2020上饶“山江湖”协作体高二上学期期中联考数学（自招班）试题含答案

高二年级期中联考数学试卷（自招班）

 考试时间：120分钟     总分：150分   

一、单选题（每小题5分，共60分)

1．（5分）已知集合A=，集合B=｛x|lgx≤1｝，则（    ）

A. B.

C. D.

2．（5分）如图，在边长为2的正方形ABCD的内部随机取一点E，则△ABE的面积大于的概率为（）

A． B． 

C． D．

3．（5分）展开式中的常数项为（    ）

A． B． C． D．

4．（5分）执行如图所示的程序框图，如果输入的，则输出的

A．2 B．3 

C．4 D．5

5．（5分）设，若是与的等比中项，则的最小值为（   ）

A.5 B.6 C.7 D.8

6．（5分）在中，，，，则的面积为（）

A． B．4 C． D．

7．（5分）设实数满足约束条件，则的最大值为（  ）

A．1 B．4 C．8 D．16

8．（5分）利用数学归纳法证明“ 且”的过程中，由假设“”成立，推导“”也成立时，该不等式左边的变化是（  ）

A．增加

B．增加

C．增加并减少

D．增加并减少

9．（5分）已知三棱锥的底面是边长为2的等边三角形，平面，且，则该三棱锥外接球的表面积为（    ）

A． B． C． D．

10．（5分）已知圆截直线所得线段的长度是，则圆与圆的位置关系是（    ）

A．内切 B．相交 C．外切 D．相离

11．（5分）将4个不同的小球放入3个不同的盒中，每个盒内至少有1个球，则不同的放法种数为（  ）

A．72 B．48 C．36 D．24

12．（5分）设函数的定义域为，满足，且当时，．若对任意，都有，则的取值范围是（    ）

A． B．

C． D．

二、填空题（每小题5分，共20分)

13．设随机变量～B（2，p），～B（4，p），若，则______.

14．已知随机变量服从正态分布，且,则_______．

15．在中，若，则的外接圆半径，将此结论拓展到空间，可得出的正确结论是：在四面体中，若两两垂直，，则四面体的外接球半径______________．

16．已知正项数列满足，，则数列的前项和为___________．

三、解答题（17题10分，其他每题12分，共70分)

17．已知不等式的解集为．

(1)求，的值；

(2)求函数 的最小值．

18．已知，，分别为三个内角，，的对边，且.

（Ⅰ）求的大小；

（Ⅱ）若，的面积为，求的值．

19．已知等差数列的前项和为，且，公差，，，成等比数列.

（1）求数列的通项公式；

（2）设，求数列的前项和.

20．如图，四棱锥中，，//，，为正三角形. 且.

（Ⅰ）证明：平面平面；

（Ⅱ）若点到底面的距离为2，是线段上一点，且//平面，求四面体的体积.

21．司机在开机动车时使用手机是违法行为，会存在严重的安全隐患，危及自己和他人的生命. 为了研究司机开车时使用手机的情况，交警部门调查了名机动车司机，得到以下统计：在名男性司机中，开车时使用手机的有人，开车时不使用手机的有人；在名女性司机中，开车时使用手机的有人，开车时不使用手机的有人．

（1）完成下面的列联表，并判断是否有的把握认为开车时使用手机与司机的性别有关；

（2）以上述的样本数据来估计总体，现交警部门从道路上行驶的大量机动车中随机抽检3辆，记这3辆车中司机为男性且开车时使用手机的车辆数为，若每次抽检的结果都相互独立，求的分布列和数学期望．

参考公式与数据：

参考数据：

参考公式

，其中.

22．已知动点P与两个定点O（0，0），A（3，0）的距离的比值为2，点P的轨迹为曲线C．

（1）求曲线C的轨迹方程

（2）过点（﹣1，0）作直线与曲线C交于A，B两点，设点M坐标为（4，0），求△ABM面积的最大值．

高二年级期中联考数学试卷（自招班）

参考答案

一、选择题（每小题5分，共60分）

二、填空题（20分）

13．       14．0.01      15．       16．

三、解答题（共70分）

17．（10分）   （1），；（2）.

详解：(1)∵不等式的解集为

∴1和是方程的两根  ,∴ 解得，.

(2)由(1)得, 

当且仅当，即时，函数有最小值8．

点睛：（1）利用一元二次不等式的解集与相应的一元二次方程的实数根的关系即可求出结果；（2）将的值代入，利用对勾函数的单调性也可以求得结果，也可以利用基本不等式求解.

18．(1) ;(2) .

（Ⅰ）由已知及正弦定理得，

因为 ，所以，即

又，   ，所以.

（Ⅱ）由已知，  

由余弦定理得  ，即，

即，又所以.

19．（1）；（2）.

【详解】（1）∵，，成等比数列，

∴，即，

∴，又，  ∴，∴  ，

故.

（2）由（1）得，

∴，

∴.

20．（1）见解析（2）

【详解】

（Ⅰ）证明：，且，，又为正三角形，所以，又，，所以，

又，//，，，

所以平面，又因为平面，

所以平面平面.

（Ⅱ）如图，连接，交于点，因为//，

且，所以，连接，

因为//平面，所以//，则，

由（Ⅰ）点到平面的距离为2，

所以点到平面的距离为，

所以，

即四面体的体积为.

21．（1）列联表见解析，有；（2）分布列见解析，.

【详解】

（1）由已知数据可得列联表如下：

有的把握认为开车时使用手机与司机的性别有关

（2）随机抽检辆，司机为男性且开车时使用手机的概率

有题意可知：可取值是，且

；；

；

则的分布列为：

数学期望

22．（1）；（2）2

【详解】

（1）设点，,即，

，即，

曲线的方程为．

（2）由题意可知，直线的斜率存在，设直线方程为，

由（1）可知，点是圆的圆心，

点到直线的距离为，由得，即，

又，

所以，

令，所以，，

则，

所以，

当，即，此时，符合题意，

即时取等号，所以面积的最大值为.

高二年级期中联考数学试卷（自招班）

参考答案

一、选择题（每小题5分，共60分）

二、填空题（20分）

13．       14．0.01      15．       16．

三、解答题（共70分）

17．（10分）   （1），；（2）.

详解：(1)∵不等式的解集为

∴1和是方程的两根  ,∴ 解得，.

(2)由(1)得, 

当且仅当，即时，函数有最小值8．

点睛：（1）利用一元二次不等式的解集与相应的一元二次方程的实数根的关系即可求出结果；（2）将的值代入，利用对勾函数的单调性也可以求得结果，也可以利用基本不等式求解.

18．(1) ;(2) .

（Ⅰ）由已知及正弦定理得，

因为 ，所以，即

又，   ，所以.

（Ⅱ）由已知，  

由余弦定理得  ，即，

即，又所以.

19．（1）；（2）.

【详解】（1）∵，，成等比数列，

∴，即，

∴，又，  ∴，∴  ，

故.

（2）由（1）得，

∴，

∴.

20．（1）见解析（2）

【详解】

（Ⅰ）证明：，且，，又为正三角形，所以，又，，所以，

又，//，，，

所以平面，又因为平面，

所以平面平面.

（Ⅱ）如图，连接，交于点，因为//，

且，所以，连接，

因为//平面，所以//，则，

由（Ⅰ）点到平面的距离为2，

所以点到平面的距离为，

所以，

即四面体的体积为.

21．（1）列联表见解析，有；（2）分布列见解析，.

【详解】

（1）由已知数据可得列联表如下：

有的把握认为开车时使用手机与司机的性别有关

（2）随机抽检辆，司机为男性且开车时使用手机的概率

有题意可知：可取值是，且

；；

；

则的分布列为：

数学期望

22．（1）；（2）2

【详解】

（1）设点，,即，

，即，

曲线的方程为．

（2）由题意可知，直线的斜率存在，设直线方程为，

由（1）可知，点是圆的圆心，

点到直线的距离为，由得，即，

又，

所以，

令，所以，，

则，

所以，

当，即，此时，符合题意，

即时取等号，所以面积的最大值为.