2020南昌八一中学高二下学期期末考试数学（理）试题含答案

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2019—2020学年第二学期南昌市八一中学高二理科数学期末考试试卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．每小题只有一个选项符合题意．1．在复平面内，复数对应的点位于（ ） A． 第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限2．为空间向量的一组基底，则下列各项中，能构成空间向量的基底的一组向量是（ ） 3．设，向量且，则（ ） 4．给出下列命题，其中正确的命题为 （ ）A.若直线和共面，直线和共面，则和共面B.直线与平面不垂直，则与平面内的所有的直线都不垂直C.直线与平面不平行，则与平面内的所有的直线都不平行D.异面直线不垂直，则过的任何平面与都不垂直5．如图，正三棱柱中，，是的中点，则与平面所成角的正弦值等于（ ） A． B． C． D．6．如图，空间四边形中，，且，，则（ ）A. B. C. D. 7．如图所示，在长方体ABCD­A1B1C1D1中，AD＝AA1＝1，AB＝2，点E是棱AB的中点，则点E到平面ACD1的距离为(　　)A. B. C. D. 8．已知双曲线 的两条渐近线与抛物线的准线分别交于两点．若双曲线的离心率为，的面积为，为坐标原点，则抛物线的焦点坐标为 ( )A． B． C． D．9．已知三棱锥中，，，，，且平面平面，则该三棱锥的外接球的表面积为A． B． C． D． 10．在四面体中，若， ， ，则直线 与所成角的余弦值为（ ）A. B. C. D. 11．如图，正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为1，P，Q分别是线段AD1和B1C上的动点，且满足AP＝B1Q，则下列命题错误的是(　　)A．存在P，Q的某一位置，使AB∥PQB．△BPQ的面积为定值C．当PA＞0时，直线PB1与AQ是异面直线D．无论P、Q运动到任何位置，均有BC⊥PQ12．设f(x)=kx－|sinx| (x>0，k>0)，若f(x)恰有2个零点，记较大的零点为t，则= ( )A. 0 B. 1 C. 2 D. 4二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．已知函数，则 14．如图，二面角等于，、是棱上两点，、分别在半平面、内，，，且，则的长等于_____．15．某三棱锥的三视图如下图所示，则该三棱锥的四个面中，面积最大的面的面积 16．如图4－3－11，正方体ABCD—A1B1C1D1，则下列四个命题：①P在直线BC1上运动时，三棱锥A—D1PC的体积不变；②P在直线BC1上运动时，直线AP与平面ACD1所成角的大小不变；③P在直线BC1上运动时，二面角P—AD1—C的大小不变；④M是平面A1B1C1D1上到点D和C1距离相等的点，则M点的轨迹是过D1点的直线．其中真命题的编号是________(写出所有真命题的编号)．三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（本小题满分10分）在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为为参数），以为极点，以轴的非负半轴为极轴的极坐标系中，直线的极坐标方程为.（Ⅰ）求曲线的极坐标方程；（Ⅱ）设直线与曲线相交于两点，求的值.18．（本小题满分12分）如图所示的平面图形中，四边形是边长为2的正方形，和都是以为直角顶点的等腰直角三角形，点是线段的中点．现和分别沿着翻折，直到点和重合为点．连接，得如图的四棱锥．（1）求证：；（2）求二面角的大小．19．（本小题满分12分）图所示的几何体中， ， ， 平面，在平行四边形中， ， ， ．（1）求证： 平面；（2）求与平面所成角的正弦值．20．(本小题满分12分)如图，已知四棱锥P-ABCD的底面ABCD为菱形，且PA⊥底面ABCD．(1)证明：平面PBD⊥平面PAC．(2)若∠BAD=60°,且平面PAB与平面PCD所成锐二面角的余弦值为，求∠PCA的大小． 21．（本小题满分12分）设顶点在原点，焦点在轴上的拋物线过点，过作抛物线的动弦，，并设它们的斜率分别为，.(Ⅰ)求拋物线的方程；(Ⅱ)若，求证：直线的斜率为定值，并求出其值；（ = 3 \* ROMAN III）若，求证：直线恒过定点，并求出其坐标.22．（本小题满分12分）已知函数，.（1）讨论的单调性；（2）若函数在上单调递增，求的取值范围.高二理科数学期末考试参考答案一、选择题1——12 CCCDB ABBDD BC二、填空题13． 14 2 15 16①③④三、解答题17．解：（Ⅰ）将方程消去参数得，∴曲线的普通方程为，将代入上式可得，∴曲线的极坐标方程为： ．………5分（Ⅱ）设两点的极坐标方程分别为,由消去得，根据题意可得是方程的两根，∴，∴． ………10分18．解：（1）连接与点，连接 ……1分因为四边形是正方形，所以是的中点，又是的中点 ……2分 ……3分 ……4分由题意有,两两垂直如图，以为原点建立空间直角坐标系 ……5分有 ……6分由题知又 ……7分又 ……8分所以平面的法向量是设平面的法向量,则，令 ……10分 ……11分由图可知二面角的平面角为锐角所以二面角 的大小为 ……12分19．（1）证明：连接交于，取中点，连接， .∵、分别为、的中点∴， 又∵， ∴， ，从而， 平面， 平面，∴平面． ……5分（2）解：连接，可计算得， ， ， ， ，设点到平面的距离为，则由， ，得，所以由，知.∴，∴与平面所成角的正弦值为．……12分20．证明：因为底面ABCD为菱形，所以．因为底面ABCD，所以．又，所以平面PAC．因为平面PBD，所以平面平面PAC．……5分解：设AC与BD交于点O，以O为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图所示，设，，则，则．设平面PAB的法向量为，则令，得．设平面PCD的法向量为，则．令，得．设平面PAB与平面PCD所成的锐二面角为，则，解得，则，故．……12 21．解：(Ⅰ)依题意，可设所求拋物线的方程为,因拋物线过点，故，拋物线的方程为. …………… 3(Ⅱ)设，则，同理 ,∴，.，即直线的斜率恒为定值，且值为. …………… 7分（ = 3 \* ROMAN III），∴，∴. 直线的方程为 ，即. 将代入上式得即为直线的方程，所以直线恒过定点，命题得证. …………… 12分22．解（1）的定义域为，，当时，在上恒成立，所以在上递减；当时，令，当时，，当时，，则在上递减，在上递增. …---5分（2）在恒成立，所以，即 令，则有，令，则有在上恒成立.故在上为减函数，所以在上为减函数，则，故.另解令，则至少有.当时，则有，令，开口向上，对称轴，故在上为增函数，所以在上为增函数，则，故.---12分