2020岷县一中高二上学期期末考试数学（理）试题含答案

数学（理科）

（时间120分钟，分值150分）

                 说明：本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）

第Ⅰ卷（选择题，共60分）

一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将所选答案写在答题卡上)

1．设集合，则（   ）

A．       B．       C．     D．

2．不等式的解集为(　　)

A．                            B．

C．∪[1，＋∞)                D．∪[1，＋∞)

3. 已知命题甲：动点到两定点的距离之和，其中为大于0的常数；命题乙：点的轨迹是椭圆，则命题甲是命题乙的(　　)

A． 充分不必要条件                    B． 必要不充分条件

C． 充要条件                          D． 既不充分也不必要条件

4.记等差数列的前项和为 .若则(　　)

A．16　　　         B．24             C． 36　　    D． 48

5.在，则∠等于(　　)

A．30°或150°        B．60°         C．60°或120°     D．30°

6. 已知一个等比数列的前项和为48，前项和为60，则前项和为(　　)

A． 63　　　   B． 108　　　   C． 75　　　    D． 83

7.已知锐角的内角的对边分别为等于(　　)

A． 10         B． 9           C． 8           D． 5

8. 若抛物线上有两点，且垂直于轴，若，则抛物线的焦点到直线的距离为(　　)

A．          B．           C．           D．

9. 一只蜂巢里有1只蜜蜂，第1天，它飞出去找回了5个伙伴；第2天，6只蜜蜂飞出去，各自找回了5个伙伴，…，如果这个找伙伴的过程继续下去，第6天所有的蜜蜂都归巢后，蜂巢中一共有蜜蜂(　　)

A．55986只     B．46656只      C．216只       D． 36只

10.已知是抛物线的焦点，是该抛物线上的两点，,则线段 的中点到轴的距离为 （   ）       

A．               B．             C．               D．

11.已知是双曲线的左、右焦点，点在上，与轴垂直，，则的离心率为（   ）       

A．             B．            C．               D．2

12.已知双曲线的两条渐近线与抛物线的准线分别交于两点，为坐标原点．若双曲线的离心率为2，的面积为，则等于(　　)

A．1            B．            C．2             D．3                     

 第Ⅱ卷（非选择题，共90分）

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分.）

13． 命题“若则”的逆否命题为______________.

14．已知各项均为正数的等比数列中，，则的值为______________.

15．设集合S＝{|||}，T＝{}，S∪T＝R，则的取值范围是____________．

16．过双曲线：的右焦点作一条与其渐近线平行的直线，交于点，若点的横坐标为，则的离心率为________．

三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.（本小题满分12分）在锐角中，内角所对的边分别为.已知.

(1)求角的值；

(2)若，且，求的值．

18.（本小题满分12分）求适合下列条件的曲线的标准方程．

(1)经过点，且一条渐近线方程为的双曲线；

(2)两个焦点坐标分别为，并且经过点的椭圆.

19.已知正项等比数列，，与的等比中项为.

（1）求数列的通项公式；

（2）令，数列的前项和为.

20.（本小题满分12分）如图所示，港口在港口正东方向120海里处，小岛在港口北偏东60°方向，且在港口北偏西30°方向上，一艘科学考察船从港口出发，沿北偏东30°的方向以20海里/时的速度行驶，一艘快艇从港口出发，以60海里/时的速度驶向小岛，在岛装运补给物资后给考察船送去，现两船同时出发，补给物资的装船时间为1小时，则快艇驶离港口后，最少要经过多少小时才能和考察船相遇？

21.（本小题满分12分）已知椭圆的离心率为， 的面积为1.

(1)求椭圆的方程；

(2)设是椭圆上一点，直线与轴交于点，直线与轴交于点.求证：为定值．

22.（本小题满分12分）设函数．

    (1)当时，求不等式的解集；

(2)若，求的取值范围．

参考答案（理科）

一、选择题：(每小题5分，共60分)

二、填空题：(每小题5分，共20分)

13.若 中至少有一个为0，则    

14. 100           15.          16.

三、解答题：

17.解：【解析】解　(1)由a＝2csinA及正弦定理，

得＝＝.

∵sinA≠0，∴sinC＝.

又∵△ABC是锐角三角形，∴C＝.…………………………………………5分

(2)　c＝，C＝，

由面积公式，得absin＝，

即ab＝6，①…………………………………………7分

由余弦定理，得a2＋b2－2abcos＝7，

即a2＋b2－ab＝7，②…………………………………………9分

由②变形得(a＋b)2＝3ab＋7，③

将①代入③得(a＋b)2＝25，故a＋b＝5.………………………………12分

18.解：（1）因渐近线为4x＋3y＝0，故可设双曲线的方程为16x2－9y2＝k，

将代入得，k＝225－81＝144.

代入①并整理得－＝1.故所求双曲线的标准方程为－＝1

……………………………6分

（2）因为椭圆的焦点在轴上，所以设它的标准方程为.

     由椭圆的定义知，所以

又因为.

因此，所求椭圆标准方程为 .．．．．．．．．．．．．．．．．．．12

19.（1）因为正项等比数列，所以，设公比为，则.

又因为与的等比中项为，所以，即，由，得，

于是，数列的通项公式为.…………………………………………………4分

（2）由题可知，，……………………………………………………5分

于是，——①

    —②………………………………………6分

由①②，得

…………………………………………8分

.……………………………………………10分

解得………………………………………………………………12分

20解　设快艇驶离港口B后，经过x小时，在OA上的点D处与考察船相遇.如图所示，连接CD，则快艇沿线段BC，CD航行.在△OBC中，由题意得∠BOC＝30°，∠CBO＝60°，

所以∠BCO＝90°.………………………………………………………3分

因为BO＝120，所以BC＝60，OC＝60.

故快艇从港口B到小岛C需要1小时，所以x>1.………………6分

在△OCD中，由题意得∠COD＝30°，OD＝20x，CD＝60(x－2).

由余弦定理，得CD2＝OD2＋OC2－2OD·OCcos∠COD，

所以602(x－2)2＝(20x)2＋(60)2－2×20x×60×cos 30°.

解得x＝3或x＝，因为x>1，所以x＝3.…………10分

所以快艇驶离港口B后，至少要经过3小时才能和考察船相遇.………………………12分

21.(1)解　由题意，得解得

所以椭圆C的方程为＋y2＝1.…………………………………………5分

(2)证明　由(1)知，A(2,0)，B(0,1)．设P(x0，y0)，则＋4＝4.

当x0≠0时，直线PA的方程为y＝(x－2)．………………………6分

令x＝0，得yM＝－，

从而|BM|＝|1－yM|＝|1＋|.

直线PB的方程为y＝x＋1.…………………………………………8分

令y＝0，得xN＝－，

从而|AN|＝|2－xN|＝|2＋|.

所以|AN|·|BM|＝|2＋|·|1＋|＝

＝＝4.…………………………………………10分

当x0＝0时，y0＝－1，|BM|＝2，|AN|＝2.

所以|AN|·|BM|＝4.…………………………………………11分

综上，|AN|·|BM|为定值．…………………………………………12分

22.解：（本小题满分12分）

（1）解析：当时，   可得的解集为

．…………………………………………5分

（2）等价于

    而，且当时等号成立．故等价于．由可得所以的取值范围是…………………………………………10分