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2021长沙望城区高一上学期期末考试数学试题含解析
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长沙市望城区2020年下期普通高中期末质量调研检测高一数学一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 已知集合，，则（ ）A. B. C. D. 2. 命题“存在一个无理数，它平方是有理数”的否定是（ ）A. 任意一个无理数，它的平方不是有理数 B. 任意一个无理数，它的平方是有理数C. 存在一个无理数，它的平方是有理数 D. 存在一个无理数，它的平方不是有理数3. 将函数的图像向左平移个单位后，与函数的图像重合，则函数（ ）．A. B. C. D. 4. 函数f（x）=lnx+3x-4的零点所在的区间为（ ）A. B. C. D. 5. “”是“”的（ ）A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件6. 酒驾是严重危害交通安全的违法行为．为了保障交通安全，根据国家有关规定：100mL血液中酒精含量低于20mg的驾驶员可以驾驶汽车，酒精含量达到20～79mg的驾驶员即为酒后驾车，80mg及以上认定为醉酒驾车．假设某驾驶员喝了一定量的酒后，其血液中的酒精含量上升到了1mg/mL．如果在停止喝酒以后，他血液中酒精含量会以每小时30%的速度减少，那么他至少经过几个小时才能驾驶汽车？（ ）（参考数据：lg0.2≈﹣0.7，1g0.3≈﹣0.5，1g0.7≈﹣0.15，1g0.8≈﹣0.1）A. 1 B. 3 C. 5 D. 77. 若，则（ ）A. B. C. D. 8. 已知函数，若互不相等，且，则的取值范围是（ ）A. B. C. D. 二、多选题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．9. 已知幂函数图像经过点，则下列命题正确的有（ ）A. 函数为增函数 B. 函数为偶函数C. 若，则 D. 若，则10. 下列结论正确的是（ ）A. 若，则 B. 若，则C. 若，则 D. 函数有最小值211. 已知函数，则以下结论恒成立的是（ ）A. B. C D. 12. 符号表示不超过的最大整数，如，，定义函数:，则下列命题正确的是（ ）A. B. 当时，C. 函数的定义域为，值域为 D. 函数是增函数､奇函数三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13. 已知角第三象限，且，则_________．14. 函数的值域为_________．15. 已知函数的定义域为______．16. 已知函数（其中为常数，且）有且仅有3个零点，则的最小值是_________．四、解答题：本大题共6小题，满分70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17. 近年来，我国部分地区遭遇雾霾天气，给人们的健康、交通安全等带来了严重影响．经研究发现，工业废气等污染物排放是雾霾形成和持续的重要因素，污染治理刻不容缓．为此，某工厂新购置并安装了先进的废气处理设备，使产生的废气经过过滤后排放，以降低对空气的污染．已知过滤过程中废气的污染物数量P（单位：）与过滤时间t（单位：h）间的关系为（，k均为非零常数，e为自然对数的底数），其中为时的污染物数量．若经过过滤后还剩余的污染物．（1）求常数k的值；（2）试计算污染物减少到至少需要多长时间．（精确到）（参考数据：）18. 已知函数（1）用“五点法”作出函数在一个周期内的简图；（2）写出函数的单调递减区间、对称中心坐标和对称轴方程．19. 已知函数．（1）当时；解不等式；（2）若，解关于x的不等式．20. 如图，在扇形中，半径，圆心角，B是扇形弧上动点，矩形内接于扇形．记，求当角取何值时，矩形的面积最大？并求出这个最大值．21. 某地为了鼓励节约用电，采用分段计费的方法计算用户的电费：每月用电量不超过，按0.58元/计费；每月用电量超过，其中仍按原标准收费，超过部分按0.98元/计费．（1）设月用电，应交电费y元，写出y关于x的函数关系式；（2）小王家第四季度用电，共交电费2065元，其中10月份电费49.3元，若已知12月份用电超过，问小王家10月，11月和12月各用电多少？22. 已知函数（且）是奇函数，且．（1）求的值及的定义域；（2）设函数有零点，求常数k的取值范围；（3）若，求t的取值范围． 长沙市望城区2020年下期普通高中期末质量调研检测高一数学（解析版）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 已知集合，，则（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】试题分析：由题意知，故选B.【考点定位】本题考查集合的基本运算，属于容易题.2. 命题“存在一个无理数，它的平方是有理数”的否定是（ ）A. 任意一个无理数，它的平方不是有理数 B. 任意一个无理数，它的平方是有理数C. 存在一个无理数，它的平方是有理数 D. 存在一个无理数，它的平方不是有理数【答案】A【解析】【分析】特称命题否定为全称命题，改量词否结论【详解】解：命题“存在一个无理数，它的平方是有理数”的否定为“任意一个无理数，它的平方不是有理数”，故选：A3. 将函数的图像向左平移个单位后，与函数的图像重合，则函数（ ）．A. B. C. D. 【答案】D【解析】分析：根据图像平移即得解析式.详解：由题意可知，故选．点睛：三角函数的图象变换，提倡“先平移，后伸缩”，但“先伸缩，后平移”也常出现在题目中，所以也必须熟练掌握.无论是哪种变形，切记每一个变换总是对字母而言.4. 函数f（x）=lnx+3x-4的零点所在的区间为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据函数零点的判定定理可得函数的零点所在的区间．【详解】解：函数在其定义域上单调递增，（2），（1），（2）（1）．根据函数零点的判定定理可得函数的零点所在的区间是，故选．【点睛】本题考查求函数的值及函数零点的判定定理，属于基础题．5. “”是“”的（ ）A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】判断由“”能否推出“”和由“”能否推出“”即得结果.【详解】“”不一定能推出“”，如，，，时，由“”推出“且”， ，所以则“”是“”的必要不充分条件．故选：．【点睛】结论点睛：本题考查充分不必要条件的判断，一般可根据如下规则判断：（1）若是的必要不充分条件，则对应集合是对应集合的真子集；（2）是的充分不必要条件， 则对应集合是对应集合的真子集；（3）是的充分必要条件，则对应集合与对应集合相等；（4）是的既不充分又不必要条件， 对的集合与对应集合互不包含．6. 酒驾是严重危害交通安全的违法行为．为了保障交通安全，根据国家有关规定：100mL血液中酒精含量低于20mg的驾驶员可以驾驶汽车，酒精含量达到20～79mg的驾驶员即为酒后驾车，80mg及以上认定为醉酒驾车．假设某驾驶员喝了一定量的酒后，其血液中的酒精含量上升到了1mg/mL．如果在停止喝酒以后，他血液中酒精含量会以每小时30%的速度减少，那么他至少经过几个小时才能驾驶汽车？（ ）（参考数据：lg0.2≈﹣0.7，1g0.3≈﹣0.5，1g0.7≈﹣0.15，1g0.8≈﹣0.1）A. 1 B. 3 C. 5 D. 7【答案】C【解析】【分析】根据题意先探究出酒精含量递减规律，再根据能驾车的要求，列出模型 求解.【详解】因为1小时后血液中酒精含量为（1-30%）mg/mL,x小时后血液中酒精含量为（1-30%）x mg/mL的，由题意知100mL血液中酒精含量低于20mg的驾驶员可以驾驶汽车，所以，，两边取对数得， ， ，所以至少经过5个小时才能驾驶汽车.故选：C【点睛】本题主要考查了指数不等式与对数不等式的解法，还考查了转化化归的思想及运算求解的能力，属于基础题.7. 若，则（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】由展开计算正余弦值代入可得答案.【详解】因为，所以，，因为，所以，又因为，所以，而，.故选：A.【点睛】三角函数式的化简要遵循“三看”原则：（1）一看“角”，这是最重要的一环，通过看角之间的区别和联系，把角进行合理的拆分，从而正确使用公式；（2）而看“函数名称”看函数名称之间的差异，从而确定使用公式，常见的有“切化弦”；（3）三看“结构特征”，分析结构特征，可以帮助我们找到变形的方向，如“遇到分式通分”等.8. 已知函数，若互不相等，且，则的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】在同一个坐标系内作出和y=m,根据有三个交点，判断0
长沙市望城区2020年下期普通高中期末质量调研检测高一数学一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 已知集合，，则（ ）A. B. C. D. 2. 命题“存在一个无理数，它平方是有理数”的否定是（ ）A. 任意一个无理数，它的平方不是有理数 B. 任意一个无理数，它的平方是有理数C. 存在一个无理数，它的平方是有理数 D. 存在一个无理数，它的平方不是有理数3. 将函数的图像向左平移个单位后，与函数的图像重合，则函数（ ）．A. B. C. D. 4. 函数f（x）=lnx+3x-4的零点所在的区间为（ ）A. B. C. D. 5. “”是“”的（ ）A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件6. 酒驾是严重危害交通安全的违法行为．为了保障交通安全，根据国家有关规定：100mL血液中酒精含量低于20mg的驾驶员可以驾驶汽车，酒精含量达到20～79mg的驾驶员即为酒后驾车，80mg及以上认定为醉酒驾车．假设某驾驶员喝了一定量的酒后，其血液中的酒精含量上升到了1mg/mL．如果在停止喝酒以后，他血液中酒精含量会以每小时30%的速度减少，那么他至少经过几个小时才能驾驶汽车？（ ）（参考数据：lg0.2≈﹣0.7，1g0.3≈﹣0.5，1g0.7≈﹣0.15，1g0.8≈﹣0.1）A. 1 B. 3 C. 5 D. 77. 若，则（ ）A. B. C. D. 8. 已知函数，若互不相等，且，则的取值范围是（ ）A. B. C. D. 二、多选题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．9. 已知幂函数图像经过点，则下列命题正确的有（ ）A. 函数为增函数 B. 函数为偶函数C. 若，则 D. 若，则10. 下列结论正确的是（ ）A. 若，则 B. 若，则C. 若，则 D. 函数有最小值211. 已知函数，则以下结论恒成立的是（ ）A. B. C D. 12. 符号表示不超过的最大整数，如，，定义函数:，则下列命题正确的是（ ）A. B. 当时，C. 函数的定义域为，值域为 D. 函数是增函数､奇函数三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13. 已知角第三象限，且，则_________．14. 函数的值域为_________．15. 已知函数的定义域为______．16. 已知函数（其中为常数，且）有且仅有3个零点，则的最小值是_________．四、解答题：本大题共6小题，满分70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17. 近年来，我国部分地区遭遇雾霾天气，给人们的健康、交通安全等带来了严重影响．经研究发现，工业废气等污染物排放是雾霾形成和持续的重要因素，污染治理刻不容缓．为此，某工厂新购置并安装了先进的废气处理设备，使产生的废气经过过滤后排放，以降低对空气的污染．已知过滤过程中废气的污染物数量P（单位：）与过滤时间t（单位：h）间的关系为（，k均为非零常数，e为自然对数的底数），其中为时的污染物数量．若经过过滤后还剩余的污染物．（1）求常数k的值；（2）试计算污染物减少到至少需要多长时间．（精确到）（参考数据：）18. 已知函数（1）用“五点法”作出函数在一个周期内的简图；（2）写出函数的单调递减区间、对称中心坐标和对称轴方程．19. 已知函数．（1）当时；解不等式；（2）若，解关于x的不等式．20. 如图，在扇形中，半径，圆心角，B是扇形弧上动点，矩形内接于扇形．记，求当角取何值时，矩形的面积最大？并求出这个最大值．21. 某地为了鼓励节约用电，采用分段计费的方法计算用户的电费：每月用电量不超过，按0.58元/计费；每月用电量超过，其中仍按原标准收费，超过部分按0.98元/计费．（1）设月用电，应交电费y元，写出y关于x的函数关系式；（2）小王家第四季度用电，共交电费2065元，其中10月份电费49.3元，若已知12月份用电超过，问小王家10月，11月和12月各用电多少？22. 已知函数（且）是奇函数，且．（1）求的值及的定义域；（2）设函数有零点，求常数k的取值范围；（3）若，求t的取值范围． 长沙市望城区2020年下期普通高中期末质量调研检测高一数学（解析版）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 已知集合，，则（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】试题分析：由题意知，故选B.【考点定位】本题考查集合的基本运算，属于容易题.2. 命题“存在一个无理数，它的平方是有理数”的否定是（ ）A. 任意一个无理数，它的平方不是有理数 B. 任意一个无理数，它的平方是有理数C. 存在一个无理数，它的平方是有理数 D. 存在一个无理数，它的平方不是有理数【答案】A【解析】【分析】特称命题否定为全称命题，改量词否结论【详解】解：命题“存在一个无理数，它的平方是有理数”的否定为“任意一个无理数，它的平方不是有理数”，故选：A3. 将函数的图像向左平移个单位后，与函数的图像重合，则函数（ ）．A. B. C. D. 【答案】D【解析】分析：根据图像平移即得解析式.详解：由题意可知，故选．点睛：三角函数的图象变换，提倡“先平移，后伸缩”，但“先伸缩，后平移”也常出现在题目中，所以也必须熟练掌握.无论是哪种变形，切记每一个变换总是对字母而言.4. 函数f（x）=lnx+3x-4的零点所在的区间为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据函数零点的判定定理可得函数的零点所在的区间．【详解】解：函数在其定义域上单调递增，（2），（1），（2）（1）．根据函数零点的判定定理可得函数的零点所在的区间是，故选．【点睛】本题考查求函数的值及函数零点的判定定理，属于基础题．5. “”是“”的（ ）A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】判断由“”能否推出“”和由“”能否推出“”即得结果.【详解】“”不一定能推出“”，如，，，时，由“”推出“且”， ，所以则“”是“”的必要不充分条件．故选：．【点睛】结论点睛：本题考查充分不必要条件的判断，一般可根据如下规则判断：（1）若是的必要不充分条件，则对应集合是对应集合的真子集；（2）是的充分不必要条件， 则对应集合是对应集合的真子集；（3）是的充分必要条件，则对应集合与对应集合相等；（4）是的既不充分又不必要条件， 对的集合与对应集合互不包含．6. 酒驾是严重危害交通安全的违法行为．为了保障交通安全，根据国家有关规定：100mL血液中酒精含量低于20mg的驾驶员可以驾驶汽车，酒精含量达到20～79mg的驾驶员即为酒后驾车，80mg及以上认定为醉酒驾车．假设某驾驶员喝了一定量的酒后，其血液中的酒精含量上升到了1mg/mL．如果在停止喝酒以后，他血液中酒精含量会以每小时30%的速度减少，那么他至少经过几个小时才能驾驶汽车？（ ）（参考数据：lg0.2≈﹣0.7，1g0.3≈﹣0.5，1g0.7≈﹣0.15，1g0.8≈﹣0.1）A. 1 B. 3 C. 5 D. 7【答案】C【解析】【分析】根据题意先探究出酒精含量递减规律，再根据能驾车的要求，列出模型 求解.【详解】因为1小时后血液中酒精含量为（1-30%）mg/mL,x小时后血液中酒精含量为（1-30%）x mg/mL的，由题意知100mL血液中酒精含量低于20mg的驾驶员可以驾驶汽车，所以，，两边取对数得， ， ，所以至少经过5个小时才能驾驶汽车.故选：C【点睛】本题主要考查了指数不等式与对数不等式的解法，还考查了转化化归的思想及运算求解的能力，属于基础题.7. 若，则（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】由展开计算正余弦值代入可得答案.【详解】因为，所以，，因为，所以，又因为，所以，而，.故选：A.【点睛】三角函数式的化简要遵循“三看”原则：（1）一看“角”，这是最重要的一环，通过看角之间的区别和联系，把角进行合理的拆分，从而正确使用公式；（2）而看“函数名称”看函数名称之间的差异，从而确定使用公式，常见的有“切化弦”；（3）三看“结构特征”，分析结构特征，可以帮助我们找到变形的方向，如“遇到分式通分”等.8. 已知函数，若互不相等，且，则的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】在同一个坐标系内作出和y=m,根据有三个交点，判断0
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