2020滁州定远县重点中学高二下学期期中考试数学（理）试题含答案

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2019-2020学年第二学期期中试卷高二数学试题（理）注意事项：1．答题前在答题卡、答案纸上填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将第I卷（选择题）答案用2B铅笔正确填写在答题卡上；请将第II卷（非选择题）答案黑色中性笔正确填写在答案纸上。第I卷（选择题60分）一、选择题(共12小题,每小题5分,共60分) 1.已知为正数，则“”是“ ”的  A. 充分不必要条件    B. 必要不充分条件    C. 充要条件    D. 既不充分也不必要条件2.已知命题 “函数在区间上是增函数”；命题 “存在，使成立”，若为真命题，则的取值范围为 A.     B.     C.     D. 3.已知四棱锥中， ， ， ，则点到底面的距离为 A.                          B.                          C.                               D. 4.自圆：外一点引该圆的一条切线，切点为，切线的长度等于点到原点的长，则的最小值为 A.                                  B.                          C. 4                                  D. 5.设F1，F2分别是椭圆E： （a＞b＞0）的左、右焦点，过点F1的直线交椭圆E于A，B两点，|AF1|=3|BF1|，若cos∠AF2B=，则椭圆E的离心率为 A.                             B.                             C.                            D. 6.已知双曲线的中心为原点， 是的焦点，过的直线与相交于， 两点，且的中点为，则该双曲线的渐近线方程为 A.                 B.              C.       D. 7.已知函数f（x）对定义域内R内的任意x都有f（x）=f（4﹣x），且当x≠2时，其导数f'（x）满足xf'（x）＞2f'（x），若2＜a＜4，则
A.                                    B.
C.                                    D.8.已知抛物线： 的焦点为，准线为， 是上一点， 是直线与的一个交点，若，则 A.                       B.                                 C. 3                                           D. 29.已知函数f(x)＝ex－(x＋1)2(e为2.718 28…)，则f(x)的大致图象是
A. B.  C.     D.10.已知两点均在焦点为的抛物线上，若，线段的中点到直线的距离为1，则的值为 A. 1                                 B. 1或3                           C. 2                             D. 2或612.已知函数f（x）=xlnx﹣aex（e为自然对数的底数）有两个极值点，则实数a的取值范围是
A.                        B.（0，e）                   C.                   D.（﹣∞，e）二、填空题(共4小题,每小题5分,共20分)14.抛物线的焦点到双曲线的一条渐近线的距离为,则此抛物线的方程为________ .15.已知函数f(x)＝ x2＋2ax－lnx，若f(x)在区间 上是增函数，则实数a的取值范围为                                                 ．16.下列说法中所有正确命题的序号是__________．①“”是“”成立的充分非必要条件；②、，则“”是“”的必要非充分条件；③若一个命题的逆命题为真，则它的否命题一定为真；④设等比数列的前项和为，则“”是“”成立的充要条件.三、解答题(共6小题,共70分) 17.（10分）设命题，命题：关于不等式的解集为.（1）若命题为真命题，求实数的取值范围；（2）若命题或是真命题， 且是假命题，求实数的取值范围.18.（12分）已知动点与平面上两定点， 连线的斜率的积为定值．（1）试求动点的轨迹方程；（2）设直线： 与曲线交于， 两点，当时，求直线的方程．19. （12分）已知分别是双曲线E： 的左、右焦点，P是双曲线上一点， 到左顶点的距离等于它到渐近线距离的2倍，（1）求双曲线的渐近线方程；（2）当时， 的面积为，求此双曲线的方程。20. （12分）已知函数f（x）=ex（sinx﹣ax2+2a﹣e），其中a∈R，e=2.71818…为自然数的底数．
（1）当a=0时，讨论函数f（x）的单调性；
（2）当 ≤a≤1时，求证：对任意的x∈[0，+∞），f（x）＜0．21. （12分）已知抛物线焦点为，点A，B，C为该抛物线上不同的三点，且满足.（1）求；（2）若直线交轴于点，求实数的取值范围．22. （12分）已知函数 ，实数a＞0．
（Ⅰ）若a=2时，求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若x＞0时，不等式f（x）＜0恒成立，求实数a的最大值．
参考答案 1.C    2.B    3.D    4.D   5.D   6.A   7.B    8.A    9.C   10.B   11.A    12.A13.3       14.                           15.                      16.②③④17.（1）当为真时， ；（2）的取值范围是。解析：（1）当为真时，∵不等式的解集为，∴当时， 恒成立.∴，∴∴当为真时， （2）当为真时，∵，∴当为真时， ；当为真时， ，由题设，命题或是真命题， 且是假命题，真假可得， 假真可得或综上可得或则的取值范围是.18.（1）（）；（2）或【解析】 (1)设点P的坐标，然后根据,坐标化化简后可得动点P的轨迹方程，要注意点P不在x轴上.（2）在（1）的基础上，直线方程与椭圆方程联立，消y后根据韦达定理，及弦长公式建立关于k的方程，求出k值，从而直线方程确定19.（1）（2）解析：（1）因为双曲线的渐近线方程为，则点到渐近线距离为（其中c是双曲线的半焦距），所以由题意知，又因为，解得，故所求双曲线的渐近线方程是.（2）因为，由余弦定理得，即。又由双曲线的定义得，平方得，相减得。根据三角形的面积公式得，得。再由上小题结论得，故所求双曲线方程是.20.（1）解：当a=0时，f（x）=ex（sinx﹣e）， 则f′（x）=ex（sinx﹣e）+excosx=ex（sinx﹣e+cosx），∵sinx+cosx= sin（x+ ）≤ ＜e，∴sinx+cosx﹣e＜0 故f′（x）＜0 则f（x）在R上单调递减
（2）解：当x≥0时，y=ex≥1， 要证明对任意的x∈[0，+∞），f（x）＜0．则只需要证明对任意的x∈[0，+∞），sinx﹣ax2+2a﹣e＜0．设g（a）=sinx﹣ax2+2a﹣e=（﹣x2+2）a+sinx﹣e，看作以a为变量的一次函数，要使sinx﹣ax2+2a﹣e＜0，则 ，即 ，∵sinx+1﹣e＜0恒成立，∴①恒成立，对于②，令h（x）=sinx﹣x2+2﹣e，则h′（x）=cosx﹣2x，设x=t时，h′（x）=0，即cost﹣2t=0．∴t= ，sint＜sin ，∴h（x）在（0，t）上，h′（x）＞0，h（x）单调递增，在（t，+∞）上，h′（x）＜0，h（x）单调递减，则当x=t时，函数h（x）取得最大值h（t）=sint﹣t2+2﹣e=sint﹣（ ）2+2﹣e=sint﹣ +2﹣e= sin2t+sint+ ﹣e=（ +1）2+ ﹣e≤（ ）2+ ﹣e= ﹣e＜0，故④式成立，综上对任意的x∈[0，+∞），f（x）＜021.（1）（2）解析：设由抛物线得焦点坐标为，所以， ， ,所以由得 ， （1）抛物线的准线方程为， 由抛物线定义得： ， ， ，所以 .（2）显然直线斜率存在，设为，则直线方程为，联立消去得，所以，即．...................... ...................①且，所以， 代入式子得又点也在抛物线上，所以，即．....................................②由①，②及可解得即，又当时，直线过点，此时三点共线，由得与共线，即点也在直线上，此时点必与之一重合，不满足点为该抛物线上不同的三点，所以，所以实数的取值范围为.22.解：（Ⅰ）a=2时，f（x）=ln（1+x）﹣ ，f′（x）= ﹣ = ．（x＞﹣1）． ∴函数f（x）的单增区间为（0，+∞）；单减区间为（﹣1，0）．
（Ⅱ）函数 ，实数a＞0．f（0）=0．（x＞0）．
f′（x）= ﹣
= ．
令g（x）=（1+x）a﹣（1+x）+ax，g（0）=0．
a≤0时，可得：g（x）＜0，f′（x）＜0，函数f（x）单调递减，∴f（x）＜f（0）=0，满足条件．
g′（x）=a（1+x）a﹣1+a，令x=0，则g′（0）=2a﹣1．
当0＜a 时，g′（x）≤0，函数g（x）单调递减，∴g（x）＜g（0）=0．f′（x）＜0，函数f（x）单调递减，∴f（x）＜f（0）=0，满足条件．
a 时，存在x0＞0，使得g′（x0）=0，g′（x）＞0，函数g（x）在（0，x0）上单调递增，g（x）＞g（0）．
从而f（x）在（0，x0）上单调递增，f（x）＞f（0）=0，不满足条件，舍去．
综上可得：a ．
即a的最大值为：