2020大理州祥云县高一下学期期末统测数学（理）试题含答案

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祥云县2019～2020学年下学期期末统测试卷

高一理科数学

本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．第Ⅰ卷第1页至第2页，第Ⅱ卷第3页至第4页．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．满分150分，考试用时120分钟．

第Ⅰ卷(选择题，共60分)

注意事项：

1．答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚．

2．每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．在试题卷上作答无效．

一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)

1．设U＝{1，2，3，4，5}，A＝{1，2，3}，B＝{2，3，4}，则下列结论中正确的是

A．A⊆B    B．A∩B＝{2}

C．A∪B＝{1，2，3，4，5}    D．A∩(∁UB)＝{1}

2．设有一个回归直线方程为＝2－1.5x，则变量x每增加1个单位长度，变量y

A．平均增加1.5个单位长度    B．平均增加2个单位长度

C．平均减少1.5个单位长度    D．平均减少2个单位长度

3．已知函数f(x)＝若f(a)＝10，则a的值是

A．－3或5    B．3或－3

C．－3    D．3或－3或5

4．将函数y＝cos x的图象先左移，再纵坐标不变，横坐标缩为原来的，所得图象的解析式为

A．y＝sin     B．y＝sin

C．y＝sin     D．y＝sin

5．下列命题中正确的个数是

①若直线a不在α内，则a∥α；

②若直线l上有无数个点不在平面α内，则l∥α；

③若直线l与平面α平行，则l与α内的任意一条直线都平行；

④若l与平面α平行，则l与α内任何一条直线都没有公共点；

⑤平行于同一平面的两直线可以相交．

A．1    B．2    C．3    D．4

6．已知一组数据x1，x2，x3，x4，x5的平均数是2，方差是，那么另一组数3x1－2，3x2－2，3x3－2，3x4－2，3x5－2的平均数、方差分别是

A．2，    B．2，1

C．4，3    D．4，

7．下列各组事件中，不是互斥事件的是

A．一个射手进行一次射击，命中环数大于8与命中环数小于6

B．统计一个班级数学期中考试成绩，平均分数低于90分与平均分数高于90分

C．播种菜籽100粒，发芽90粒与至少发芽80粒

D．检查某种产品，合格率高于70%与合格率为70%

8．已知a→＝(1，2)，2a→－b→＝(3，1)，则a→·b→＝

A．2    B．3

C．4    D．5

9．已知O，A，B三点不共线，∠AOB＝θ，若|＋|<|－|，则

A．sin θ>0，cos θ>0    B．sin θ>0，cos θ<0

C．sin θ<0，cos θ>0    D．sin θ<0，cos θ<0

图1

10．某几何体的三视图如图1所示，其外接球的体积为

A．24π

B．8π

C．6π

D．π

11．已知向量＝(－1，1)，＝(1，3)(O为坐标原点)，若动点P满足·＝0，则||的取值范围是

A．[－1，]    B．[－1，＋1]

C．[2－，2＋]    D．[，＋1]

12．已知奇函数f(x)＝A cos (ωx＋φ)(A＞0，ω＞0，0＜φ＜π)的部分图象如图2所示，点M的坐标为(1，0)且△MNE为等腰直角三角形，当A取最大值时，f等于

图2

A．－    B．－

C．－    D．－1

第Ⅱ卷(非选择题，共90分)

注意事项：

第Ⅱ卷用黑色碳素笔在答题卡上各题的答题区域内作答，在试题卷上作答无效．

二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)

图3

13．计算cos 960°的值为________．

14．已知函数f(x)的图象如图3所示，设函数g(x)＝logf(x)，则函数g(x＋1)的定义域是________．

15．函数y＝f(x)是定义在R上的奇函数，且恒有f(x＋2)＝－f(x)，则f(2018)＝________．

16．已知b>a>1，若logab－logba＝，ab＝ba，则a－b＝________．

三、解答题(共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)

17．(本小题满分10分)

已知tan θ＝2，计算：

(Ⅰ)；

(Ⅱ)sin θcos θ.

18．(本小题满分12分)

已知函数f(x)＝a＋的图象过点.

(Ⅰ)判断函数f(x)的奇偶性，并说明理由；

(Ⅱ)若－≤f(x)≤0，求实数x的取值范围．

19．(本小题满分12分)

已知函数f(x)＝x2－2(a－2)x－b2＋13.

(Ⅰ)先后两次抛掷一枚质地均匀的骰子(骰子六个面上分别标有数字1，2，3，4，5，6)，骰子向上的数字一次记为a，b，求方程f(x)＝0有两个不等正根的概率；

(Ⅱ)如果a∈[2，6]，求函数f(x)在区间[2，3]上是单调函数的概率．

20．(本小题满分12分)

如图4，四边形ABCD为矩形，且AD＝2，AB＝1，PA⊥平面ABCD，PA＝1，E为BC的中点．

图4

(Ⅰ)求证：PE⊥DE；

(Ⅱ)求三棱锥C－PDE的体积；

(Ⅲ)探究在PA上是否存在点G，使得EG∥平面PCD，并说明理由．

21．(本小题满分12分)

已知圆C：(x－2)2＋(y－3)2＝2.

(Ⅰ)过原点O的直线l被圆C所截得的弦长为2，求直线l的方程；

(Ⅱ)过C外的一点P向圆C引切线PA，A为切点，O为坐标原点，若|PA|＝|OP|，求使|PA|最短时的点P的坐标．

22．(本小题满分12分)

已知函数f(x)＝sin (2ωx＋φ)的最小正周期为π，它的一个对称中心为.

(Ⅰ)求函数y＝f(x)的解析式；

(Ⅱ)当x∈时，方程f(x)＝2a－3有两个不等的实根，求实数a的取值范围；

(Ⅲ)若方程f(x)＝在(0，π)上的解为x1，x2，求cos (x1－x2).

祥云县2019~2020学年下学期期末统测试卷

高一理科数学参考答案

第Ⅰ卷（选择题，共60分）

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）

【解析】

1．因为但，所以A不对；因为，所以B不对；因为，

所以C不对；经检验，D是正确的，故选D．

2．因为，所以变量y值平均减少1.5个单位长度，故选C．

3．若，则；若，则，

综上可得，或，故选A．

4．向左平移个单位，故变为，纵坐标不变，横坐标缩为原来的，变为，故选D．

5．①若直线a不在α内，则a∥α或a与α相交，故此命题错误；②若直线l上有无数个点不在平面α内，则l∥α或a与α相交，故此命题错误；③若直线l与平面α平行，则l与α内的任意一条直线平行或异面，故此命题错误；④若l与平面α平行，则l与α内任何一条直线都没有公共点，正确；⑤平行于同一平面的两直线可以相交，正确，故选B．

6．由题意可得，

则新数据的平均数为

，方差为，故选C．

7．在选项C中，由于事件“发芽90粒”与事件“至少发芽80粒”能同时发生，故两事件不是互斥事件，故选C．

8．，所以，故选D．

9．因为，所以，即

，所以，所以，又O，A，B三点不共线，所以，所以，故选B．

10．如图1，在长方体中画出该几何体，易得为三棱锥，且三棱锥与该长方体外接球相同．又长方体体对角线等于外接球直径，故，故外接球体积，故选D．

11．由题意可知点，设点P的坐标为，所以，，因为，所以，化简得，即，所以点P在以为圆心，半径为的圆上，点O在圆外，所以，故选C．

12．由题意，是奇函数，可得，，可得，其周期．∵图象过点M的坐标为，可得，那么．由三角函数性质可得：E的坐标为，∵△MNE为等腰直角三角形，又，当时，ω取得最小值为π，此时A最大为．

∴函数，那么，故选A．

第Ⅱ卷（非选择题，共90分）

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

【解析】

13．．

14．，因此定义域是．

15．，故是周期函数且周期为4，故，又是定义在R上的奇函数，且周期为4，，所以，故．

16．，因为，故，则，解得，则．

三、解答题（共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17．（本小题满分10分）

解：（Ⅰ）原式．

………………………………………………………………………………………（5分）

（Ⅱ）原式．………………（10分）

18．（本小题满分12分）

解：（Ⅰ）因为的图象过点，

所以，解得，………………………………………………………（2分）

所以的定义域为R．

因为，

所以是奇函数．……………………………………………………………………（6分）

（Ⅱ）因为，所以，

所以，

所以，

所以，………………………………………………………………………（10分）

解得．………………………………………………………………………（12分）

19．（本小题满分12分）

解：（Ⅰ）如果先后抛掷的一枚均匀的骰子所得的向上的点数记为，

则基本事件总数，…………………………………………………………（1分）

设事件A表示“有两个不等正根”，

则事件A满足：

满足事件A的基本事件有：，共有个，

………………………………………………………………………………………（4分）

∴方程有两个不等正根的概率．

………………………………………………………………………………………（6分）

（Ⅱ）设事件B表示“函数在区间上是单调函数”，

的对称轴为，区间长为4，

在区间上为增函数时，只要对称轴不在上即可，

∴对称轴不在的区间长为3，……………………………………………………（10分）

根据几何概型定义得函数在区间上是单调函数的概率．

………………………………………………………………………………………（12分）

20．（本小题满分12分）

（Ⅰ）证明：如图2，连接AE，∵E为BC的中点，，

为等腰直角三角形，

则，同理可得

，

又平面ABCD，且平面ABCD，，

又平面PAE，

又平面PAE，．………………………………………………………（4分）

（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知为腰长为1的等腰直角三角形，

，而PA是三棱锥的高，

．………………………………………（7分）

（Ⅲ）解：在PA上存在中点G，使得平面PCD．………………………………（8分）

理由如下：

如图，取PA，PD的中点G，H，连接EG，GH，CH．

∵G，H是PA，PD的中点，，且

又因为E为BC的中点，且四边形ABCD为矩形，所以，且，

所以，且，所以四边形EGHC是平行四边形，所以，

又平面PCD，平面PCD，所以平面PCD．

………………………………………………………………………………………（12分）

21．（本小题满分12分）

解：（Ⅰ）圆的圆心为，半径为．

当直线l的斜率不存在时，圆心到直线的距离，

故不存在；…………………………………………………………………………………（2分）

当直线l的斜率存在时，设l的方程：，即．

则圆心到l的距离，由垂径定理得，

即，即，解得．

故l的方程为或…………………………………………（6分）

（Ⅱ）如图3，

设，因为，故，

则，即，

化简得，

即…………………………………………………（8分）

此时，

故当，即时最短．

此时………………………………………………………………………（12分）

22．（本小题满分12分）

解：（Ⅰ） ，

又的一个对称中心为，

，

又，

．……………………………………………………………………（4分）

（Ⅱ）解法一：当时，，

“当时，方程有两个不等的实根”，

等价于“当时，方程有两个不等的实根”，

即“与的图象在内有两个不同的交点”，

如图4，可知，

即实数a的取值范围为．………………………………………………………（8分）

解法二：作与的图象，

如图5，可知，

，即实数a的取值范围为．

……………………………………………………………（8分）

（Ⅲ）如图6，易知，且，

．

……………………………………………………………（12分）