2020江苏省上冈高级中学高二上学期期中考试数学试题含答案

江苏省上冈高级中学2019－2020学年第一学期期中考试

    高二数学试卷   2019.11.07

命题人：

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1．椭圆上一点P到焦点F1的距离为6，则点P到另一个焦点F2的距离为（  ）

A．6               B．10             C． 12            D． 14

2.抛物线的焦点坐标是(    )

A.           B.            C.          D.

3. 已知，则下列不等式成立的是(    )

A.  B.  C.         D.

4.在等差数列中，已知=3，=6，则=(    )

A. 9 B. 12 C. 15 D. 18

5．椭圆的长轴长为(    )

A．4 B． 2              C．             D．

6.已知数列满足若=,则=(    )

A.  B.               C.  D.

7.“”是“方程表示双曲线”的(    )条件.

  A.充分但不必要    B.充要             C.必要但不充分     D.既不充分也不必要

8.已知是公差为1的等差数列，为的前项和，则，则(    )

A.  B. 12              C.              D. 10

9.已知椭圆的左、右焦点分别为F1、F2，点P在椭圆上，若P、F1、F2是一个直角三角形的三个顶点，则点P到x轴的距离为 (    )

A．             B．3           C．或        D．

10.在同一坐标系中，方程与的曲线大致是(    )

11.若，，，则的最小值为(    )

A.  B. 1 C.                D.

12．双曲线的右焦点为F，点P为C的一条渐近线上的点，O为坐标原点，若|PO|＝|PF|，则S△OPF的最小值为(    )

A． B． C．1 D．2

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

13.双曲线的渐近线方程是__________．

14．在空间直角坐标系O﹣xyz中，若点A（1，2，﹣1），B（3，﹣1，4），点C是点A关于平面xOy的对称点，则点B与C的距离为          ．

15.已知等比数列满足,,则         ．

16.设正实数，，满足，当取得最大值时，的最小值为______________．

三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答题应写出必要的文字说明和演算步骤）

17.（本小题满分10分）

已知等差数列满足＝2，前3项和S3＝.

（1）求的通项公式；

（2）设等比数列满足，，求的前n项和Tn   .

18.（本小题满分12分）

已知椭圆.

（1）求椭圆的离心率；

（2）等轴双曲线与椭圆有相同的焦点，求双曲线的方程．

19.（本小题满分12分）

已知,(其中为常数，且.

（1）当p是q的什么条件?

（2）若p是q的必要不充分条件，求的取值范围．

20.（本小题满分12分）

已知不等式解集为

（1）求，的值；

（2）求函数 的最小值．

21.（本小题满分12分）

已知椭圆y2＝1（＞1）的离心率为，直线l交于P，Q两点，记直线OP的斜率为k1，直线OQ的斜率为k2．

（1）求椭圆方程；

（2）若，则三角形OPQ的面积是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由．

22.（本小题满分12分）

已知数列满足，且对一切，有，其中为数列的前n项和．

（1）求证：对一切，有；

（2）求数列的通项公式；

（3）求证：．

江苏省上冈高级中学2019－2020学年第一学期期中考试

高二数学试卷 参考答案

1-12.DBCAA BACDD CB

13.y=±      14．       15.       16.

17.解:(1)设公差为d，由已知得 

解得a1＝1，d＝，----------------------------------------------2分

故的通项公式an＝1＋，即an＝.----------------------4分

(2)由(1)得b1＝1，b4＝a15＝＝8. --------------------------------6分

设{bn}的公比为q，则q3＝＝8，从而q＝2，-----------------------8分

故{bn}的前n项和Tn＝＝2n－1. -----------------------10分

18．解：(1) 因为＝5，b＝3

所以c＝4  ---------------------------------------2分

所以椭圆的离心率. ---------------------------------4分

（2）因为等轴双曲线与椭圆有相同的焦点

所以  ----------------------------------------------6分

且  --------------------------------------8分

所以--------------------------------------------10分

所以双曲线的方程为．---------------------------12分

19．解：为,解得 或

，解得----------- ---2分

此时q对应的集合是p对应集合的真子集，

所以p是q的必要不充分条件．------------------------- ----4分

（2）由 得 ，---------------6分

因为p是q的必要不充分条件，

所以q对应的集合是p对应集合的真子集，

当时 ，由，得-------------------8分

当时 ，满足条件----------------------------10分

所以实数a的取值范围是或．----------------------12分

20.解：(1)因为不等式的解集为

所以1和是方程的两个根 --------------------------2分

所以 ---------------------------------------------4分

解得，. --------------------------------------------6分

(2)由(1)得,  -------------------10分

当且仅当，即时，函数有最小值8．------12分

21．解：（1）由题意，，解得a＝3，c，

所以b2＝a2﹣c2＝1

所以椭圆方程为-----------------------------------2分

（2）设P（x1，y1），Q（x2，y2），

当直线PQ的斜率存在时，设其方程为y＝kx+m，

联立椭圆方程可得：（9k2+1）x2+18kmx+9m2﹣9＝0．--------------4分

则，，

由．

化简得：9k2＝2m2﹣1，----------------------------------------------------------6分

|PQ|．

点O到直线的距离d．

所以．

代入三角形面积可得---------------------------------9分

若直线的斜率不存在，可得．------------------------------------11分

综上可得：三角形POQ的面积为定值．----------------------12分

22.解：（1）因为，所以，

两式相减，得．

因为，

所以．-------------------------------------2分

（2）由（1）知，故，，

两式相减可得，

因为，所以，令，，可求得，，

所以是首项为1，公差为1的等差数列，故 ．------6分

（3）不等式，即．

设，

，

因为，所以，-----------------------10分

即．

所以．-------------------------12分