2021四川省威远中学高二上学期第一次月考数学（理）试题含答案

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威远中学高2019级高二第一学期第一次月考数学试题一、单选题1．下列说法正确的是（ ）A．侧棱垂直于底面的棱柱一定是直棱柱B．棱柱中两个互相平行的平面一定是棱柱的底面C．棱柱中各条棱长都相等D．棱柱的侧面是平行四边形，但它的底面一定不是平行四边形2．用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图为如图所示的直角梯形，其中，则平面图形的面积为（ ）A． B． C． D．3．已知直线和平面，那么能得出//的一个条件是（ ）A．存在一条直线，//且 B．存在一条直线，//且C．存在一个平面，且// D．存在一个平面，//且//4．圆锥的轴截面是边长为的正三角形，则圆锥的表面积为（ ）A． B． C． D．5．如图，已知正方体中，异面直线与所成的角的大小是　　A． B． C． D．6．已知三棱锥的四个顶点在球的球面上，，且两两垂直，是边长为的正三角形，则球的体积为（ ）A． B． C． D．7．已知一几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）A． B． C． D．8．若和围成的封闭平面图形绕轴旋转一周，则所得体积与绕轴旋转一周所得体积之比是（ ）．A． B．C． D．9．一个几何体的三视图如图所示，若这个几何体的体积为，则该几何体的外接球的表面积为（ ）A．36π B．64π C．81π D．100π10．如图，一个无盖圆台形容器的上、下底面半径分别为和，高为，AD，BC是圆台的两条母线（四边形是经过轴的截面）．一只蚂蚁从A处沿容器侧面（含边沿线）爬到C处，最短路程等于（　 ）A． B． C． D．11．已知正四面体的表面积为，为棱的中点，球为该正四面体的外接球，则过点的平面被球所截得的截面面积的最小值为（ ）A． B． C． D．12．已知A，B，C三点都在表面积为的球的表面上，若，，则球内的三棱锥的体积的最大值为（ ）A． B． C． D．第II卷（非选择题）二、填空题13．如图所示正方形O'A'B'C'的边长为2cm，它是一个水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的面积是______．14．已知一个正三棱台的两个底面的边长分别为，，棱台的高为4，则它的侧面积为_______15．已知正三棱柱木块，其中，，一只蚂蚁自点出发经过线段上的一点到达点，当沿蚂蚁走过的最短路径，截开木块时，两部分几何体的体积比为______.16．如图，四棱锥中，，矩形的周长为8，当三棱锥的体积最大时，该三棱锥的外接球半径与内切球半径分别为和，则的值为______.三、解答题17．如图所示（单位：cm），四边形是直角梯形，求图中阴影部分绕所在直线旋转一周所成几何体的表面积.18．在四面体中，点，，分别是，，的中点，且，.（1）求证：平面；（2）求异面直线与所成的角.19．如图，正方体中，，，分别在棱，，上，且，相交于点.（1）求证：，，三线共点.（2）若正方体的棱长为2，且，分别是线段，的中点，求三棱锥的体积.20．如图，在直三棱柱ABC-­A1B1C1中，AB＝AC＝5，BB1＝BC＝6，D，E分别是AA1和B1C的中点．（1）求证：DE∥平面ABC；（2）求三棱锥E­-BCD的体积．21．如图，四边形为正方形，平面，，点，分别为，的中点．（Ⅰ）证明：平面； （Ⅱ）求点到平面的距离．22．如图所示，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为正方形，侧棱PA⊥底面ABCD(PA垂直于底面ABCD所有直线),PA=AD=2,E、F分别为PD、AC上的动点，且DEDP=AFAC=λ,(0<λ<1)．（1）若λ=12，求证：EF∥平面PAB；（2）求三棱锥E-FCD体积最大值．威远中学高2019级高二第一学期第一次月考数学理科参考答案1．A 2．C 3．C 4．C 5．C 6．C 7．D 8．A 9．C 10．C 11．B 12.C11.【详解】如图所示，将正四面体放入正方体中，则正方体的中心即为其外接球的球心，因为正四面体的表面积为，所以，因为是正三角形，所以，，设正方体的边长为，则：，解得：所以正四面体的外接球直径为，设过点的截面圆半径为，球心到截面圆的距离为，正四面体的外接球半径为，由截面圆的性质可得：当最大时，最小，此时对应截面圆的面积最小.又，所以的最大值为，此时最小为所以过点的最小截面圆的面积为，故选B．12．如图，由球的表面积为，得球的半径，∵，，∴，，三点所在圆的半径为，所以球心到平面的距离，在中，由余弦定理得，即，则，∴球内的三棱锥的体积的最大值为.故选：C.13． 14． 15． 16．15.【详解】将正三棱柱沿棱展开成平面，连接与的交点即为满足最小时的点.由于，，再结合棱柱的性质，可得，一只蚂蚁自点出发经过线段上的一点到达点，当沿蚂蚁走过的最短路径，为的中点，因为三棱柱是正三棱柱，所以当沿蚂蚁走过的最短路径，截开木块时，两部分几何体的体积比为：.故答案为：.16．【详解】不妨设，要使得棱锥体积最大，则三角形面积最大且底面.由题可知，且，故，当且仅当时取得最值.综上所述：要满足题意，则需平面，且.在长宽高分别为的长方体中截取满足题意的棱锥，如下图所示：故该三棱锥外接球半径和长方体外接球半径相等，即.设三棱锥的内切球球心为，内切球半径为，则容易知，即则，解得，故.故答案为：.17．旋转体为一个圆台挖去一个半球形成的几何体.，，，即该几何体的表面积为.18．【详解】（1）由题意，点，分别是，的中点，所以，因为平面，平面，所以平面；（2）由（1）知，因为点，分别是，的中点，可得，所以即为异面直线与所成的角（或其补角）.在中，，所以为等边三角形，所以，即异面直线与所成的角为.19．（1），相交于点，即，因为平面，平面，所以平面，平面即点是平面与平面的公共点，因为平面平面所以，所以，，三线共点（2）因为，分别是线段，的中点，所以，因为正方体的棱长为2所以，所以所以20．（1）证明：取BC中点G，连接AG，EG，因为E是B1C的中点，所以EG∥BB1，且．由直棱柱知，AA1∥BB1，AA1＝BB1，而D是AA1的中点，所以EG∥AD，EG＝AD所以四边形EGAD是平行四边形，所以ED∥AG，又DE⊄平面ABC，AG⊂平面ABC所以DE∥平面ABC． （2）解：因为AD∥BB1，所以AD∥平面BCE，所以VE﹣BCD＝VD﹣BCE＝VA﹣BCE＝VE﹣ABC，由（1）知，DE∥平面ABC，所以．21．解析：（Ⅰ）证明：取点是的中点，连接，，则，且，∵且，∴且，∴四边形为平行四边形，∴，∴平面．（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知平面，所以点到平面的距离与到平面的距离是相等的，故转化为求点到平面的距离，设为．利用等体积法：，即，，∵，，∴，∴．22．解析：（1）分别取PA和AB中点M、N，连接MN、ME、NF，则NF=∥ 12AD,ME=∥ 12AD,所以NF=∥ ME,∴四边形MEFN为平行四边形．∴ EF∥MN,又EF⊄平面PAB, MN⊂平面PAB,∴ EF∥平面PAB． 4分（2）在平面PAD内作EH⊥AD于H,因为侧棱PA⊥底面ABCD,所以平面PAD⊥底面ABCD,且平面PAD ∩底面ABCD =AD,所以EH⊥平面ADC,所以EH∥PA． 7分（或平面PAD中，PA⊥AD,EH⊥AD,所以EH∥PA亦可）因为DEDP=λ,(0<λ<1),所以EHPA=λ, EH=λ⋅PA=2λ．SΔDFCSΔADC=CFCA=1-λ,SΔDFC=(1-λ)SΔADC=2(1-λ), 10分VE-DFC=13⋅(2λ)⋅2(1-λ)=43(λ-λ2)=-43(λ-12)2+13 (0<λ<1)所以当λ=12时，三棱锥E-FCD体积最大值为13． 12分