,若C1和C2的离心率分别为、，则的最小值A. 2 B. 4 C. 6 D. 812. 正方体的棱长为3，点分别在棱上，且，，下列几个命题：①异面直线与垂直；②过点 的平面截正方体，截面为等腰梯形；③三棱锥的体积为 ④过点作平面，使得,则平面截正方体所得的截面面积为. 其中真命题的个数是A. 4 B. 3 C. 2 D. 1填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. 请将答案填写在答题卡相应的位置上．13. 已知满足约束条件，则目标函数的最大值为______.14. 已知等腰直角三角形ABC中，，，D为AB的中点，将它沿CD翻折，使点A与点B间的距离为，此时三棱锥C—ABD的外接球的表面积为 .15. 直线的倾斜角为锐角，且和圆及圆都相切，则直线的斜率为 .16. 实数满足，则点（）到直线的距离的取值范围是 .三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤．17．（本小题10分）点（4，4）在抛物线上，且，B为C上两点，点A与点B的横坐标之和为4．（1）求抛物线C的方程；（2）求直线AB的斜率．18．（本小题12分）ABCDFE如图：在多面体ABCDE中，平面ACD，平面ACD，，，F是CD的中点．（1）求证：平面；（2）求证：平面平面；19．（本小题12分）AB C E F G 如图，三棱台的底面是正三角形，平面平面，，．（1）求证：；（2）若，求直线与平面所成角的正弦值． 20．（本小题12分）已知直线过坐标原点，圆的方程为．（1）当直线的斜率为时，求与圆相交所得的弦长；（2）设直线与圆交于两点，且为的中点，求直线的方程．21．（本小题12分）A1ACBDD1C1B1MN已知直四棱柱的棱长均相等，且，是侧棱的中点，是棱上的点．（1）求异面直线与所成角的余弦值；（2）若二面角的大小为，试确定点的位置．22．（本小题12分）已知点，，动点满足直线与的斜率之积为−.记M的轨迹为曲线.（1）求曲线的方程（2）过点作斜率不为0的直线与曲线交于两点.①求证：； ②求的最大值.眉山市高中2022届第三学期期末教学质量检测 数学（理科）参考答案 2021.01一、选择题二、填空题13．28 14．12 15． 16．三、解答题17．解：（1）因为点（4，4）在抛物线上，代入得：16＝2p×4⇒p＝2， ……………………3分所以抛物线C的方程为x2＝4y …………………………4分设，且x1+x2＝4， 设直线，， …………………………6分， …………………………………………………………………8分， …………………………………………………………………9分故直线AB的斜率为1． ………………………………………………………………10分18．解：（1）证明：取CE的中点M，连结MF，MB，∵F是CD的中点 ∴MF∥DE且MF＝DE ………………………………1分∵AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD∴AB∥DE，MF∥AB ∵AB＝DE∴MF＝AB ………………………………3分∴四边形ABMF是平行四边形AF∥BM，AF⊄平面BCE，BM⊆平面BCE ∴AF∥平面BCE ………………6分（没有写AF⊄平面BCE，扣1分）证明：∵AC＝AD ∴AF⊥CD，又∵DE⊥平面ACD AF⊆平面ACD∴AF⊥DE，又CD∩DE＝D ∴AF⊥平面CDE …………………………9分又∵BM∥AF，∴BM⊥平面CDE∵BM⊄平面BCE ∴平面BCE⊥平面CDE ………………………………………12分（没有写CD∩DE＝D，扣1分） 19．证明：（Ⅰ）取BC的中点为D，连结DF．由ABC﹣EFG是三棱台得，平面ABC∥平面EFG，从而BC∥FG．∵CB＝2GF，∴，∴四边形CDFG为平行四边形，∴CG∥DF．∵BF＝CF，D为BC的中点，∴DF⊥BC，∴CG⊥BC．∵平面ABC⊥平面BCGF，且交线为BC，CG⊂平面BCGF，∴CG⊥平面ABC，而AB⊂平面ABC，∴CG⊥AB．……6分（Ⅱ）连结AD．由△ABC是正三角形，且D为中点得，AD⊥BC．由（Ⅰ）知，CG⊥平面ABC，CG∥DF，∴DF⊥AD，DF⊥BC，∴DB，DF，DA两两垂直．以DB，DF，DA分别为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系D﹣xyz．设BC＝2，则A（0，0，），E（，，），B（1，0，0），G（，，0），∴（，，），，，0，，，．设平面BEG的一个法向量为（，，）.由可得，．令，则y＝2，z＝﹣1，∴，2，．设AE与平面BEG所成角为è，则直线AE与平面BEG所成角的正弦值为． ……12分20．解（1）由已知，直线l的方程为，圆C圆心为（0，3），半径为， 所以，圆心到直线l的距离为．所以，所求弦长为． ……6分（2）法1： 设A（x，y1），因为A为OB的中点，则B（，）．又A，B在圆C上，所以，． ………………8分解得，， 即A（1，1）或A（，1） …………………………10分所以，直线l的方程为或． ……………………………………………………12分法2：法2：①当直线的斜率不存在，即为时，,不合题意。②当直线的斜率存在时，设为，，， ………………7分 ……………………………………………8分 为的中点， ………………………………………9分 由（1）（2）（3）可得，即 ……………………………………10分 所以，直线l的方程为或． ………………………………………………12分21．解：（1）连结BD，取AB的中点E，∵直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的棱长均相等，∴底面ABCD是菱形，∵∠BAD＝60°，∴△ABD是正三角形，∴DE⊥AB，∵AB∥DC，∴DE⊥DC，∵直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，DD1⊥平面ABCD，∴DD1⊥DC，DD1⊥DE，分别以直线DE，DC，DD1为x，y，z轴，建立空间直角坐标系， ………………1分 设直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的棱长均为2，则D（0，0，0），A（，﹣1，0），B（，1，0），C（0，2，0），D1（0，0，2），M（0，0，1）， ………………………………………………2分 ∴（，﹣1，2），（，1，1）， ………………………………3分 设异面直线BD1与AM所成角为，则＝， …………………………………5分∴异面直线BD1与AM所成角的余弦值为． ………………………………6分（2）由（1）知＝（，3，0），＝（，1，1），设平面AMC的法向量＝（x，y，z），则，取y＝1，得＝（，1，2）， ………………………8分设N（0，ë，2），0≤ë≤2，则＝（0，ë﹣2，2），设平面ACN的法向量＝（a，b，c），则，取b＝1，得＝（，1，）， ………10分∵二面角M﹣AC﹣N的大小为，∴cos＝＝＝，解得ë＝2，∴当二面角M﹣AC﹣N的大小为，点N与点C1重合． …………………………12分22.解：（1）由题设得，化简得 ………………3分设直线的方程为，， ……………………4分 ， ………………………………………………7分（3）法1：直线的方程为，所以点的纵坐标，所以=,同理可得= ………………………………8分·， …………………………………9分令所以·， …………10分由双勾函数单调性可知，当时， ·有最大值 …………………12分法（2）接第二问，由等面积法得：， … ……………………10分令 ，所以·，由双勾函数单调性可知，时，·有最大值 ……………………12分题号123456789101112答案BDCACBADACDB