2020宜宾叙州区二中校高二下学期第二次月考数学（理）试题含答案

2020年春四川省叙州区第二中学高二第二学月考试

理科数学试题

注意事项：

1．答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。

第I卷 选择题（60分）

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．复数的虚部是

A． B． C． D．

2．若，则

A． B． C． D．

3．双曲线的渐近线方程为

A． B． C． D．

4．设，则“”是“”的

A．充分必要条件 B．既不充分也不必要条件

C．充分不必要条件 D．必要不充分条件

5．已知实数满足, 则使的概率为

A． B． C． D．

6．学校将5个参加知识竞赛的名额全部分配给高二年级的4个班级，其中甲班级至少分配2个名额，其它班级可以不分配名额或分配多个名额，则不同的分配方案共有

A．20种        B．24种        C．26种      D．30种

7．在如图所示的正方形中随机投掷10000个点，则落入阴影部分（曲线C的方程为）的点的个数估计值为

A．5000          B．6667 

C．7500          D．7854

8．设函数，若函数的图像在点处的

切线与轴垂直，则实数

A．1 B． C． D．

9．已知椭圆的焦距为，椭圆C与圆交于M，N两点，且，则椭圆C的方程为

A． B． C． D．

10．设P是椭圆上一点，M，N分别是两圆：和上的点，则的最小值、最大值分别为

A．18，24    B．16，22   C．24，28 D．20，26

11．已知是常数，函数的导函数的图像如图所示，则函数的图像可能是

A． B． C． D．

12．对于任意的正实数x ，y都有（2x)ln成立，则实数m的取值范围为

A． B． C． D．

第II卷 非选择题（90分）

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．直线的一个方向向量为，直线的一个方向向量为，则与的夹角为__________．

14．设，则二项式展开式中的项的系数为       ．

15．已知在上是减函数，则的取值范围是____________．

16．设分别为双曲线的左、右焦点，为双曲线的左顶点，以线段为直径的圆交双曲线一条渐近线于两点，且满足，则该双曲线的离心率为_____．

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。

（一）必考题：共60分。

17．(12分)为促进全面健身运动，某地跑步团体对本团内的跑友每周的跑步千米数进行统计，随机抽取的100名跑友，分别统计他们一周跑步的千米数，并绘制了如图频率分布直方图.

（Ⅰ）由频率分布直方图计算跑步千米数不小于70千米的人数；

（Ⅱ）已知跑步千米数在的人数是跑步千米数在的，跑步千米数在的人数是跑步千米数在的，现在从跑步千米数在的跑友中抽取3名代表发言，用表示所选的3人中跑步千米数在的人数，求的分布列及数学期望.

18．(12分)已知函数 ).

（Ⅰ）当时，求在处的切线方程；

（Ⅱ）若函数在上是单调减函数，求的取值范围.

19．(12分)如图1，在边长为2的正方形中， 是边的中点．将沿折起使得平面平面，如图2， 是折叠后的中点．

（Ⅰ）求证： BF平行平面；

（Ⅱ）求二面角的平面角的余弦值．

20．(12分)已知从椭圆的一个焦点看两短轴端点所成视角为,且椭圆经过.

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）是否存在实数,使直线与椭圆有两个不同交点，且（为坐标原点），若存在,求出的值.不存在,说明理由.

21．(12分)已知函数(为常数)，曲线在与轴的交点A处的切线与轴平行．

（Ⅰ）求的值及函数的单调区间；

（Ⅱ）若存在不相等的实数使成立，试比较与的大小．

（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。

22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）

直角坐标系中曲线的参数方程（为参数），在以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴的极坐标系中，点的极坐标，在平面直角坐标系中，直线经过点，倾斜角为

（Ⅰ）写出曲线的直角坐标方程和直线的参数方程；

（Ⅱ）设直线与曲线相交于两点，求的值.

23．[选修4-5：不等式选讲]（10分）已知函数.

（Ⅰ）解不等式；

（Ⅱ）若对于任意，有，，求证：.

2020年春四川省叙州区第二中学高二第二学月考试

理科数学试题参考答案

1-5:CBBBC     6-10:ABDDC      11-12:DD

13．    14．   15．   16．

17．（1）由频率分布直方图可得跑步千米数不小于70千米的人数为.

（2）由频率分布直方图可知，跑步千米数在的人数为，

所以跑步千米数在的人数为.

因为跑步千米数在的人数为，

所以跑步千米数在的人数为，

则跑步千米数在的人数为.

所以的所有可能取值为0，1，2，

则；；.所以的分布列为

故数学期望.

18．（1）当时，                                             

 所以切线斜率                                

又切点为 所以在处的切线方程为                                            

（2）由题意得 

因为在上是减函数，所以在上恒成立

即在上恒成立.                  

所以在上恒成立.

令   易知在上单调递增，           

所以即,  所以.

19．（Ⅰ） 证明：取中点，连结，∵为中点，∴ ， ，

∴，∴四边形是平行四边形

∴，又平面， 平面，∴平面

（Ⅱ）如图示以为坐标原点，

建立空间直角坐标系

则由已知得，， 设平面的法向量为

则 解得一个法向量为

设平面的法向量为则

解得一个法向量为∵， ，

∴二面角的平面角的余弦值．

20．：(1）由于从椭圆的一个焦点

看两短轴端点所成视角为,得,此时,椭圆方程为又因为经过点,

即    ∴椭圆方程为.

（2）由 ,

由或,设,则 ,, 即, ,  综上可知, 实数存在且.

21．(1)由，得．且f(x)与y轴交于A(0.0)

所以，所以a=2， 所以,．

由＞0，得x＞ln 2． 所以函数在区间(－∞，ln 2)上单调递减，在(ln 2，＋∞)上单调递增．

(2)证明：设x＞ln 2，所以2ln 2－x＜ln 2，

(2ln 2－x)＝e(2ln 2－x)－2(2ln 2－x)－1＝＋2x－4ln 2－1．

令g(x)＝ (x)－(2ln 2－x)＝ex－－4x＋4ln 2(x≥ln 2)，所以g′(x)＝ex＋4e－x－4≥0，

当且仅当x＝ln 2时，等号成立，所以g(x)＝(x)－(2ln 2－x)在(ln 2，＋∞)上单调递增．

又g(ln 2)＝0，所以当x＞ln 2时，g(x)＝(x)－(2ln 2－x)＞g(ln 2)＝0，

即(x)＞(2ln 2－x)，不妨设x1＜ln 2＜x2，所以(x2)＞(2ln 2－x2)，

又因为(x1)＝(x2)，所以(x1)＞(2ln 2－x2)， 由于x2＞ln 2，所以2ln 2－x2＜ln 2，

因为x1＜ln 2，由(1)知函数y＝(x)在区间(－∞，ln 2)上单调递减，所以x1＜2ln 2－x2，即x1＋x2＜2ln 2．

22．（1） 曲线的直角坐标方程

点的极坐标为，化为直角坐标为，

直线的参数方程为，即（为参数）

（2）将的参数方程代入曲线的直角坐标方程，得：，

显然有，则

，

所以

23．（Ⅰ）解：或，

∴解集为．   

（Ⅱ）证明：