2021鹤壁高级中学高二上学期尖子生联赛调研二数学（文）试题含答案

这是一份2021鹤壁高级中学高二上学期尖子生联赛调研二数学（文）试题含答案，共14页。试卷主要包含了选修1-1；考试时间等内容，欢迎下载使用。
鹤壁高中高二年级尖子生联赛调研二
文数试卷
考试范围：必修五、选修1-1；考试时间：120分钟；
一．选择题（共12小题，每题5分）
1．∀x∈(0，π2)，x≤sinx的否定是（　　）
A．∃x∉(0，π2)，x≤sinx B．∃x∈(0，π2)，x＞sinx
C．∀x∉(0，π2)，x＞sinx D．∀x∈(0，π2)，x≤sinx
2．已知a＜0＜b＜1，那么下列不等式成立的是（　　）
A．a＞ab＞ab2 B．ab＞ab2＞a C．ab＞a＞ab2 D．ab2＞ab＞a
3．已知命题p：若a＞1，b＞c＞1，则logba＜logca；命题q：∃x0（0，+∞），使得2x0＜log3x0”，则以下命题为真命题的是（　　）
A．p∧q B．p∧（￢q） C．（￢p）∧q D．（￢p）∧（￢q）
4．若点（x，y）在不等式组x+y-1≥0x-y-1≤0x-3y+3≥0表示的平面区域内，则实数z=2y-1x+1的取值范围是（　　）
A．[﹣1，1] B．[﹣2，1] C．[-12，1] D．[﹣1，12]
5．已知F1，F2是椭圆x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的左、右焦点，若满足MF1→⋅MF2→=0的点M总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是（　　）
A．（0，22） B．（22，1） C．（0，32） D．（32，1）
6．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若b=2，c=26，C=3π4，则△ABC的面积为（　　）
A．2 B．22 C．3 D．32
7．数列{an}满足an2n=2n+1-1n（n∈N+），则它的前9项和S9＝（　　）
A．2105+2 B．2105-2 C．295+2 D．295-2
8．某船在小岛A的南偏东75°，相距20千米的B处，该船沿东北方向行驶20千米到达C处，则此时该船与小岛A之间的距离为（　　）
A．10(6-2)千米 B．10(6+2)千米
C．20千米 D．203千米
9．已知抛物线C：x2＝12y上一点P，直线l：y＝﹣3，过点P作PA⊥l，垂足为A，圆M：（x﹣4）2+y2＝1上有一动点N，则|PA|+|PN|最小值为（　　）
A．2 B．4 C．6 D．8
10．设函数f（x）＝6x2•ex﹣3ax+2a（e为自然对数的底数），当x∈R时f（x）≥0恒成立，则实数a的最大值为（　　）
A．e B．2e C．4e D．6e
11．已知点A（0，1），而且F1是椭圆x29+y25=1的左焦点，点P是该椭圆上任意一点，则|PF1|+|PA|的最小值为（　　）
A．6-5 B．6-2 C．6+2 D．6+5
12．设函数f（x）＝ex（2x﹣1）﹣mx+m，其中m＜1，若有且仅有两个不同的整数n，使得f（n）＜0，则m的取值范围是（　　）
A．[53e2，32e） B．[-32e，34） C．[32e，34） D．[53e2，1）
二．填空题（共4小题，每题5分）
13．若x＝﹣2是函数f（x）＝（x2+ax﹣1）ex﹣1的极值点，则f（x）的极小值为　 　．
14．若正数x，y满足x+5y＝3xy，则5x+y的最小值是　 　．
15．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，∠ABC＝120°，∠ABC的平分线交AC于点D，且BD＝1，则9a+c的最小值为　 　．

16．已知F1，F2是双曲线E：x2a2-y2b2=1(a＞0，b＞0)的左、右焦点，过点F1的直线l与双曲线E的左支交于P，Q两点，若|PF1|＝2|F1Q|，且F2Q⊥PQ，则E的离心率是　 　．
三．解答题（共6小题）
17．（10分）已知p：∃x∈[0，+∞），ex﹣1≤m；q：函数y＝x2﹣2mx+1有两个零点．
（1）若p∨q为假命题，求实数m的取值范围；
（2）若p∨q为真命题，p∧q为假命题，求实数m的取值范围．




18．（12分）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，（sinB﹣sinC）2＝sin2A﹣sinBsinC．
（1）求A；
（2）若△ABC为锐角三角形，且a=3，求b2+c2+bc取值范围．




19．（12分）已知抛物线C：y2＝3x的焦点为F，斜率为32的直线l与C的交点为A，B，与x轴的交点为P．
（1）若|AF|+|BF|＝4，求l的方程；
（2）若AP→=3PB→，求|AB|．
20．（12分）已知数列{an}的前n项和为Sn，满足Sn＝2an﹣n，n∈N*．
（1）求证：数列{an+1}为等比数列；
（2）设bn=an+1anan+1，记数列{bn}的前n项和为Tn，求满足不等式Tn≥3031的最小正整数n的值．




21．（12分）某公园有一矩形空地ABCD，AB＝2，AD=3，市政部门欲在该空地上建造一花圃，其形状是以H为直角顶点的Rt△HEF，其中H是AB的中点，E，F分别落在线段BC和线段AD上（如图）．
（1）记∠BHE为θ，Rt△EHF的周长为l，求l关于θ的函数关系式；
（2）如何设计才能使Rt△EHF的周长最小？








22．（12分）已知函数f（x）＝alnx+（x+1）2（a≠0，x＞0）．
（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）对于任意x∈[1，+∞）均有f（x）-x2a≤0恒成立，求a的取值范围．

鹤壁高中高二年级尖子生联赛调研二
文数答案
一． 选择题 BDBCA ADDBD AA
二． 填空题 -1 12 16
1．【解答】解：命题为全称命题，则命题的否定∃x∈(0，π2)，x＞sinx，故选：B．
2．【解答】解：根据a＜0＜b＜1，取a＝﹣2，b=12，则可 排除ABC．故选：D．
3．【解答】解logba=1logab，logaa=1logac，因为a＞1，b＞c＞1，所以0＜logac＜logab，
所以1logac＞1logab，即命题p为真命题；
画出函数y＝2x和y＝log3x图象，知命题q为假命题．故选：B．
4．【解答】解：根据约束条件画出可行域，
则实数z=2y-1x+1=2•y-12x+1表示可行域内点Q和点P（﹣1，12）连线的斜率的最值的2倍，
当Q点在原点C时，直线PC的斜率为12，当Q点在可行域内的点B处时，直线PQ的斜率为-14，
结合直线PQ的位置可得，当点Q在可行域内运动时，其斜率的取值范围是：[-12，1]．故选：C．
5．【解答】解：F1，F2是椭圆x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的左、右焦点，若满足MF1→⋅MF2→=0的点M总在椭圆内部，
可得b＞c，即b2＞c2，所以a2＞2c2，所以e=ca＜22，
所以椭圆离心率的取值范围：（0，22）．故选：A．
6．【解答】解：∵b=2，c=26，C=3π4，
∴由余弦定理c2＝a2+b2﹣2abcosC，可得：26＝a2+2﹣2a×2×（-22），即a2+2a﹣24＝0，
∴解得a＝4，（负值舍去），
∴S△ABC=12absinC=12×4×2×sin3π4=2．
故选：A．
7．【解答】解：数列{an}满足an2n=2n+1-1n，可得an=2n+1n+1-2nn，
它的前9项和S9=222-211+233-222+244-233+⋯+21010-299=295-2．故选：D．
8．【解答】解：如图所示，
∠ABC＝75°+45°＝120°，且AB＝BC＝20，
所以AC2＝AB2+BC2﹣2AB•BC•cos∠ABC＝400+400﹣2×20×20×（-12）＝1200，所以AC＝203，
即该船与小岛A之间的距离为203千米．故选：D．
9．【解答】解：由抛物线方程可得：焦点F（0，3），直线l是准线方程，
由抛物线定义可得|PA|＝|PF|，
又由圆的方程可得：圆心为M（4，0），半径R＝1，
根据两点间距离，线段最短如图：
可得：（|PA|+|PN|）min＝|FM|﹣R=(0-4)2+(3-0)2-1=5-1=4，故选：B．
10．【解答】解：f（x）＝6x2•ex﹣3ax+2a（e为自然对数的底数），当x∈R时f（x）≥0恒成立，
∴a（3x﹣2）≤6x2•ex，
当3x﹣2＞0时，即x＞23时，a≤6x2⋅ex3x-2，设g（x）=6x2⋅ex3x-2，x＞23，
∴g′（x）＝6×(2xex+x2ex)(3x-2)-3x2ex(3x-2)2=6×xex(3x2+x-4)(3x-2)2=6xex•(3x+4)(x-1)(3x-2)2，
令g′（x）＝0，解得x＝1，
∴当x∈（23，1）时，g′（x）＜0，函数g（x）单调递减，
当x∈（1，+∞）时，g′（x）＞0，函数g（x）单调递增，
∴g（x）min＝g（1）＝6e，∴a≤6e，
当3x﹣2＜0时，即x＜23时，a≥6x2⋅ex3x-2，由g′（x）＝6xex•(3x+4)(x-1)(3x-2)2，
令g′（x）＝0，解得x＝0或x=-43，
当-43＜x＜0时，g′（x）＞0，函数g（x）单调性递增，
当x＜-43或0＜x＜23时，g′（x）＜0，函数g（x）单调递减，
∴g（x）max＝g（0）＝0，∴a≥0，
当x=23时，f（23）=83e23＞0恒成立，综上所述a的取值范围为[0，6e]，故最大值为6e，故选：D．
11．【解答】解：由椭圆x29+y25=1，得a2＝9，b2＝5，
∴c=a2-b2=2，则F1（﹣2，0），又A（0，1），
∵|PF1|+|PF2|＝2a＝6，∴|PF1|＝6﹣|PF2|，∴|PF1|+|PA|＝6﹣|PF2|+|PA|＝6+（|PA|﹣|PF2|），
|PA|﹣|PF2|的最小值为﹣|AF2|=-5，此时，|PF1|+|PA|也得到最小值，其值为6-5．故选：A．
12．【解答】解：如图示：
函数f（x）＝ex（2x﹣1）﹣mx+m，其中m＜1，
设g（x）＝ex（2x﹣1），y＝mx﹣m，
∵存在两个整数x1，x2，使得f（x1），f（x2）都小于0，
∴存在两个整数x1，x2，使得g（x）在直线y＝mx﹣m的下方，
∵g′（x）＝ex（2x+1），∴当x＜-12时，g′（x）＜0，
∴当x=-12时，[g（x）]min＝g（-12）＝﹣2e-12，
当x＝0时，g（0）＝﹣1，g（1）＝e＞0，
直线y＝mx﹣m恒过（1，0），斜率为m，故﹣m＞g（0）＝﹣1，
且g（﹣1）＝﹣3e﹣1＜﹣m﹣m，解得m＜32e，g（﹣2）≥﹣2m﹣m，解得a≥53e2，
∴m的取值范围是：[53e2，32e），故选：A．
13．【解答】解：函数f（x）＝（x2+ax﹣1）ex﹣1，可得f′（x）＝（2x+a）ex﹣1+（x2+ax﹣1）ex﹣1，
x＝﹣2是函数f（x）＝（x2+ax﹣1）ex﹣1的极值点，
可得：f′（﹣2）＝（﹣4+a）e﹣3+（4﹣2a﹣1）e﹣3＝0，即﹣4+a+（3﹣2a）＝0．解得a＝﹣1．
可得f′（x）＝（2x﹣1）ex﹣1+（x2﹣x﹣1）ex﹣1，
＝（x2+x﹣2）ex﹣1，函数的极值点为：x＝﹣2，x＝1，
当x＜﹣2或x＞1时，f′（x）＞0函数是增函数，x∈（﹣2，1）时，函数是减函数，
x＝1时，函数取得极小值：f（1）＝（12﹣1﹣1）e1﹣1＝﹣1．故选：A．
14．【解答】解：正数x，y满足x+5y＝3xy，则1y+5x=3，
∴5x+y=13（5x+y）（1y+5x）=13（25+1+5xy+5yx）≥13（26+25xy⋅5yx）＝12，
当且仅当x＝y＝2时取等号，故5x+y的最小值是12，故答案为：12
15．【解答】解：S△ABC＝S△ABD+S△BCD，所以12ac•sin120°=12c•1•sin60°+12a•1•sin60°，可得1a+1c=1．
所以9a+c＝（9a+c）×（1a+1c）＝10+9ac+ca≥16，（当且仅当a=43，c＝4时取等号）．答案为：16．
16．【解答】解：若|PF1|＝2|F1Q|，且F2Q⊥PQ，可设|F1Q|＝m，可得|PF1|＝2m，
由双曲线定义可得|PF2|﹣|PF1|＝2a，|QF2|﹣|QF1|＝2a，即有|PF2|＝2a+2m，
|QF2|＝m+2a，在直角三角形PQF2中，可得|PQ|2+|QF2|2＝|PF2|2，
即为（3m）2+（m+2a）2＝（2a+2m）2，化简可得2a＝3m，即m=23a，
再由直角三角形F1QF2中，可得|F2Q|2+|QF1|2＝|F1F2|2，即为（2a+m）2+m2＝（2c）2，
即为649a2+49a2＝4c2，即179a2＝c2，由e=ca=173．故答案为：173．
三．解答题（共6小题）
17．【解答】解：p：∃x∈[0，+∞），ex﹣1≤m；若p为真，则：m≥0 （2分）
若q为真，则△＝4m2﹣4＞0，m＞1或 m＜﹣1． （4分）
（1）若p∨q为假命题，则p，q均为假命题，
则m＜0-1＜m＜1，所以实数m的取值范围为[﹣1，0）． （7分）
（2）若p∨q为真命题，p∧q为假命题，则p，q一真一假．
若p真q假，则实数m满足m≥0-1≤m≤1，即0≤m≤1；
若p假q真，则实数m满足m＜0m＞1或m＜-1，即m＜﹣1．
综上所述，实数m的取值范围为（﹣∞，﹣1）∪[0，1]． （10分）
18．【解答】解：（1）∵（sinB﹣sinC）2＝sin2A﹣sinBsinC．
∴sin2B+sin2C﹣sin2A＝sinBsinC，∴b2+c2﹣a2＝bc．
由余弦定理，得cosA=b2+c2-a22bc=12．
∵0°＜A＜180°，∴A＝60°． （4分）
（2）由正弦定理，有asinA=bsinB=csinC=332=2，
∴b＝2sinB，c＝2sinC，
∴b2+c2+bc＝a2+2bc＝3+2bc＝8sinBsinC+3
=8sinBsin(π3+B)+3=23sin2B-2cos2B+5
=4sin(2B-π6)+5． （8分）
∴0＜B＜π20＜2π3-B＜π2，∴π6＜B＜π2，
∴π6＜2B-π6＜5π6，∴12＜sin(2B-π6)≤1，
∴b2+c2+bc∈（7，9]． （12分）
19．解：（1）设直线l的方程为y=32（x﹣t），将其代入抛物线y2＝3x得：94x2﹣（92t+3）x+94t2＝0，
设A（x1，y1），B（x2，y2），
则x1+x2=92t+394=2t+43，①，x1x2＝t2②，
由抛物线的定义可得：|AF|+|BF|＝x1+x2+p＝2t+43+32=4，解得t=712，
直线l的方程为y=32x-78． （6分）
（2）若AP→=3PB→，则y1＝﹣3y2，∴32（x1﹣t）＝﹣3×32（x2﹣t），化简得x1＝﹣3x2+4t，③
由①②③解得t＝1，x1＝3，x2=13，
∴|AB|=1+94(3+13)2-4=4133． （12分）
20．【解答】解：（1）证明：因为Sn＝2an﹣n，故Sn+1＝2an+1﹣n﹣1，
两式相减可得an+1＝2an+1﹣n﹣1﹣2an﹣n，即an+1＝2an+1，
所以an+1+1＝2（an+1）， （3分）
由n＝1时，a1＝S1＝2a1﹣1，即有a1＝1，a1+1＝2， （2分）
所以an+1+1an+1=2，为定值，
所以数列{an+1}为首项和公比均为2的等比数列； （6分）
（2）由（1）可得an+1＝2n，an＝2n﹣1，
所以bn=an+1anan+1=2n(2n-1)(2n+1-1)=12n-1-12n+1-1， （8分）
Tn＝（12-1-122-1）+（122-1-123-1）+…+（12n-1-12n+1-1）＝1-12n+1-1，（10分）
因为Tn≥3031，即1-12n+1-1≥3031，
解得n≥4，n∈N*，
所以满足不等式Tn≥3031的最小正整数n的值为4． （12分）
21．解：（1）∵E在BC上，F在AD上，
∴当F与D重合时，θ取最小值π6；当E与C重合时，θ取最大值π3，∴π6≤θ≤π3．
在Rt△HBE中有HE=1cosθ，在Rt△HAF中有HF=AHcos∠AHF=1cos(π2-θ)=1sinθ．
在Rt△HEF中有FE=HE2+HF2=1sinθ⋅cosθ，
∴Rt△EHF的周长l=1sinθ+1cosθ+1sinθ⋅cosθ=sinθ+cosθ+1sinθ⋅cosθ(π6≤θ≤π3)．（6分）
（2）由（1）可设sinθ+cosθ＝t，则sinθ⋅cosθ=12(t2-1)，其中t=2sin(θ+π4)．
∵π6≤θ≤π3，∴5π12≤θ+π4≤7π12，∵sin5π12=sin7π12=sin(π4+π3)=2+64，
∴6+24≤sin(θ+π4)≤1，∴3+12≤t≤2．
显然l=t+112(t2-1)=2t-1在[3+12，2]上单调递减，（10分）
∴当t=2时，Rt△HEF的周长l最小，
此时θ=π4，AF＝BE＝1． （12分）
22．解：（Ⅰ）f（x）＝alnx+（x+1）2（x＞0，a≠0），
所以f′（x）=2x2+2x+ax（x＞0，a≠0），
若a≥0时，f′（x）＞0，f（x）在（0，+∞）上单调递增，
若a＜0时，令f′（x）＝0，得x=-1+1-2a2或-1-1-2a2（舍去），
所以此时f（x）在（0，-1+1-2a2）单调递减，
在（-1+1-2a2，+∞）上单调递增，
所以当a≥0时，f（x）在（0，+∞）上单调递增，（2分）
当a＜0时，f（x）在（0，-1+1-2a2）单调递减，在（-1+1-2a2，+∞）上单调递增．（4分）
（Ⅱ）取x＝1代入不等式f（x）-x2a≤0，得0＜a≤14．（6分）
下证当0＜a≤14时，不等式f（x）-x2a≤0恒成立，
即当0＜a≤14时，不等式alnx+（x+1）2-x2a≤0恒成立，
设h（a）＝alnx+（x+1）2-x2a（0＜a≤14），则h′（a）＝lnx+x2a2＞0，（8分）
所以h（a）≤h（14）=14lnx+（x+1）2﹣4x2， （10分）
设g（x）=14lnx+（x+1）2﹣4x2（x≥1）
所以g′（x）=-24x2+8x+14x＜0，所以g（x）≤g（1）＝0，（11分）
故0＜a≤14时，不等式alnx+（x+1）2-x2a≤0恒成立． （12分）