2021兰州一中高一上学期期末考试数学试题含答案

这是一份2021兰州一中高一上学期期末考试数学试题含答案，共18页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

兰州一中2020-2021-1学期期末考试试题
高一数学
命题人:陈小豹 审题人：刘雪峰
说明：本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.满分150分，考试时间120分钟.答案写在答题卡上，交卷时只交答题卡.
第Ⅰ卷（选择题）
一、选择题（本大题共12 小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案涂在答题卡上.）
1．如图，是水平放置的△ABC的斜二测直观图，其中，则以下说法正确的是（　　）
A．△ABC是钝角三角形
B．△ABC是等腰三角形，但不是直角三角形
C．△ABC是等腰直角三角形
D．△ABC是等边三角形
2．已知直线l1：2x+(a+5)y－8＝0，l2：(a+3)x+4y+3a－5＝0平行，则实数a的值为（　　）
A．﹣1或﹣7 B．﹣7 C．﹣1 D．
3. 用一个平面去截一个几何体，截面的形状是三角形，那么这个几何体不可能是（　　）
A．圆锥 B．圆柱 C．三棱锥 D．正方体
4．已知三条直线a，b，c满足：a与b平行，a与c异面，则b与c（　　）
A．一定异面 B．一定相交 C．不可能平行 D．不可能相交
5．在三棱锥A﹣BCD中，若AD⊥BC，AD⊥BD，那么必有（　　）
A．平面ADC⊥平面BCD B．平面ABC⊥平面BCD
C．平面ABD⊥平面ADC D．平面ABD⊥平面ABC
6．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是AB，AD的中点，则异面直线B1C与EF所成角的大小为(　　)
A．30° B．45° C．60° D．90°
7．过点A（2，1），B（m，3）的直线的倾斜角α的范围是，则实数m的取值范围是（　　）
A．0＜m≤2 B．0＜m＜4
C．2≤m＜4 D．0＜m＜2或2＜m＜4
8．已知l，m是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，且l∥α，m⊥β，则下列命题中不正确的是（　　）
A．若α∥β，则m⊥α B．若α∥β，则l⊥m
C．若l⊥m，则l∥β D．若m∥α，则α⊥β
9．若三条直线x﹣2y+2＝0，x＝2，x+ky＝0将平面划分成6个部分，则k可能的取值情况是 （　　）
A．只有唯一值 B．有两个不同的值
C．有三个不同的值 D．无穷多个值
10．已知某几何体是由正四棱柱割去两部分后得到，其三视图如图所示，则该几何体的表面积和体积为（　　）
A．， B．
C． D．
11．《九章算术》中对一些特殊的几何体有特定的称谓，例如：将底面为直角三角形的直三棱柱称为堑堵，将一堑堵沿其一顶点与相对的棱刨开，得到一个阳马（底面是长方形，且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥）和一个鳖臑（四个面均为直角三角形的四面体）．在如图所示的堑堵ABC﹣A1B1C1中，已知AB＝3，BC＝4，AC＝5，若阳马C1﹣ABB1A1的外接球的表面积等于50π，则鳖臑C1﹣ABC的所有棱中，最长的棱的棱长为（　　）
A．5 B． C． D．8
12．在等腰直角三角形ABC中，AB＝AC＝4，点P是边AB边上异于AB的一点，光线从点P出发，经BC，CA反射后又回到点P（如图），若光线QR经过△ABC的重心，则AP等于（　　）
A．2 B．1 C． D．
第Ⅱ卷（非选择题）
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分,将答案写在答题卡上.）
13．已知圆锥的表面积为3π，且它的侧面展开图是一个半圆，则它的母线长为　 　．
14．已知直线l1的方程为3x＋4y－7＝0，直线l2的方程为6x＋8y＋1＝0，则直线l1与l2的距离为________．
15．如图，在四面体A－BCD中，已知棱AC的长为 ，其余各棱长都为1， 则二面角A－CD－B的平面角的余弦值为________．
16．已知直线l1：ax－2y＝2a－4，l2：2x＋a2y＝2a2＋4，当0 三、解答题（本大题共6小题，共70分）
17． （本小题满分10分）
根据所给条件求直线的方程：
(1)直线过点(－3，4)，且在两坐标轴上的截距之和为12；
(2)直线过点(5，10)，且到原点的距离为5．
18． （本小题满分12分）
在一个如图所示的直角梯形ABCD内挖去一个扇形，E恰好是梯形的下 底边的中点，将所得平面图形绕直线DE旋转一圈，求所得几何体的表面积和体积．

19． （本小题满分12分）
如图，在直四棱柱中，底面是边长为的正方形，分别为线段的中点．
(1)求证：平面；
(2)四棱柱的外接球的表面积为，求异面直线与所成的角的大小．

20． （本小题满分12分）
在△ABC中，BC边上的高所在直线的方程为x－2y＋1＝0，∠BAC的角平分线所在的直线方程为y＝0.若点B的坐标为(1,2)，求点A和点C的坐标．

21． （本小题满分12分）
如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD为菱形，E为CD的中点．
(1)求证：BD⊥PC；
(2)在棱PB上是否存在点F，使得CF∥平面PAE？若存在描述F的位置并证明，若不存在，说明理由．


22．（本小题满分12分）
如图，在正三棱柱ABC﹣A1B1C1（侧棱垂直于底面，且底面是正三角形）中，AC＝CC1＝6，M是棱CC1的中点．
（1）求证：平面AB1M⊥平面ABB1A1；
（2）求A1M与平面AB1M所成角的正弦值．







兰州一中2020-2021-1学期期末考试试题
高一数学
命题人:陈小豹 审题人：刘雪峰
说明：本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.满分150分，考试时间120分钟.答案写在答题卡上，交卷时只交答题卡.
第Ⅰ卷（选择题）
一、选择题（本大题共12 小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案涂在答题卡上.）
1．如图，△A′B′C′是水平放置的△ABC的斜二测直观图，其中O′C′＝O′A′＝2O′B′，则以下说法正确的是（　　）

A．△ABC是钝角三角形
B．△ABC是等腰三角形，但不是直角三角形
C．△ABC是等腰直角三角形
D．△ABC是等边三角形
答案　C
2．已知直线l1：2x+(a+5)y－8＝0，l2：(a+3)x+4y+3a－5＝0平行，则实数a的值为（　　）
A．﹣1或﹣7 B．﹣7 C．﹣1 D．-133
答案　B
3. 用一个平面去截一个几何体，截面的形状是三角形，那么这个几何体不可能是（　　）
A．圆锥 B．圆柱 C．三棱锥 D．正方体
答案　B
4．已知三条直线a，b，c满足：a与b平行，a与c异面，则b与c（　　）
A．一定异面 B．一定相交 C．不可能平行 D．不可能相交
答案　C
5．在三棱锥A﹣BCD中，若AD⊥BC，AD⊥BD，那么必有（　　）
A．平面ADC⊥平面BCD B．平面ABC⊥平面BCD
C．平面ABD⊥平面ADC D．平面ABD⊥平面ABC
答案　A
6．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是AB，AD的中点，则异面直线B1C与EF所成角的大小为(　　)
A.30° B.45° C.60° D.90°
答案　C
7．过点A（2，1），B（m，3）的直线的倾斜角α的范围是，则实数m的取值范围是（　　）
A．0＜m≤2 B．0＜m＜4
C．2≤m＜4 D．0＜m＜2或2＜m＜4
答案　B
8．已知l，m是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，且l∥α，m⊥β，则下列命题中不正确的是（　　）
A．若α∥β，则m⊥α B．若α∥β，则l⊥m
C．若l⊥m，则l∥β D．若m∥α，则α⊥β
答案C
9．若三条直线x﹣2y+2＝0，x＝2，x+ky＝0将平面划分成6个部分，则k可能的取值情况是 （　　）
A．只有唯一值 B．有两个不同的值
C．有三个不同的值 D．无穷多个值
答案 C
10．已知某几何体是由正四棱柱割去两部分后得到，其三视图如图所示，则该几何体的表面积和体积为（　　）

A．， B．，5 C．， D．，5
答案　A
11．《九章算术》中对一些特殊的几何体有特定的称谓，例如：将底面为直角三角形的直三棱柱称为堑堵，将一堑堵沿其一顶点与相对的棱刨开，得到一个阳马（底面是长方形，且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥）和一个鳖臑（四个面均为直角三角形的四面体）．在如图所示的堑堵ABC﹣A1B1C1中，已知AB＝3，BC＝4，AC＝5，若阳马C1﹣ABB1A1的外接球的表面积等于50π，则鳖臑C1﹣ABC的所有棱中，最长的棱的棱长为（　　）
A．5 B． C． D．8
答案　C
12．在等腰直角三角形ABC中，AB＝AC＝4，点P是边AB边上异于AB的一点，光线从点P出发，经BC，CA反射后又回到点P（如图），若光线QR经过△ABC的重心，则AP等于（　　）
A．2 B．1 C． D．
答案　D

第Ⅱ卷（非选择题）
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分,将答案写在答题卡上.）
13．已知圆锥的表面积为3π，且它的侧面展开图是一个半圆，则它的母线长为　2　.
答案　2.
14．已知直线l1的方程为3x＋4y－7＝0，直线l2的方程为6x＋8y＋1＝0，则直线l1与l2的距离为________.
答案　
15．如图，在四面体A－BCD中，已知棱AC的长为 ，其余各棱长都为1，则二面角A－CD－B的平面角的余弦值为________.

答案　
16．已知直线l1：ax－2y＝2a－4，l2：2x＋a2y＝2a2＋4，当0 答案　


三、解答题（本大题共6小题，共70分）


18． （本小题满分10分）
根据所给条件求直线的方程：
(1)直线过点(－3，4)，且在两坐标轴上的截距之和为12；
(2)直线过点(5，10)，且到原点的距离为5.
解 (1)由题设知纵横截距不为0，设直线方程为＋＝1，
又直线过点(－3，4)，
从而＋＝1，解得a＝－4或a＝9.
故所求直线方程为4x－y＋16＝0或x＋3y－9＝0.
(2)当斜率不存在时，所求直线方程为x－5＝0满足题意；
当斜率存在时，设其为k，
则所求直线方程为y－10＝k(x－5)，
即kx－y＋10－5k＝0.
由点线距离公式，得＝5，解得k＝.
故所求直线方程为3x－4y＋25＝0.
综上知，所求直线方程为x－5＝0或3x－4y＋25＝0.
22． （本小题满分12分）
在一个如图所示的直角梯形ABCD内挖去一个扇形，E恰好是梯形的下底边的中点，将所得平面图形绕直线DE旋转一圈，求所得几何体的表面积和体积．

【解答】解：根据题意知，将所得平面图形绕直线DE旋转一圈后，
所得几何体是上部是圆锥，下部是圆柱挖去一个半球体的组合体；
则该组合体的表面积为
S组合体＝S圆锥侧+S圆柱侧+S半球
＝π×3×3+2π×3×3+×4π×32
＝（9+36）π；
组合体的体积为
V组合体＝V圆锥+V圆柱﹣V半球
＝×π×32×3+π×32×3﹣××π×33
＝18π．

23． （本小题满分12分）
如图，在直四棱柱中，底面是边长为的正方形，分别为线段的中点.
(1)求证：平面；
(2)四棱柱的外接球的表面积为，
求异面直线与所成的角的大小.
证明：（1）连接，在中，分别为线段的中点，∴为中位线，
∴，而面，面，
∴平面.………………6分
（2）由（1）知，故即为异面直线与所成的角.
∵四棱柱的外接球的表面积为，
∴四棱柱的外接球的半径，
设，则，解得，
在直四棱柱中，∵平面，平面，
∴，在中，，
∴，
∴异面直线与所成的角为.………………12分

24． （本小题满分12分）
在△ABC中，BC边上的高所在直线的方程为x－2y＋1＝0，∠BAC的角平分线所在的直线方程为y＝0.若点B的坐标为(1,2)，求点A和点C的坐标．
解：由方程组得
所以点A的坐标为(－1,0)．
所以直线AB的斜率kAB＝1，又x轴是∠BAC的角平分线，

所以kAC＝－1，
则AC边所在直线的方程为y＝－(x＋1)．　①
又已知BC边上的高所在直线的方程为x－2y＋1＝0，
故直线BC的斜率kBC＝－2，
所以BC边所在的直线方程为
y－2＝－2(x－1)．　②
由①②得
即点C的坐标为(5，－6)．


25． （本小题满分12分）
如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD为菱形，E为CD的中点．
（1）求证：BD⊥PC；
（2）在棱PB上是否存在点F，使得CF∥平面PAE？若存在，求出PF的位置，若不存在，说明理由．

【解答】解：（1）证明：PA⊥平面ABCD，BD⫋平面ABCD，
所以PA⊥BD，又底面ABCD为菱形，所以AC⊥BD，
又PA∩AC＝A，所以BD⊥平面PAC，
所以BD⊥PC；
（2）当F为PB中点时，CF∥平面PAE
理由如下：设AB的中点为M，连接MF，MC，CF，
M，F分别是AB，PB的中点，MF∥PA，
又AM∥EC，AM＝CE，即四边形AMCE是平行四边形
所以MC∥AE，
又MF∩MC＝M，PA∩PE＝A，
所以平面MFC∥平面PAE，
CF⊂平面MFC，
所以CF∥平面PAE．




22．（本小题满分12分）
如图，在正三棱柱ABC﹣A1B1C1（侧棱垂直于底面，且底面是正三角形）中，AC＝CC1＝6，M是棱CC1的中点．
（1）求证：平面AB1M⊥平面ABB1A1；
（2）求A1M与平面AB1M所成角的正弦值．

【解答】（1）证明：连接A1B交AB1于O，连接MO，易得O为A1B，AB1的中点．
∵CC1⊥平面ABC，AC⊂平面ABC，
∴CC1⊥AC．
又M为CC1中点，AC＝CC1＝6，
∴．
同理可得，
∴MO⊥AB1．
连接MB，同理可得，
∴MO⊥A1B．
又AB1∩A1B＝O，AB1，A1B⊂平面ABB1A1，
∴MO⊥平面ABB1A1，
又MO⊂平面AB1M，
∴平面AB1M⊥平面ABB1A1．
（2）解：易得A1O⊥AB1，
由（1）平面AB1M⊥平面ABB1A，
平面AB1M∩平面ABB1A1＝AB1，A1O⊂平面ABB1A1，
∴A1O⊥平面AB1M．
∴∠A1MO即为A1M与平面AB1M所成的角．
在Rt△AA1B1中，，
在Rt△A1OM中，．
所以A1M与平面AB1M所成角的正弦值为．