2020宜春九中高二下学期第二次月考数学（理）试题含答案

数学试卷

一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）

1. 设（1+i）x=1+yi，其中x，y是实数，则|x+yi|=（    ）

A. 1 B.  C.  D. 2

2. 复数z=的虚部为（　　）

A. -1 B. -3 C. 1 D. 2

3. 满足=i（i为虚数单位）的复数z=（　　）

A. +i B. -i C. -+i D. --i

4. 圆的极坐标方程为ρ=2（cosθ+sinθ），则该圆的圆心极坐标是（）

A.  B.  C.  D.

5. 如图是函数的导函数的图象，给出下列命题：
   ①是函数的极值点；

②是函数的最小值点；

③在处切线的斜率小于零；

④在区间上单调递增．

则正确命题的序号是（  ）

A. ①② B. ①④ C. ②③ D. ③④

6. 若（2x+）dx=3+ln2，则a的值是（　　）

A. 6 B. 4 C. 3 D. 2

7. 由曲线，直线y＝x-2及y轴所围成的图形的面积为（    ）

A.  B. 4 C. ​ D. 6

8. 在如图所示的正方形中随机投掷10000个点，则落入阴影部分（曲线C的方程为x2－y＝0）的点的个数的估计值为（   ）

A. 5000
B. 6667
C. 7500
D. 7854
 

9. 曲线y=xex-1在点（1，1）处的切线方程为（　　）

A. y=2x+1 B. y=2x-1 C. y=x+2 D. y=x-2

10. 函数f（x）=ax2+bx（a＞0，b＞0）在点（1，f（1））处的切线斜率为2，则的最小值是（     ）

A. 10 B. 9 C. 8 D.

11. 点P是曲线y=x2-上任意一点，则点P到直线y=x-2的距离的最小值是（　　）

A. 1 B.  C. 2 D. 2

12. 已知函数f（x）=sin（x-φ），且，则函数f（x）的图象的一条对称轴是（　　）

A. x= B. x= C. x= D. x=

二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

13. 在极坐标系中，直线ρcosθ-ρsinθ-1=0与圆ρ=2cosθ交于A，B两点，则|AB|=______．
14. 已知f（x）=x2+3xf'（2），则1+f'（1）= ______．
15. 若f（x）=ax2+（a-2）x+a2是偶函数，则（x2+x+）dx=______．
16. 如图，由抛物线y2=8x与直线x+y-6=0及x轴所围成的图形（图中阴影部分）的面积为______．
    ​

三、解答题（本大题共6小题，第17题10分，其他各题每题12分，共70.0分）

17. 设复数z=m2-2m-3+（m2+3m+2）i，试求实数m取何值时，
    （1）z是实数；
    （2）z是纯虚数；
    （3）z对应的点位于复平面的第二象限．
    
    
    
    
     
18. 已知F（x）=dt，（x＞0）．
    （1）求F（x）的单调区间；
    （2）求函数F（x）在[1，3]上的最值．
    
    
     
19. 已知曲线及.
    （1）当k=1时，求上述曲线所围成的图形面积；

（2）用定积分表示曲线及所围成的图形面积,并确定取何值时,使所围图形的面积最小.






 

20. ​设函数f（x）=-x3+ax2+bx+c的导数f'（x）满足f'（-1）=0，f'（2）=9．
    （1）求f（x）的单调区间；
    （2）f（x）在区间[-2，2]上的最大值为20，求c的值．
    （3）若函数f（x）的图象与x轴有三个交点，求c的范围．
    
    
    
    
    
    
     
21. 已知函数f（x）=x-alnx，g（x）=-（a＞0）
    （1）若a=1，求f（x）的极值；
    （2）若存在x0∈[1，e]，使得f（x0）＜g（x0）成立，求实数a的取值范围．
    
    
    
    
    
    
     
22. 已知函数f（x）=​（a∈，a≠0）．
    （1）当a=1时，求曲线f（x）在点（1，f（1））处切线的方程；
    （2）求函数f（x）的单调区间；
    （3）当x∈（0，+∞）时，若f（x）≥1恒成立，求a的取值范围．
     

数学试卷答案

一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）

23. 设，其中x，y是实数，则   

A. 1 B.  C.  D. 2

【答案】B

【解析】【分析】
本题主要考查复数模长的计算，根据复数相等求出x，y的值是解决本题的关键，属于基础题．
根据复数相等求出x，y的值，结合复数的模长公式进行计算即可．
【解答】
解：，
，
即
解得
即．
故选B．
 

24. 复数的虚部为

A.  B.  C. 1 D. 2

【答案】B

【解析】【分析】
本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，属于基础题．
按照复数代数形式的乘除运算化简得答案．
【解答】
解：
，
复数的虚部为．
故选B．
 

25. 满足为虚数单位的复数

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】【分析】
本题主要考查复数的计算，比较基础．
根据复数的基本运算即可得到结论．
【解答】

解：，
，
即，
故选：B．

 

26. 圆的极坐标方程为，则该圆的圆心极坐标是

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】【分析】
本题考查圆的圆心极坐标的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意极坐标方程和直角坐标方程的互化公式的合理运用．
由极坐标方程求出圆的直角坐标方程，从而求出该圆的圆心的平面直角坐标，由此能求出该圆的圆心的极坐标．
【解答】
解：极坐标方程为，
，
，
，
，
该圆的圆心的平面直角坐标为，
该圆的圆心的极坐标为
故选B．
 

27. 如图是函数的导函数的图象，给出下列命题：
    是函数的极值点；

是函数的最小值点；

在处切线的斜率小于零；

在区间上单调递增．

则正确命题的序号是 

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】【分析】
本题考查导函数图象与原函数图象间的关系，重点是考查利用导数研究函数单调性，求极值和最值及导数的几何意义的理解．
根据导数的几何意义可判断出错误，根据导数与函数的单调性、极值点关系，结合图象判断在上单调递减，在上单调递增，可判断正确，错误．
【解答】
解：由导函数图象可知：在上，单调递减，在上，
单调递增，是函数的极小值点，故正确，错误；
根据导数的几何意义，可知在处的导函数值大于零，即此处切线斜率是大于零的，故错误；
故选B．
 

28. 若，则a的值是

A. 6 B. 4 C. 3 D. 2

【答案】D

【解析】解：因为，
所以，所以；
故选：D．
将等式左边计算定积分，然后解出a．
本题考查了定积分的计算；关键是正确找出被积函数的原函数．
 

29. 由曲线，直线及y轴所围成的图形的面积为   

A.  B. 4 C.  D. 6

【答案】C

【解析】【分析】
利用定积分知识求解该区域面积是解决本题的关键，要确定出曲线，直线的交点，确定出积分区间和被积函数，利用导数和积分的关系完成本题的求解．
本题考查曲边图形面积的计算问题，考查学生分析问题解决问题的能力和意识，考查学生的转化与化归能力和运算能力，考查学生对定积分与导数的联系的认识，求定积分关键要找准被积函数的原函数，属于定积分的简单应用问题．
【解答】
解：联立方程得到两曲线的交点，
因此曲线，直线及y轴所围成的图形的面积为：
．
故选C．
 

30. 在如图所示的正方形中随机投掷10000个点，则落入阴影部分曲线C的方程为的点的个数的估计值为   

A. 5000
B. 6667
C. 7500
D. 7854
 

【答案】B

【解析】【分析】
本题考查概率的计算，涉及定积分求面积，属于基础题．
由题意，阴影部分的面积，正方形的面积为1，求出投掷一个点落入阴影部分的概率，结合正方形中随机投掷10000个点，即可得出结论．
【解答】
解：由题意，阴影部分的面积，正方形的面积为1，
任意投掷一个点，落入阴影部分的概率为，
正方形中随机投掷10000个点，
落入阴影部分曲线C的方程为的点的个数的估计值为，
故选：B．
 

31. 曲线在点处的切线方程为

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】【分析】
本题考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，计算得结论．
【解答】
解：因为函数的导数为，
可得曲线在点处的切线斜率为2，
所以曲线在点处的切线方程为，
即为．
故选B．
 

32. 函数在点处的切线斜率为2，则的最小值是     

A. 10 B. 9 C. 8 D.

【答案】B

【解析】【分析】
本题主要考查了导数的几何意义及利用基本不等式求最值，属于中档题．
由，得，把变形为后整体乘以1，展开后利用基本不等式求最小值．
【解答】
解：由，得，
又在点处的切线斜率为2，
所以，即，
则
，
当且仅当
即时等号成立，
所以的最小值是9．
故选B．
 

33. 点P是曲线上任意一点，则点P到直线的距离的最小值是

A. 1 B.  C. 2 D.

【答案】B

【解析】【分析】
本题考查了导数的几何意义以及点到直线的距离，属于中档题．
对y求导，当点P是曲线的切线中与直线平行的直线的切点时，点P到直线的距离的最小，解答即可．
【解答】
解：由题意，，
当点P是曲线的切线中与直线平行的直线的切点时，点P到直线的距离最小，
令，解得，
所以点P的坐标为，
故点P到直线的最小值为，
故选：B．
 

34. 已知函数，且，则函数的图象的一条对称轴是

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】【分析】
本题主要考查定积分，函数的图象的对称性，两角和与差的三角公式的应用，属于中档题．
由求得，故有 ，可取，则
令，求得x的值，可得函数的图象的一条对称轴方程．
【解答】
解：函数，


，
，，即，，
故可取，即
令，求得 ，，
则函数的图象的一条对称轴为．
故选：A．
 

二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

35. 在极坐标系中，直线与圆交于A，B两点，则______．

【答案】2

【解析】【分析】
本题考查了把圆与直线的极坐标方程化为直角坐标方程和直线与圆的位置关系，考查了计算能力，属于基础题．
先把圆与直线的极坐标方程化为直角坐标方程，再计算弦长．
【解答】

解：直线化为y直线．
圆化为，，配方为，可得圆心，半径．
因为，
所以圆心C在直线上，
．
故答案为2．
 

36. 已知，则______．

【答案】

【解析】【分析】
本题考查函数与导数，求导公式的应用及函数值求解，属于中档题．
先求出，令，可得，即可求出，进而可得到答案．
【解答】
解：因为，
所以，
令，得，
所以，
所以，
所以，
故答案为．
 

37. 若是偶函数，则______．

【答案】

【解析】解：若是偶函数，
则，即，
故，
则

，
故答案为：．
根据函数的奇偶性求出a的值，求定积分的值即可．
本题考查了函数的奇偶性问题，考查求定积分的值，是一道中档题．
 

38. 如图，由抛物线与直线及x轴所围成的图形图中阴影部分的面积为______．
    
    
    
    
    
     

【答案】

【解析】【分析】
此题考查利用定积分求图形的面积问题，解题的关键是将图象的面积分为两部分进行处理．
根据定积分的定义结合图象可得，然后利用定积分的定义进行计算．
【解答】
解：由，解得．舍，
由，令，解得，
设所求图形面积为
，
故答案为．
 

三、解答题（本大题共6小题，共72.0分）

39. 设复数，试求实数m取何值时，
    是实数；
    是纯虚数；
    对应的点位于复平面的第二象限．

【答案】解：由，解得或．
或时，z是实数；
由，解得，
时，z是纯虚数．
由，解得，
当，z对应的点位于复平面的第二象限．

【解析】由，解出即可得出；
由，解得即可得出；
由，解得即可得出．
本题考查了复数的运算法则、复数为实数纯虚数的充要条件、几何意义、不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
 

40. 已知，．
    求的单调区间；
    求函数在上的最值．

【答案】解：依题意得，，
定义域是分
，
令，得或；令，得，
且函数定义域是，
函数的单调增区间是，单调递减区间是分
令，得舍，
由于函数在区间上为减函数，区间上为增函数，
且，，，
在上的最大值是，最小值是分

【解析】由定积分计算公式，结合微积分基本定理算出再利用导数，研究的正负，即可得到函数的单调增区间是，单调递减区间是．
根据的单调性，分别求出、、的值并比较大小，可得在上的最大值是，最小值是．
本题利用定积分求一个函数的原函数，并研究原函数的单调性和闭区间上的最值．着重考查了定积分计算公式、利用导数研究函数的单调性与最值等知识，属于中档题．
 

41. 已知曲线及．
    Ⅰ当时，求上述曲线所围成的图形面积；

Ⅱ用定积分表示曲线及所围成的图形面积，并确定k取何值时，使所围图形的面积最小．

【答案】解：当时，曲线围成的图形的面积为

如图．

则，

．

所以当时，S最小为．

【解析】将代入利用定积分表示出曲线围成图形的面积求出即可；

曲线及所围成的图形的面积，就是定积分，求得，利用二次函数的性质可得结果．

42. 设函数的导数满足，．
    求的单调区间；
    在区间上的最大值为20，求c的值．
    若函数的图象与x轴有三个交点，求c的范围．

【答案】解：函数的导数，
满足，，
得，，
则，
，
由得
得，解得，
此时函数单调递增，即递增区间为，
由得
得，解得或，
此时函数单调递减，即递减区间为，；
由知，当时，函数取得极小值，
，，
则在区间上的最大值为，
则．
由知当时，函数取得极小值，
当时，函数取得极大值，
若函数的图象与x轴有三个交点，
则得，得，
即c的范围是．

【解析】本题主要考查导数的综合应用，求函数的导数，建立方程或不等式进行求解是解决本题的关键．考查学生的运算能力．
求函数的导数，根据条件建立方程组关系求出a，b的值，结合函数单调性和导数之间的关系即可求的单调区间；
求出函数在区间上的最大值，建立方程关系即可求c的值．
若函数的图象与x轴有三个交点，则等价为函数的极大值大于0，极小值小于0，解不等式即可求c的范围．
 

43. 已知函数，
    若，求的极值；
    若存在，使得成立，求实数a的取值范围．

【答案】解：时，，
函数的定义域是，
，
令，解得：，
令，解得：，
故在递减，在递增，
故的极小值是，无极大值；
存在，使得成立，
等价于，成立，
设，
则，
令，解得：舍，；
当，在递减，
，
令，解得：；
当时，在递减，在递增，
与矛盾，
综上，实数a的取值范围为

【解析】本题考查了函数的单调性、极值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，是一道中档题．
求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，从而求出函数的极值即可；
问题转化为，成立，设，根据函数的单调性求出a的范围即可．
 

44. 已知函数．
    当时，求曲线在点处切线的方程；
    求函数的单调区间；
    当时，若恒成立，求a的取值范围．

【答案】解：由，得：
，，
当时，，
依题意，即在处切线的斜率为0，
把代入中，得，
则曲线在处切线的方程为．
函数的定义域为，
由于．
若，
当时，，函数为增函数；
当和时，，函数为减函数．
若，
当和时，，函数为增函数；
当时，，函数为减函数．
综上所述，当时，函数的单调增区间为，单调减区间为，；
当时，函数的单调增区间为，，单调减区间为．
当时，要使恒成立，
即使在时恒成立，
设，则，
可知在时，，为增函数；
时，，为减函数，
则，
所以．

【解析】本题考查了利用导数研究曲线上某点处的切线方程，考查了利用导数研究函数的单调性，考查恒成立问题，属于较难题．
求出原函数的导函数，代入，求得，再求出的值，利用直线方程的点斜式求曲线在点处切线的方程；
由中求出的，然后对a进行分类讨论，根据和分别求出函数的增区间和减区间；
当时，恒成立，等价于在时恒成立，构造辅助函数，由导数求出函数的最大值，则a的取值范围可求．