2020娄底一中高一下学期第一次月考数学试题含答案

2020年上学期高一数学月考试卷

一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）

1. 某校高中部高一年级500人，高三年级300人，现采用分层抽样的方法从高中部全体学生中随机抽取110人，其中从高一年级中抽取50人，则高二年级的人数为   

A. 900 B. 700 C. 500 D. 300

2. 从某单位45名职工中随机抽取5名职工参加一项社区服务活动，用随机数法确定这5名职工现将随机数表摘录部分如下：

从随机数表第一行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出的第5个职工的编号为

A. 23 B. 37 C. 35 D. 17

3. 已知随机变量x，y的值如下表所示，如果x与y线性相关，且回归直线方程为，则实数b的值为  

A.  B.  C.  D.

4. 从装有两个红球和三个黑球的口袋里任取两个球，那么互斥而不对立的两个事件是   

A. “至少有一个黑球”与“都是黑球”
B. “至少有一个黑球”与“至少有一个红球”
C. “恰好有一个黑球”与“恰好有两个黑球”
D. “至少有一个黑球”与“都是红球”

5. 设一元二次方程，若B，C是一枚质地均匀的骰子连续投掷两次出现的点数，则方程有实数根的概率为    

A.  B.  C.  D.

6. 已知向量，，若与共线，则实数x的值为

A.  B. 3 C.  D.

7. 已知函数，下列命题正确的是   

A. 是周期为1的奇函数 B. 是周期为2的偶函数
C. 是周期为1的非奇非偶函数 D. 是周期为2的非奇非偶函数

8. 在平行四边形ABCD中，为AD的中点，      
    

A.  B.  C.  D.

9. 已知向量与向量平行，则锐角等于    

A.  B.  C.  D.

10. 已知，且，则的值为

A.  B.  C.  D.

11. 已知函数在处取得最大值，则函数的图象   

A. 关于点对称 B. 关于点对称
C. 关于直线对称 D. 关于直线对称

12. 已知函数的图象中相邻两条对称轴之间的距离为，若函数在区间上有两个不同的零点，则m的取值范围为  

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

13. 已知向量若，则________．

14. 在
15. 设数据，，，，的方差为1，则数据，，，，的方差为________．

16. 设函数，若对任意的实数x都成立，则的最小值为__________．

三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）

17. 已知，，

当k为何值时，与共线．

若，，且A、B、C三点共线，求m的值．

18. 已知函数其中a为常数．

求的单调减区间；

若时，的最大值为4，求a的值；

19. 某城市交通部门为了对该城市共享单车加强监管，随机选取了100人就该城市共享单车的推行情况进行问卷调查，并将问卷中的这100人根据其满意度评分值百分制按照，，分成5组，制成如图所示频率分直方图．
     

求图中x的值；

求这组数据的平均数和中位数；

已知满意度评分值在内的男生数与女生数的比为，若在满意度评分值为的人中随机抽取2人进行座谈，求2人均为男生的概率．

20. 某地区某农产品近几年的产量统计如表：

根据表中数据，建立y关于t的线性回归方程；

根据线性回归方程预测2019年该地区该农产品的年产量．

附：对于一组数据，，，，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为，参考数据：，计算结果保留小数点后两位

21. 海水受日月的引力，在一定的时候发生涨落的现象叫潮，一般地，早潮叫潮，晚潮叫汐．在通常情况下，船在涨潮时驶进航道，靠近码头；卸货后，在落潮时返回海洋．下面是某港口在某季节每天的时间与水深关系表：

经长期观测，这个港口的水深与时间的关系，可近似用函数来描述．
根据以上数据，求出函数的表达式；
一条货船的吃水深度船底与水面的距离为米，安全条例规定至少要有2米的安全间隙船底与洋底的距离，该船在一天内：：何时能进入港口然后离开港口？每次在港口能停留多久？

22. 如图是函数的部分图象，M，N是它与x轴的两个不同交点，D是M，N之间的最高点且横坐标为，点是线段DM的中点．
     

求函数的解析式及上的单调增区间；
若时，函数的最小值为，求实数a的值．

参考答案

1.【答案】D

2.【答案】C

3.【答案】B

4.【答案】C

5.【答案】D

6.【答案】A

7.【答案】B

8.【答案】C

9.【答案】C

10.【答案】A

11.【答案】A

12.【答案】B

13.【答案】

14.【答案】

15.【答案】4

16.【答案】

17. 【答案】【解答】，，
，，
又与共线，，即；
，，
、B、C三点共线，
，即．

【解析】本题考查了平面向量共线的条件、平面向量的坐标运算及向量的加减法和数乘运算，考查了学生的计算能力，培养了学生分析问题与解决问题的能力．
将和用坐标表示，再利用向量共线的充要条件即可得到结果；
由A、B、C三点共线，利用向量共线定理即可得到结果．
 

18. 【答案】解：对于，
令，Z，
得，Z，
故的单调递减区间为，Z．
若时，
则，
当时，
即的最大值为，
．

【解析】本题主要考查正弦函数的单调性、图象的对称性，定义域和值域，属于基础题．
由题意利用正弦函数的单调性，求得的单调递减区间．
由题意利用正弦函数的定义域和值域，求得在上的最大值，再根据最大值为4，求得a的值．
 

19. 【答案】解：由，解得．
这组数据的平均数为．
中位数设为m，则，解得．
满意度评分值在内有人，其中男生3人，记为女生2人，记为，
从“满意度评分值为的人中随机抽取2人进行座谈，
有，，，
通过列举知总基本事件个数为10个，
“2人均为男生”为事件A，
A包含的基本事件个数为3个：，
利用古典概型概率公式可知．

【解析】本题考查了频率分布直方图，几何概型的概率求法，属于中档题．
频率和为1列出方程求得x的值．
利用频率分布直方图，结合平均数、中位数的概念计算得结论．
根据条件求出女生和男生得人数，再一一列举出所有基本事件，找到2人均为男生的基本事件，根据概率公式计算即可．
 

20. 【答案】解：由题意得，，，
，
．
，又，
得，
关于t的线性回归方程为；
由知，
当时，，
即该地区2019年该农产品的产量估计值为万吨．

21. 【答案】解：由表格知，，
，，
最小正周期，，
即
当时，，解得，
又，，
．．
货船需要的安全水深为米，
当时就可以进港．
令，得，
，
解得，
又，故时，；时，．
即货船可以在0时进港，早晨4时出港；或在中午12时进港，下午16时出港，每次可以在港口停留4小时左右．

【解析】本题考查三角函数在生产生活中的应用，是中档题，解题时要认真审题，注意三角函数性质的合理运用．
由已知，，，从而求出，由此能求出函数的表达式．
货船需要的安全水深为米，当时就可以进港，由此能求出货船可以在0时进港，早晨4时出港；或在中午12时进港，下午16时出港，每次可以在港口停留4小时左右．
 

22.【答案】解：取MN中点为H，则，
因为F为DM中点，且F在y轴上，
则，，
所以，，则，                     
，
又因为，则    
所以，
由，
得
，
又因为，则，
所以，                                     
令
  ，
又因为，则单调递增区间为和              
因为，                                    
所以，                          
令，则，对称轴为，
当时，即时，，          
当时，即时，舍，                                                             
当时，即时，舍， 
综上可得：

【解析】本题考查了三角函数的图象及周期，三角函数的值域及含参二次函数的值域问题，属于中档题．
结合图象特点和代入特殊点进行求解得出的解析式，进而根据正弦函数的单调性求单调增区间．
由求出的值域，令，结合二次函数的性质进行分类讨论可求出a的值．