2020宜宾叙州区二中校高二下学期第四学月考试数学（文）试题含答案

这是一份2020宜宾叙州区二中校高二下学期第四学月考试数学（文）试题含答案，共12页。

注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第 = 1 \* ROMAN \* MERGEFORMAT I卷 选择题（60分）
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知复数z满足，则复数等于
A.B.C.D.i
2.若6名男生和9名女生身高（单位：）的茎叶图如图，则男生平均身高与女生身高的中位数分别为
A.179，168B.180，166C.181，168D.180，168
3.设x，y满足约束条件，则目标函数的取值范围为
A.B.C.D.
4.如图是在北京召开的第24届国际数学家大会的会标，会标是根据我国古代数学家赵爽弦图设计的，颜色的明暗使它看上去像一个风车，代表中国人民热情好客．已知图中直角三角形两个直角边的长分别为2和3．若从图中任选一点，则该点恰在阴影区域的概率为
A.B.C.D.
5.已知实数，满足条件，则的取值范围是
A.B.C.D.
6.若函数在上单调递增，则a的取值范围是
A.B.C.D.
7.已知直线与圆相交所得的弦长为，则圆的半径
A.B.2C.D.4
8.椭圆上的点到直线的距离的最小值为
A.B.C.3D.6
9.已知抛物线的焦点为F，准线与y轴交于点A，点在曲线C上，，则
A.3pB.3C.4pD.4
10.已知椭圆：的右焦点为，过点的直线交椭圆于，两点，若的中点坐标为，则椭圆的方程为
A.B.C.D.
11.若函数f(x)=x2ex−a恰有3个零点，则实数a的取值范围是
A. (4e2,+∞) B. (0,4e2) C. (0,4e2) D. (0,+∞)
12.已知函数，其中为自然对数的底数，则对任意，下列不等式一定成立的是
A.B.
C.D.
第 = 2 \* ROMAN \* MERGEFORMAT II卷 非选择题（90分）
填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.若双曲线的一条渐近线方程为，则_______.
14.函数在处的切线与直线垂直，则实数______.
15.若函数有极值,则函数的极值之和的取值范围是________.
16.已知球的球面上有四点、、、，其中、、、四点共面，是边长为的正三角形，平面平面，则棱锥的体积的最大值为______．
三．解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。
（一）必考题：共60分
17（12分）.某校学生会为了解该校学生对2017年全国两会的关注情况，随机调查了该校200名学生，并将这200名学生分为对两会“比较关注”与“不太关注”两类．已知这200名学生中男生比女生多20人，对两会“比较关注”的学生中男生人数与女生人数之比为，对两会“不太关注”的学生中男生比女生少5人．
( = 1 \* ROMAN \* MERGEFORMAT I)根据题意建立列联表，并判断是否有的把握认为男生与女生对两会的关注有差异？
（ = 2 \* ROMAN \* MERGEFORMAT II）该校学生会从对两会“比较关注”的学生中根据性别进行分层抽样，从中抽取7人，再从这7人中随机选出2人进行回访，求这2人全是男生的概率．
参考公式和数据：，其中．
18.（12分）已知函数f(x)=x2-2(a+1)x+2alnx(a>0)．
( = 1 \* ROMAN \* MERGEFORMAT I)求f(x)的单调区间；
（ = 2 \* ROMAN \* MERGEFORMAT II）若f(x)≤0在区间[1,e]上恒成立，求实数a的取值范围．
19.（12分）如图，在四棱锥中，平面，，，，，，与平面所成的角为．
( = 1 \* ROMAN \* MERGEFORMAT I)求证：平面平面；
（ = 2 \* ROMAN \* MERGEFORMAT II）若于，为的中点，求三棱锥的体积．
20.（12分）已知椭圆： 的两个焦点与短轴的一个端点是直角三角形的三个顶点，直线： 与椭圆有且只有一个公共点．
（Ⅰ）求椭圆的方程及点的坐标；
（Ⅱ）设是坐标原点，直线平行于，与椭圆交于不同的两点、，且与直线交于点，证明：存在常数，使得，并求的值．
21.（12分）已知函数.
( = 1 \* ROMAN \* MERGEFORMAT I)讨论的单调性；
（ = 2 \* ROMAN \* MERGEFORMAT II）当时，证明.
（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。
22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）
如图，在极坐标系中，，，，，，弧，所在圆的圆心分别是，，曲线是弧，曲线是线段，曲线是线段，曲线是弧.
( = 1 \* ROMAN \* MERGEFORMAT I)分别写出，，，的极坐标方程；
（ = 2 \* ROMAN \* MERGEFORMAT II）曲线由，，，构成，若点，（），在上，则当时，求点的极坐标.
23．[选修4-5：不等式选讲]（10分）
设
( = 1 \* ROMAN \* MERGEFORMAT I)解不等式；
（ = 2 \* ROMAN \* MERGEFORMAT II）对任意的非零实数，有恒成立，求实数的取值范围.
2020年春四川省宜宾叙州区第二中学高二第四学月考试
文科数学答案
1.D2.C3.A4.C5.A6.D7.B8.A9.D10.A11.B12.A
13.14.15.16.
17解：（1）由这名学生中男生比女生多人，可得男生人数为，女生人数为，
设男生中“不太关注”的人数为，则男生中“比较关注”的人数为，
由“不太关注”的学生中男生比女生少人，可得女生中“不太关注”的人数为，
则女生中“比较关注”的人数为，
由“比较关注”的学生中男生人数与女生人数之比为，可得，解得，
则列联表如下：
则的观测值，
所以没有的把握认为男生与女生对两会的关注有差异．
（2）由题意得男生抽人、女生抽人，
记这名男生分别为，名女生分别为
则所有的可能情况为，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，共种，其中人全是男生的有，，，，，，共种，故所求概率．
18.解：(1)∵f(x)=x2-2(a+1)x+2alnx(a>0)．
∴f'(x)=2x2-2(a+1)x+2ax=2(x-1)(x-a)x(x>0)，
由得x1=a，x2=1，
当0在x∈(a,1)时，
∴f(x)的单调增区间是(0,a)和(1,+∞)，单调减区间是(a,1)；
当a=1时，在x∈(0,+∞)时，
∴f(x)的单调增区间是(0,+∞)；
当a>1时，在x∈(0,1)或x∈(a,+∞)时，
在x∈(1,a)时．
∴f(x)的单调增区间是(0,1)和(a,+∞)，单调减区间是(1,a)．
(2)由(1)可知f(x)在区间[1,e]上只可能有极小值点，
∴f(x)在区间[1,e]上的最大值在区间的端点处取到，
即有f(1)=1-2(a+1)≤0且f(e)=e2-2(a+1)e+2a≤0，
解得a≥e2-2e2e-2．即实数a的取值范围是a≥e2-2e2e-2．
19.（1）证明：∵平面，
∴与平面所成的角为，∴，
∵，，∴，即有，
又，，平面，平面，
∴平面，平面，∴平面平面；
（2）解：由平面，可得，
又，可得平面，
即有，在直角三角形中，，，
由，可得，，
∴，，
∴，∴．
20.（Ⅰ）由已知， ，则椭圆E的方程为.
由方程组得.①
方程①的判别式为，由，得，
此时方程①的解为，所以椭圆E的方程为.点T坐标为（2,1）.
（Ⅱ）由已知可设直线的方程为，
由方程组可得
所以P点坐标为（），.
设点A，B的坐标分别为.
由方程组可得.②
方程②的判别式为，由，解得.
由②得.
所以，
同理，
所以
.故存在常数，使得.
21.解：（1）函数的定义域是，，
（i）若，当时，，当时，，故在递增，在递减，
（ii）若，当时，，当时，，故在递增，在递减；
（2）当时，由（1）得，，
令，设，则，
，∵，当时，， 当时，，
故在递增，在递减，故，
故时，成立．
22.（1）解法一：在极坐标系下，在曲线上任取一点，连接、，
则在直角三角形中，，，，得：.
所以曲线的极坐标方程为：
又在曲线上任取一点，则在中，，，，
，，由正弦定理得：，
即：，化简得的极坐标方程为：
同理可得曲线，的极坐标方程分别为：，
解法二：（先写出直角坐标方程，再化成极坐标方程.）
由题意可知，，，的直角坐标方程为：
，，
，，
所以，，，的极坐标方程为：，
，，
（2）当时，，，
当时，，，
所以点的极坐标为，
23.（1）
令
当时
当时
，当时
综上所述
（2）恒成立等价于
（当且仅当时取等）
恒成立
比较关注
不太关注
合计
男生
女生
合计