2021宁波诺丁汉大学附中高二10月月考数学（实验班）试题含答案

这是一份2021宁波诺丁汉大学附中高二10月月考数学（实验班）试题含答案
宁诺附中2020-2021学年度第一学期实验班十月考高二数学试卷答卷时长：120分钟 满分：150分 参考公式：一、选择题（每小题4分，共40分） AUTONUM \* Arabic \* MERGEFORMAT .在下列命题中，不是公理的是(　)A．平行于同一个平面的两个平面相互平行B．过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面C．如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在此平面内D．如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线 AUTONUM \* Arabic \* MERGEFORMAT .直线与垂直，又垂直于平面，则与的位置关系是( )A. B. C. D.或 AUTONUM \* Arabic \* MERGEFORMAT .已知空间中不过同一点的三条直线．“共面”是“两两相交”的( )A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 AUTONUM \* Arabic \* MERGEFORMAT .与向量共线的单位向量是（ ）A.和； B.；C. 和； D.； AUTONUM \* Arabic \* MERGEFORMAT .若是两条不同的直线，垂直于平面，则“”是“”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 AUTONUM \* Arabic \* MERGEFORMAT .设,为两个平面，则的充要条件是( )A. 内有无数条直线与平行 B. 内有两条相交直线与平行C. ，平行于同一条直线 D．，垂直于同一平面 AUTONUM \* Arabic \* MERGEFORMAT .已知空间四边形，其对角线为、，、分别是边、的中点，点在线段上，且使，用向量表示向量是（ ） A.； B.； C. D. AUTONUM \* Arabic \* MERGEFORMAT .在棱长为的正四面体中，分别是, 的中点，则（ ） A． 0 B． C． D．  AUTONUM \* Arabic \* MERGEFORMAT .已知为平面的法向量，点在平面内，则点到平面的距离是（ ） A. B. C. D.  AUTONUM \* Arabic \* MERGEFORMAT .如图，正方体的棱长为1，线段上有两个点，且，则下列结论中错误的是（ ）A. B.平面 C.棱锥体积为定值 D.与面积相等二、填空题（单空题每小题4分，多空题每小题6分,共36分） AUTONUM \* Arabic \* MERGEFORMAT .某三棱柱的底面为正三角形，其三视图如图所示，该三棱柱的体积为 ; 表面积为  AUTONUM \* Arabic \* MERGEFORMAT .已知，,如果,则 ; 如果，则 。 AUTONUM \* Arabic \* MERGEFORMAT .如图，点为正方形的中心，为正三角形，平面⊥平面，是线段的中点，则（用“>, ；相交 （14） ； （15） （16） （17）2三、解答题18、（14分） (1)证明　因为O，M分别为AB，VA的中点，所以OM∥VB， 又因为VB⊄平面MOC，所以VB∥平面MOC.(2)证明　因为AC＝BC，O为AB的中点，所以OC⊥AB. 又因为平面VAB⊥平面ABC，且OC⊂平面ABC，所以OC⊥平面VAB. 又OC⊂平面MOC，所以平面MOC⊥平面VAB.19、（15分） 证明：（1）在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，AB∥A1B1．因为AB平面A1B1C，A1B1平面A1B1C，所以AB∥平面A1B1C．(2)在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,四边形ABB1A1为平行四边形．又因为AA1=AB，所以四边形ABB1A1为菱形，因此AB1⊥A1B．又因为AB1⊥B1C1，BC∥B1C1，所以AB1⊥BC．又因为A1B∩BC=B，A1B平面A1BC，BC平面A1BC， 所以AB1⊥平面A1BC．因为AB1平面ABB1A1， 所以平面ABB1A1⊥平面A1BC．20、（15分） 证明：(Ⅰ)作AD的中点O,则VO⊥底面ABCD．建立如图空间直角坐标系，并设正方形边长为1,则,,,,，∴由 又AB∩AV=A∴AB⊥平面VAD（Ⅱ）由（Ⅰ）得是面VAD的法向量，设是面VDB的法向量，则∴， 又由题意知其余弦值为。21、（15分)【解】依题意，以为原点，分别以的方向为轴，建系如图，得，．（1）证明：依题意，，，从而，所以．（2）解：依题意，是平面的一个法向量，，．设为平面的法向量，则即取．因此有，所求二面角余弦值为．（3）解：依题意，．由（Ⅱ）知为平面的一个法向量，于是．所以，与平面所成角的正弦值为． 22.（15分）解：(1)证明　如图，取A1B的中点D，连接AD，因AA1＝AB，则AD⊥A1B，由平面A1BC⊥侧面A1ABB1，且平面A1BC∩侧面A1ABB1＝A1B，得AD⊥平面A1BC，又BC⊂平面A1BC，所以AD⊥BC.因为三棱柱ABC—A1B1C1是直三棱柱，则AA1⊥底面ABC，所以AA1⊥BC.又AA1∩AD＝A，从而BC⊥侧面A1ABB1，又AB⊂侧面A1ABB1，故AB⊥BC. (2)解　由(1)知AB⊥BC且BB1⊥底面ABC，以点B为原点，建立空间直角坐标系Bxyz如图，设BC＝a (a>0)，则A(0,2,0)，B(0,0,0)，C(a,0,0)，A1(0,2,2)，eq \o(BC,\s\up6(→))＝(a,0,0)，eq \o(BA1,\s\up6(→))＝(0,2,2)，eq \o(AC,\s\up6(→))＝(a,－2,0)，eq \o(AA1,\s\up6(→))＝(0,0,2)，设面A1BC一个法向量n1＝(x,y,z)，由eq \o(BC,\s\up6(→))⊥n1，eq \o(BA1,\s\up6(→))⊥n1得：eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(xa＝0，,2y＋2z＝0，))取n1＝(0,1,-1)，设直线AC与平面A1BC所成的角为θ，则θ＝eq \f(π,6)，∴sineq \f(π,6)＝eq \f(|\o(AC,\s\up6(→))·n1|,|\o(AC,\s\up6(→))||n1|)＝eq \f(|－2|,\r(4＋a2)·\r(2))＝eq \f(1,2)，得a＝2，即eq \o(AC,\s\up6(→))＝(2,- 2,0)，设平面A1AC的一个法向量为n2，同理得n2＝(1,1,0)，设锐二面角A—A1C—B的大小为α，则cosα＝cos〈n1，n2〉＝eq \f(n1·n2,|n1||n2|)＝eq \f(1,2)，且α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，得α＝eq \f(π,3)，∴锐二面角A—A1C—B的大小为eq \f(π,3).