2021吉化一中校高一第二学期第一次月考数学试卷PDF版含答案

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数学答案第I卷（选择题）一、单选题1．已知是虚数单位，复数，则复数的虚部是（ ）A． B． C． D．2【答案】C【解析】试题分析：复数,复数,则复数的虚部: ,故选C. 考点：1、复数代数形式的乘除运算；2、复数的基本慨念.2．已知向量，，若与的夹角为钝角，则的取值范围是（ ）.A． B． C． D．【答案】A【分析】根据题意可知，且不共线，列式即可解出．【详解】依题可得，且不共线，即，解得且．故选：A．【点睛】本题主要考查向量的数量积的定义的理解和应用，数量积的坐标表示以及向量不共线的坐标表示，属于基础题．3．在中，若点满足，点为的中点，则（ ）A． B．C． D．【答案】A【分析】利用平面向量的线性运算和平面向量基本定理即可求解.【详解】.故选：A4．已知向量，，，若，则（ ）A． B． C． D．【答案】B【详解】由题设可得，因为，故，解得，所以，故.故选：B5．如图，某人在一条水平公路旁的山顶P处测得小车在A处的俯角为，该小车在公路上由东向西匀速行驶分钟后，到达B处，此时测得俯角为．已知小车的速度是，且，则此山的高（ ）A． B． C． D．【答案】A【分析】由题意作图可得，，设，在，中求出，，在中，由余弦定理列方程即可求解.【详解】由题意可知：平面，，，，设，在中，，，所以，在中，，，所以，在中，由余弦定理可得：，所以，即，解得：，所以山的高，故选：A.6．已知方程其中，则在复数范围内关于该方程的根的结论正确的是( )A．该方程一定有一对共轭虚根B．该方程可能有两个正实根C．该方程两根的实部之和等于-2D．若该方程有虚根，则其虚根的模一定小于1【答案】C【解析】【分析】一元二次方程的根与判别式有关,令即可判断有实数根的情况;当时,求得两个虚数根,即可判断选项.【详解】因为方程,判别式当时,即时方程有实数根.所以A错误;由韦达定理可知两个实数根的和为,所以不可能有两个正实数根,所以B错误;当时,方程有两个虚数根,由求根公式可得,所以两个根的实部和为；虚数根的模为,模长一定大于1,所以D错误综上可知,C选项正确故选:C【点睛】本题考查了一元二次方程的在与时根的分布情况,虚数根的求法,属于基础题.7．已知复数z满足|z|＝2，则|z＋3－4i|的最小值是（ ）A．5 B．2 C．7 D．3【答案】D【分析】利用复数模的几何意义，将复数模的最小值问题转化为动点到两定点的距离差最小，即可求最小值.【详解】|z|＝2表示复数z在圆上，而|z＋3－4i|表示圆上的点到(－3,4)的距离，∴当且仅当复数z所在的点在原点与(－3,4)构成的线段上，|z＋3－4i|的最小.故|z＋3－4i|的最小值为.故选：D8．在中，角的对边分别为，已知，且，点满足，，则的面积为（ ）A． B． C． D．【答案】D【分析】运用正弦定理和余弦定理将角统一成边，再利用向量的数量积运算和三角形的面积公式结合求解.【详解】由，可得，即.又，所以．因为，所以点为的重心，所以，所以，两边平方得．因为，所以，于是，所以，的面积为.因为的面积是面积的倍.故的面积为．【点睛】本题关键在于运用向量的平方可以转化到向量的夹角的关系，再与三角形的面积公式相结合求解，属于难度题.二、多选题9．(多选题)已知向量和实数λ，下列选项中正确的是（ ）A． B．C． D．【答案】ACD【分析】根据数量积公式结合选项一一判断即可.【详解】选项A中，，A正确；选项B中，，其中θ为a与b的夹角，故B错；选项C中，满足分配律，C正确；选项D中，，正确.故选：ACD10．的内角的对边分别为.若，则结合的值解三角形有两解，则的值可以为（ ）A． B． C． D．【答案】BC【分析】根据正弦定理可得，再根据三角形有两解可得且，即可求解.【详解】由正弦定理可得：，所以，因为有两解，所以且，所以，，可得，所以和符合题意，故选：BC.11．下面关于复数的四个命题中，结论正确的是（ ）A．若复数，则 B．若复数满足，则C．若复数满足，则 D．若复数，满足，则【答案】AC【分析】根据复数的运算法则，以及复数的类型，逐项判断，即可得出结果.【详解】A选项，设复数，则，因为，所以，因此，即A正确；B选项，设复数，则，因为，所，若，则；故B错；C选项，设复数，则，因为，所以，即，所以；故C正确；D选项，设复数，，则，因为，所以，若，能满足，但，故D错误.故选：AC.【点睛】本题主要考查复数相关命题的判断，熟记复数的运算法则即可，属于常考题型.12．(多选题)已知是不共线的向量，下列向量共线的有（ ）A．B． C．D．【答案】BC【分析】根据向量的共线条件，以及向量的共线定理，逐项判定，即可求解.【详解】因为是不共线的向量，所以都不是零向量，对于A中，若与共线，则向量为共线向量，与已知矛盾，所以与不共线；对于B中，因为，所以与共线；对于C中，因为，所以与共线；对于D中，若与共线，则存在事实，使得，即，所以，因为是不共线的向量，所以，此时方程组无解，即不存在使得与共线.故选：BC.第II卷（非选择题）三、填空题13．已知向量，，若，则__________.【答案】【分析】根据向量的垂直，则数量积，代入向量坐标即可得解.【详解】由可得：，所以.故答案为：.14．若是方程的一个根，则______.【答案】38；【分析】假设另外一个根为，根据是实数，结合韦达定理，可得结果.【详解】假设另外一个根为，是方程的一个根，则 ①由，可知是的共轭复数，所以 ②把②代入①可知所以故答案为：38【点睛】本题重在考查是实数，掌握复数共轭复数的形式，属基础题15．设分别是的内角所对的边，已知，则角的大小为______．【答案】【分析】利用正弦定理和三角形内角和为，结合两角和的正弦公式化简，得出角的大小．【详解】由正弦定理可得，，即化简得，又，则，即角的大小为故答案为：四、双空题16．已知||＝2||＝2，是与方向相同的单位向量，且向量在向量方向上的投影向量为.（1）与的夹角θ＝________；（2）若向量λ＋与向量－3互相垂直，则λ＝________.【答案】 . 【分析】（1）利用投影向量的定义可求夹角的余弦值，从而可求夹角的大小.（2）利用两个向量的数量积为0可得关于的方程，其解即为所求的的值.【详解】（1）由题意知.又在方向上的投影向量为，所以，故，而，故.（2）因为与互相垂直,所以即，整理得到，故.【点睛】结论点睛：如果，那么：（1）若，则；（2）若，则.五、解答题17．已知复数.（1）若对应复平面上的点在第四象限，求m的范围；（2）若是纯虚数，求m的值.【答案】（1）（2）【分析】（1）实部大于零且虚部小于零得出m的范围；（2）实部等于零且虚部不为零得出m的范围；【详解】（1）由题意可得，解得（2）由题意可得，解得18．已知向量与的夹角为，，.（1）若；（2）若，求实数t的值.【答案】（1）；（2）3【分析】（1）先求出，再求出，即可得出结果；（2）由题可得，由此可求出.【详解】（1）向量与的夹角为，，，，，；（2），，即，，解得.19．已知复数.（1）若在复平面中所对应的点在直线上，求的值；（2）求的取值范围.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）化简，得在复平面中所对应的点的坐标，代入直线计算；（2）代入模长公式表示出，再利用二次函数的性质求解最值即可.【详解】（1）化简得，所以在复平面中所对应的点的坐标为，在直线上，所以，得.（2），因为，且，所以，所以的取值范围为.20．如图，G是△OAB的重心，P，Q分别是边OA、OB上的动点，且P，G，Q三点共线．(1)设，将用，，表示；(2)设，，证明：是定值．【答案】（1）见解析；（2）见解析【分析】（1）寻找包含的图形，利用向量的加法法则知 ，再根据和 即可（2）根据（1）结合，知： ，再根据是 的重心知： ，最后根据 不共线得到关于 的方程组即可求解【详解】(1)解　＝＋＝＋λ＝＋λ(－)＝(1－λ)＋λ.(2)证明　一方面，由(1)，得＝(1－λ)＋λ＝(1－λ)x＋λy；①另一方面，∵G是△OAB的重心，∴＝＝× (＋)＝＋.②而，不共线，∴由①②，得解得∴＋＝3(定值)．【点睛】本题考查了向量的加减法，三角形的重心的性质，平面向量的定值问题，属于基础题．21．某人在池塘南岸A处看到北岸两个警示牌C、D分别在北偏东45°和北偏东30°方向，此人向东走了一段距离到达B处后再次观察警示牌C、D，此时二者分别在北偏西15°和北偏西60°方向，已知米.（1）设米，求；（用x表示）（2）求此人向东实际走了多少米?【答案】（1） ；（2）此人向东实际走了米.【分析】（1）在中，用正弦定理求；（2）是直角三角形，用表示，在中，用余弦定理列出方程，可解得．【详解】（1）在中，，，∴，∵， ；（2）在中，，，∴，由（1）知，∵，∴ ，在中，，，，，∴，∴，即，解得米，答：此人向东实际走了米．【点睛】本题考查正弦定理和余弦定理的应用，正确认识方位角是解题关键．22．设的、、所对的边分别为、、，且.(1)求的大小；(2)若，求内切圆半径的最大值.【答案】（1）（2）【解析】【详解】（1）由正弦定理得.又，故原式变为.而是三角形内角，故.（2）由，且，得 .而由余弦定理得 .于是，.又因为，所以，.从而，.因此，.上式当且仅当，即为等边三角形时取得.