2022-2023学年苏科版七年级数学上册重难题型全归纳 专题01 有理数 重难点题型16个（原卷+解析卷）

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专题01 有理数 重难点题型
题型1 正负数意义及应用
【解题技巧】解决此类问题关键是明确正负数在题目中的实际意义从而进一步求解.
1．（2021·云南曲靖市·九年级一模）如果把顺时针旋转记作，那么逆时针旋转应记作__________．
【答案】-54°
【分析】根据相反意义的量即可求解．
【详解】解：逆时针旋转54°可记作，故答案为：．
【点睛】本题考查相反意义的量，掌握正负数的意义是解题的关键．
2．（2021·辽宁抚顺市·九年级三模）中国人很早就开始使用负数，中国古代数学著作《九章算术》的“方程”一章，在世界数学史上首次正式引入负数．如果支出100元记作元，那么元表示（ ）
A．支出80元 B．收入80元 C．支出20元 D．收入20元
【答案】B
【分析】根据负数的意义，结合相反意义的量，即可得到答案．
【详解】解：如果支出100元记作元，那么元表示：收入80元，故选B．
【点睛】本题主要考查相反意义的量，熟练掌握负数的意义，是解题的关键．
3．（2021·广东韶关市·七年级期末）《九章算术》中注“今两算得失相反，要令正负以名之”，意思是：有两数若其意义相反，则分别叫做正数和负数．若气温为零上10℃记作+10℃，则表示气温为（ ）
A．零上8℃ B．零下8℃ C．零上2℃ D．零下2℃
【答案】B
【分析】根据用正负数来表示具有意义相反的两种量：若零上记为正，则零下就记为负，直接得出结论即可．
【详解】解：若气温为零上10℃记作+10℃，则表示气温为零下8℃，故选B．
【点睛】本题考查正负数的意义，关键是理解正数与负数表示意义相反的两种量，看清规定哪一个为正，则和它意义相反的就为负．
4．（2021·河北沧州市·七年级期末）如图所示的是图纸上一个零件的标注，现有下列直径尺寸的产品（单位：mm），其中不合格的是（　　）

A．29.8mm B．30.03mm C．30.02mm D．29.98mm
【答案】A
【分析】依据正负数的意义求得零件直径的合格范围，然后找出不符要求的选项即可．
【详解】解：∵30+0.03=30.03，30-0.02=29.98，
∴零件的直径的合格范围是：29.98mm≤零件的直径≤30.03mm．
∵29.8mm不在该范围之内，∴不合格的是A．故选：A．
【点睛】本题主要考查的是正数和负数的意义，根据正负数的意义求得零件直径的合格范围是解题的关键．
5．（2021·湖南株洲市·七年级期末）某工厂加工一种精密零件，图纸上对其直径的要求标注为“”，则下列零件不合格的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据正负数的意义，求得合格零件的直径的范围，再进一步分析．
【详解】解：，、，所以该零件合格，故本选项不合题意；
、，所以该零件合格，故本选项不合题意；
、，所以该零件不合格，故本选项符合题意；
、，所以该零件合格，故本选项不合题意；故选：．
【点睛】此题考查了正、负数在实际生活中的意义，表示和标准相比，超过或不足．
6．（2021·贵阳市清镇养正学校七年级月考）一次体育课，老师对七年级女生进行了仰卧起坐的测试，以做36个为标准，超过的次数用正数表示，不足的次数用负数表示，第一小组8人的成绩如下：2，－3，4，0，1，－1，－5，0.（1）这8名同学实际各做了多少次仰卧起坐？ （2）这个小组的达标率是多少？
【答案】（1）这8名同学实际做仰卧起坐的次数分别为：38，33，40，36，37，35，31，36；（2）62.5%
【分析】（1）用36加上每人记录的成绩即得每人实际成绩；
（2）用记录成绩中的非负数个数除以小组总人数再化成百分数即可得到解答．
【详解】解：（1）这8名同学实际做仰卧起坐的次数分别为：38，33，40，36，37，35，31，36．
（2）因为有5人达标，所以达标率为：5÷8=0.625=62.5%．
【点睛】本题考查正负数在生活中的应用，熟练掌握正负数的意义是解题关键 ．
题型2 有理数的相关概念
【方法点拨】解决此类问题需理解并熟记有理数相关概念，如①整数和分数统称为有理数；②正有理数、0和负有理数亦可称为有理数；③只有符号不同的两个数叫做互为相反数；④在数轴上原点的两旁，离开原点距离相等的两个点所表示的数，叫做互为相反数；⑤数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值；⑥一个正数的绝对值是它本身，一个负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0.
1. （2022·成都市初一期中）下列说法中，正确的
A.正有理数和负有理数统称为有理数 B．正整数和负整数统称为整数
C．整数和分数统称为有理数 D．非正数就是指0、负整数和所有分数
【答案】B
【解析】A错误，有理数还包含0； B正确，有理数包含正数和分数；C错误，漏掉了0；D错误，非正数指0和负数。
【点睛】本题考查了有理数的分类．注意整数和正数的区别，注意0是整数，但不是正数．
2.（2022·广东省初一月考）下列结论错误的是：
A.负分数都是负有理数 B.分数中除了正分数就是负分数
C.有理数中除了分数就是小数 D.有限小数是分数，也是有理数
【答案】C
【解析】有限小数和无限循环小数为分数，无限不循环小数不是有理数,故答案选C。
3.（2021•天津期末）下列说法正确的有（　　）
①正有理数是正整数和正分数的统称；②整数是正整数和负整数的统称；③有理数是正整数、负整数、正分数、负分数的统称；④0是偶数，但不是自然数；⑤偶数包括正偶数、负偶数和零．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】按照有理数的分类对各项进行逐一分析即可．
【解答】解：①正有理数是正整数和正分数的统称是正确的；
②整数是正整数、0和负整数的统称，原来的说法是错误的；
③有理数是正整数、0、负整数、正分数、负分数的统称，原来的说法是错误的；
④0是偶数，也是自然数，原来的说法是错误的；
⑤偶数包括正偶数、负偶数和零是正确的．故说法正确的有2个．故选：B．
【点评】考查了有理数，认真掌握正数、负数、整数、分数、正有理数、负有理数、非负数的定义与特点．注意整数和正数的区别，注意0是整数，但不是正数．
4.（2021·遂宁市七年级月考）下列说法正确的是（ ）
A．整数分为正整数和负整数 B．正分数、负分数统称有理数
C．零既可以是正整数，也可以是负分数 D．所有的分数都是有理数
【答案】D
【分析】按有理数的分类解答即可．
【详解】解：、正整数、0、负整数统称为整数，故本选项错误；
、正分数、负分数统称为分数，故本选项错误；、零既不是正数也不是负数，故本选项错误；
、所有的分数都是有理数，故本选项正确；故选：D．
【点睛】此题考查了有理数，掌握有理数的分类是本题的关键，是一道基础题．
5.（2021•长乐区校级月考）下列说法错误的是（　　）
A．有理数是指整数、分数、正有理数、零、负有理数这五类数
B．一个有理数不是整数就是分数
C．0既不是正数，也不是负数
D．负整数、负分数统称为负有理数
【分析】利用有理数的分类判断即可．
【解答】解：A、有理数包括整数和分数，可以分为正有理数、零、负有理数，故本选项符合题意；
B、有理数分为整数和分数，正确，故本选项不符合题意；
C、0既不是正数，也不是负数，正确，故本选项不符合题意；
D、负整数、负分数统称为负有理数，正确，故本选项不符合题意．故选：A．
【点评】此题主要考查了有理数的定义及分类，解题时熟练掌握有理数的定义及不同的分类标准即可解决问题．
6.（2021•襄汾县期中）下列说法中正确的个数有（　　）
①﹣4.2是负分数；②3.7不是整数；③非负有理数不包括零；④正有理数、负有理数统称为有理数；⑤0是最小的有理数
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】结合有理数的分类分析即可．
【解答】解：①﹣4.2是负分数是正确的；②3.7不是整数是正确的；③非负有理数包括零，原来的说法错误；④正有理数、0、负有理数统称为有理数，原来的说法错误；
⑤没有最小的有理数，原来的说法错误．故说法中正确的个数有2个．故选：B．
【点评】本题考查了有理数，涉及的知识点：非负有理数包括正有理数和0；整数包括正整数、负整数和0；没有最小的有理数．此题是基础知识题，需要熟练掌握．

题型3 数集问题
性质：有理数的分类。 注：数集关系中有包含关系时，数的分类不可重复
解题技巧：此类题型是有理数分类题型的拓展，一般用框图表示数据分类的集合关系，多会出现有重合甚至包含逻辑的框图。此时，先填写有重合和被包含部分的框图，再填写单一框图部分的数据。
1．（2020·浙江杭州市·七年级期末）在下列各数中，负分数有（ ）
，，2，，13，0，，，
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】根据负分数的意义，可得答案．
【详解】解：负分数有：，，，共3个，故选：C．
【点睛】本题考查了有理数，熟记有理数的分类是解题关键．
2．（2021·福州华南实验中学七年级月考）下列各数：中是正数有（ ）个
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】根据正数的定义分别进行判断，即可得出结论．
【详解】解：中，正数有＋5，2.3，，共有3个．故选：C．
【点睛】本题考查了正数和负数，掌握正数的定义是解答此题的关键．
3．（2021·广西南宁市·南宁三中七年级期中）将下列各数填入适当的括号内：
，，，2020，0，，，66．
（1）整数集合{______…}；（2）负分数集合{______…}；（3）非负整数集合{______…}．
【答案】（1），2020，0，66；（2）；（3）2020，0，66．
【分析】根据整数、负分数、非负整数的意义，逐个进行判断即可．
【详解】解：（1）整数有：，2020，0，66，故答案为：，2020，0，66；
（2）负分数有：，故答案为：；
（3）非负整数有：2020，0，66，故答案为：2020，0，66．
【点睛】本题考查整数集合，负分数集合，非负整数集合，掌握有理数的分类是解题关键．
4．（2021·南靖县城关中学七年级月考）下列各数填入它所在的数集中：，，3.1416，0，2001，，，95%，π．
正数集：{ …}； 整数集：{ …}；
自然数集：{ …}； 分数集：{ …}．
【答案】见解析
【分析】根据有理数的分类即可求出答案．
【详解】解：正数集：{  ，3.1416，2001，95%，π}
整数集：{-18，0，2001  }
分数集：{ ，3.1416，，-0.142，95% }
非负整数集：{0，2001}
【点睛】本题考查有理数的分类，解题的关键是熟练运用有理数的分类，本题属于基础题型，注意：π不是有理数．
5．（2021·新乡县龙泉学校七年级月考）将下列各数填入相应的圈内： 2，5 ， 0 ，1.5，+2 ，-3 ．

说出这两个圈的重叠部分表示的集合：
【答案】见解析；正整数集合
【分析】根据正数和整数的概念填入即可，其中既是正数又是整数的数是正整数．
【详解】如图所示：

由图形可得，两个圈的重叠部分表示的是：正整数集合．故答案为：正整数集合．
【点睛】本题考查了有理数的分类．熟记正数和整数的概念是解题的关键．
6．（2021·湖北省初一月考）请你把下列各数填入表示它所在的数集的圈里：
﹣2，﹣20%，﹣0.13，﹣7，10， ，21，6.2，4.7，﹣8

这四个集合合并在一起填_____(“是”或“不是”）全体有理数集合，若不是，缺少的是_____．
【答案】不是 0
【分析】根据正整数，负整数，正分数，非负数以及有理数的概念解答．
【解析】如图：

这四个集合合并在一起不是全体有理数集合，缺少的是0．故答案为：不是；0．
【点睛】本题考查了有理数，熟记相关概念是解题的关键，要注意0的特殊性．

题型4 利用数轴求两点间距离
注：距离没有方向性，所以到某点的距离为a的点一般有两个
解题技巧：根据题干要求，先找出参考点位置；某点到参考点的距离为a，意味着这个点可以在参考点左边距离为a的位置，也可在参考点右边距离为a的位置。因此，此类题型一般有多解情况，请注意。最后根据画出的数轴，读出两点之间的距离。
1．（2021·南靖县城关中学）在数轴上与表示－3的数相距2个单位长度的点对应的数是_________．
【答案】-5或-1．
【分析】分在-3的左边和右边两种情况讨论求解即可．
【详解】解：根据题意画出数轴，

得到在数轴上与数-3所对应的点相距2个单位长度的点表示的数为-5或-1。故答案为：-5或-1．
【点睛】此题考查了数轴，根据题意画出相应的图形是解本题的关键．
2.（2021春•杨浦区校级期中）数轴上到表示数﹣413点距离为312的点所表示的数为　 　．
【分析】到数轴上一点距离相等的点有两个，要分类讨论．
【解答】解：距离点数﹣413为312个单位长度的点有两个，它们分别是﹣413+312=-56，﹣413-312=-476，故答案为-476或-56．
【点评】本题考查了数轴上到一点距离相等的点有两个，分别位于该点的左右，进行分类讨论解答．
3.（2021满城区期末）如图，在数轴上有5个点A，B，C，D，E，每两个相邻点之间的距离如图所示，如果点C表示的数是﹣1，则点E表示的数是（　　）

A．﹣5 B．0 C．1 D．2
【分析】先确定原点，根据D和E的距离可得结论．
【解答】解：如果点C表示的数是﹣1，则点D表示原点，所以E表示的数是2，故选：D．
【点评】本题考查了数轴的性质和数轴上两点的距离，熟练掌握数轴的性质是解决本题的关键．
4.（2021.绵阳市七年级期中）已知点O，A，B，C，D在数轴上的位置如图所示，O为原点，，，点B所对应的数为m，则下列结论错误的是（ ）

A．点A所对应的数为 B．点C所对应的数为
C．点D所对应的数为 D．点A与点D间的距离为
【答案】D
【分析】根据，点B所对应的数为m，先得到点A所表示的数，进而求出B，C，D表示的数，进而即可判断．
【详解】∵，点B所对应的数为m，∴点A所对应的数为，
∵，∴点C所对应的数为，
∴点D所对应的数为，点A与点D间的距离为，∴D选项错误，故选D．
【点睛】本题主要考查数轴上点表示的数，两点间的距离，熟练掌握数轴上两点间的距离公式，是解题的关键．
5. （2022·河南·七年级期末）如图，将一刻度尺放在数轴上（数轴的单位长度是1cm），刻度尺上表示“0cm”、“8cm”的点分别对应数轴上的﹣2和x，那么x的值为_____．

【答案】6
【分析】根据直尺的长度知x为﹣2右边8个单位的点所表示的数，据此可得．
【详解】解：由题意知，x的值为﹣2+（8﹣0）＝6，故答案为6．
【点睛】本题主要考查了数轴，解题的关键是确定x与表示﹣2的点之间的距离．
6.（2021·广东广州市·七年级期末）如图，已知数轴上A、B两点所表示的数分别为﹣2和6
（1）求线段AB的长；（2）已知点P为数轴上点A左侧的一个动点，且M为PA的中点，N为PB的中点．请你画出图形，并探究MN的长度是否发生改变？若不变，求出线段MN的长；若改变，请说明理由．

【答案】（1）8；（2）见解析；MN的长度不会发生改变，线段MN＝4．
【分析】（1）数轴上两点之间的距离等于较大数与较小数的差；
（2）根据中点的意义，利用线段的和差可得出答案．
【详解】解：（1）AB＝|﹣2﹣6|＝8，答：AB的长为8；
（2）MN的长度不会发生改变，线段MN＝4，理由如下：

如图，因为M为PA的中点，N为PB的中点，
所以MA＝MP＝PA，NP＝NB＝PB，
所以MN＝NP﹣MP＝PB﹣PA＝（PB﹣PA）＝AB＝×8＝4．
【点睛】本题考查了数轴上两点之间的距离，数轴上线段中点的意义，熟练掌握两点间距离计算方法，灵活运用中点的意义是解题的关键．
题型5 有理数的大小比较
解题技巧：（1）正数与正数比较，易于比较；（2）正数与负数比较，正数＞0＞负数；（3）负数与负数比较，绝对值大的反而小；（4）如果要比较的数比较多，建议在数轴上将每个数表示出来，在数轴上，从左至右，数值一次增大。当有字母时，且暂时无法理清大小关系，可以用特值法进行比较。
1．（2022·临沂第十七中学七年级月考）比较大小：+_________-； _________
【答案】
【分析】分别对第一组中的两个数化简，然后进行比较即可；第二组数据利用负数的大小的比较的方法进行比较即可．
【详解】，
， ，即；
， ，故答案为：，．
【点睛】本题主要考查有理数的大小比较，掌握负数的大小的比较方法是关键．
2．（2021·吉林吉林市·七年级期末）比较大小：_________
【答案】<．
【分析】分别求出两个数的绝对值，并进行通分，可比较两个正数的大小，再根据两个负数，绝对值大的其值反而小，即可得出结论．
【详解】∵， ，∴，∴，故答案为：<．
【点睛】此题主要考查了有理数大小比较，正确掌握比较方法是解题的关键．
3．（2021·广东汕头市·七年级一模）在，-3，0，5这四个数中，最小的数是（ ）
A． B．-3 C．0 D．5
【答案】B
【分析】根据比较有理数大小的方法，可得答案．
【详解】解：－3＜﹣＜0＜5.故最小的数是－3．故选B．
【点睛】本题考查了有理数比较大小，掌握正数大于0，0大于负数，两个负数比较，绝对值大的反而小是解题的关键．
4．（2021·河北唐山市·九年级一模）数中最大的是（ ）
A．1 B． C． D．0
【答案】A
【分析】根据正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数，两个负实数绝对值大的反而小，据此判断即可．
【详解】解：∵，∴最大的数是1，故选：A．
【点睛】本题主要考查了有理数大小比较，熟记有理数大小比较方法是解答本题的关键．
5．（2021·河北望都初一期末）有理数a，b，c在数轴上对应的点的位置如图所示，则下列关系正确的是（ ）

A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．c＞b＞a D．b＞c＞a
【答案】A
【分析】根据数轴左边的点所表示的数小于右边的点所表示的数解答即可．
【解析】由数轴得：a＞b＞c，故选：A．
【点睛】本题考查了数轴和有理数的大小比较，熟练掌握数轴上的点所表示的数的大小关系是解题关键．
6．（2021·云南昭通市·七年级期末）四个数在数轴上的对应点分别为，，，，这四个数中最小的数的对应点是______．

【答案】A
【分析】根据数轴的定义即可得．
【详解】由数轴的定义得：数轴上的点表示的数，左边的总小于右边的，
则这四个数中最小的数的对应点是A，故答案为：A．
【点睛】本题考查了数轴，掌握理解数轴的定义是解题关键．

题型6 相反数的性质与求法
性质：a.除0外，一组相反数一定是一正一负。
b.一个数的相反数就是在这个数前面加一个负号（负号的意义就是表示相反量）。
c.一组相反数的和为0。
解题技巧：（1）此类题型多为利用相反数的性质求解含字母数的相反数。利用性质b，直接在这个数前面添加“﹣”号，在利用多重符号化简的方法化简即可。（2）已知两个含有字母的数为相反数，利用性质c，将两个数相加和为0，表示成方程的形式，直接解方程即可。
1．（2021·西安科技大学附属中学初一期末）若和互为相反数，则的值是（ ）
A．4 B．1 C． D．
【答案】C
【分析】根据相反数的性质得出关于的方程，解之可得．
【解析】由题意知，则，，，故选：．
【点睛】本题主要考查相反数的性质，解题的关键是熟练掌握相反数的性质和解方程的基本步骤．
2.（2022·辽宁初三一模）中国人最早使用负数，可追溯到两千多年前的秦汉时期，的相反数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据相反数的定义求解即可．
【解析】﹣2020的相反数是2020．故选：A．
【点睛】本题考查了相反数，在一个数的前面加上负号就是这个数的相反数．
3.（2022.重庆市七年级专项）在0和0，和，和3这三对数中，互为相反数的有（ ）
A．3对 B．2对 C．1对 D．0对
【答案】B
【分析】只有符号不同的两个数叫做互为相反数.
【详解】互为相反数的是： 0和0，和-，共有2对，故选: B.
【点睛】本题考查了相反数的定义，是基础题，熟记概念是解题的关键.
4．（2021·河北黄骅初一期末）的相反数是__________．
【答案】
【分析】根据相反数的定义直接可得出答案
【解析】解：因为-()= . 所以的相反数是 故答案为：
【点睛】本题主要考查的是相反数的定义，掌握相反数的定义是解题的关键．
5.（2022·山东菏泽·七年级期末）若a与b互为相反数，则________．
【答案】1
【分析】根据相反数的性质可得，代入代数式求解即可．
【详解】解：∵互为相反数
∴故答案为：1
【点睛】本题考查了相反数的性质，掌握互为相反数的两数和为0是解题的关键．
6.（2021•绵阳期末）若m与﹣（-14）互为相反数，则m的值为（　　）
A．﹣4 B．-14 C．14 D．4
【分析】根据相反数的定义得出m+[﹣（-14）]＝0，求出方程的解即可．
【解答】解：∵m与﹣（-14）互为相反数，
∴m+[﹣（-14）]＝0，解得：m=-14．故选：B．
【点评】此题主要考查了相反数，正确把握相反数的定义是解题关键．

题型7 由数求绝对值与由绝对值求数
1)由数求绝对值：一定为非负数，即
2)由绝对值求数
a.绝对值为0的数仅有1个，即0；绝对值为正数的数有2个，其互为相反数；绝对值为负的数不存在。
b.绝对值相等的两个数，可能相等，也可能互为相反数。（建议用数轴区分，可能会有多解）
1.（2021·日照山海天旅游度假区青岛路中学七年级期中）已知|2x-1|=7，则x的值为（　　　）
A．x=4或x=-3 B．x=4 C．x=3或-4 D．x=-3
【答案】A
【分析】根据题意得2x-1=±7，从而解方程即可得出x的值．
【详解】解：∵|2x-1|=7，∴2x-1=±7，
∴当2x-1=7时，x=4; 当2x-1=﹣7时，x=-3．∴x=4或﹣3故选：A．
【点睛】此题考查了解含有绝对值的方程，解题的关键是掌握对绝对值的意义．当a是正有理数时，a的绝对值是它本身a；当a是负有理数时，a的绝对值是它的相反数-a；当a是零时，a的绝对值是零．
2. （2021·江苏镇江市·七年级期末）若，则 x的值为_______．
【答案】
【分析】根据绝对值的意义计算．
【详解】解：∵|−x|=5，∴|x|=5，∴x=±5，故答案为±5 ．　
【点睛】本题考查绝对值的应用，熟练掌握绝对值的意义是解题关键．　　　
3．（2022·辽宁朝阳·七年级期末）如果，那么的值是__．
【答案】3或##-1或3
【分析】根据绝对值的意义求解即可．
【详解】解：，，
或．故答案为：3或．
【点睛】本题考查绝对值的意义，熟练掌握该知识点是解题关键．
4．（2021·河北九年级二模）若，则的值可以是（ ）
A． B． C．2 D．4
【答案】A
【分析】逐项代入分析即可．
【详解】解：A.-(-4)=4>|-3|=3，故符合题意；B.-(-2)=2<|-3|=3，故不符合题意；
C.- 2<|-3|=3，故不符合题意；D.-4 <|-3|=3，故不符合题意；故选A．
【点睛】本题考查了有理数的大小比较，绝对值的化简，以及多重符号的化简，正数大于0，负数小于0，正数大于一切负数，两个负数，绝对值大的反而小．
5．（2021·四川绵阳市·东辰国际学校七年级期中）若｜x-2｜=2x-6，则x=____；
【答案】4
【分析】分x≤2和x>2两种情况求解方程即可．
【详解】解：当x≤2，即x-2≤0时，方程｜x-2｜=2x-6变形为：-(x-2)=2x-6
去括号整理得，-3x=-8 解得，（不符合题意，舍去）
当x>2，即x-2>0时，方程｜x-2｜=2x-6变形为：x-2=2x-6 移项合并得，x=4．故答案为：4．
【点睛】此题主要考查了绝对值方程的解法，正确去绝对值符号是解答此题的关键．
6．（2022·福建福州·七年级期末）阅读材料：我们把绝对值符号内含有未知数的方程叫做“含有绝对值的方程”．如：|x|＝2，|2x﹣1|＝3，…都是含有绝对值的方程．怎样求含有绝对值的方程的解呢？基本思路是：含有绝对值的方程→不含有绝对值的方程．我们知道，由|x|＝2，可得x＝2或x＝﹣2．
【例】解方程：|2x﹣1|＝3．我们只要把2x﹣1看成一个整体就可以根据绝对值的意义进一步解决问题．
解：根据绝对值的意义，得2x﹣1＝3或2x﹣1＝﹣3．
解这两个一元一次方程，得x＝2或x＝﹣1．
根据以上材料解决下列问题：
(1)解方程：|3x﹣2|＝4；
(2)拓展延伸：解方程|x﹣2|＝|3x+2|．
【答案】(1)x=2或x=
(2)x=-2或x=0
【分析】先去绝对值转化成一元一次方程求解．
(1)解：根据绝对值的意义得：3x-2=4或3x-2=-4．
解得：x=2或x=；
(2)由绝对值的意义得：x-2=3x+2或x-2+3x+2=0．
解得：x=-2或x=0．
【点睛】本题考查含绝对值的一元一次方程的解法，理解绝对值的意义是求解本题的关键．

题型8 绝对值非负性的应用
性质：，即非负性，注：a为任意实数
解题技巧：根据绝对值的非负性“若几个非负数的和为0，则每一个非负数必为0”，
即若a+b=0，则a=0且b=0．
1．（2022·北京房山·七年级期中）若，则_________，_________．
【答案】          3
【分析】根据偶次方和绝对值的非负性求解即可．
【详解】解：∵(a+1)2+|a−b+4|=0，∴a+1=0，a-b+4=0，
解得a=-1，b=3，故答案为：-1，3．
【点睛】本题考查了非负数的性质，①非负数有最小值是零；②有限个非负数之和仍然是非负数；③有限个非负数的和为零，那么每一个加数也必为零．
3．（2022·陕西宝鸡·七年级期末）已知与互为相反数，则的值为__________．
【答案】
【分析】根据非负数的性质得出关于a，b的方程，然后求出a，b的值，最后代入数据计算即可．
【详解】解：根据题意，得，，∴，，
∴．故答案为：．
【点睛】本题考查了非负数的性质：几个非负数的和为0，这几个非负数都为0．正确掌握非负数的性质是解题的关键．
4．（2022·全国·七年级）已知，那么________，________．
【答案】     -3     2
【分析】根据绝对值的非负性即可求解．
【详解】解：∵|x+3|+|y−2|=0，∴x=-3，y=2．故答案为：-3，2．
【点睛】本题考查了绝对值的非负性，有限个非负数的和为零，那么每一个加数也必为零．
4．（2021·饶平县第五中学七年级期末）若(x﹣2)2+|y+1|=0，则x﹣y等于（ ）
A．2 B．1 C．4 D．3
【答案】D
【分析】根据非负数的性质知(x﹣2)2=0，|y+1|=0，可求出x、y的值，然后将它们的值代入即可计算．
【详解】解：∵(x﹣2)2+|y+1|=0，∴(x﹣2)2=0，|y+1|=0，
∴x=2，y=-1，∴x-y=2-（-1）=3，故选：D．
【点睛】本题考查了非负数的性质，属于基础题，熟练掌握偶次方和绝对值的非负性是解题的关键．
5．（2021·山东初一月考试）若，则的值是　　
A． B．48 C．0 D．无法确定
【答案】B
【分析】根据绝对值的性质以及非负数性质可得a+1=0、b-2=0、c+3=0，求得a、b、c的值后代入进行计算即可得答案.
【解析】∵|a+1|+|b-2|+|c+3|=0，且|a+1|≥0，|b-2|≥0，|c+3|≥0，
∴a+1=0、b-2=0、c+3=0，∴a=-1，b=2，c=-3，
∴(a+3)(b+2)(c+6)= (-1+3)×(2+2)×(-3+6)=48，故选B.
【点睛】本题考查了非负数的性质以及有理数的运算，熟知几个非负数的和为0，那么每个非负数都为0是解题的关键.
6.（2022•灞桥区校级月考）已知|a-3|+|b﹣5|＝0，x，y互为相反数，求3（x+y）﹣a+2b的值．
【分析】根据非负数的性质得出a，b的值，再代入计算即可．
【解答】解：∵|a-3|≥0，|b﹣5|≥0且|a-3|+|b﹣5|＝0，
∴|a-3|＝0，|b﹣5|＝0即：a-3＝0，b﹣5＝0，∴a＝3，b＝5
又∵x、y互为相反数，∴x+y＝0，∴原式＝3×0﹣3+2×5＝7．
【点评】本题考查了非负数的性质，掌握互为相反数的两数之和为0，是解题的关键．

题型9 有理数加减法乘除再认识
解题技巧：该类题型的实质是有理数加减乘除法的计算，通过理解题干条件，利用有理数加减乘除法运算规律逐一判别即可。
1．（2021·四川省遂宁市第二中学校七年级月考）两个数的和是正数，那么这两个数（ ）
A．都是正数 B．一正一负 C．都是负数 D．至少有一个是正数
【答案】D
【分析】根据有理数的加法法则：两个数相加，取绝对值较大的加数的符号，再用大的绝对值减去小的绝对值，进行逐一分析即可．
【详解】解：、不一定，例如：，故此选项错误；
、不一定，例如：2与6的和8为正数，但是2与6都是正数，并不是一正一负，故此选项错误；
、两负数相加和必为负数，故此选项错误；、至少有一个是正数正确，故此选项正确；故选：D．
【点睛】此题主要考查了有理数的加法法则：两个数相加，取绝对值较大的加数的符号．所以两个数的和为正数，那么这两个数至少一个为正数．
2．（2021·叙州区双龙镇初级中学校七年级期中）若有理数、满足，且，则下列说法正确的是（　　　）
A．、可能一正一负 B．、都是正数 C．、都是负数 D．、中可能有一个为0
【答案】C
【分析】根据有理数的性质，因为ab＞0，且a+b＜0，可得a，b同号且两者都为负数可排除求解．
【详解】解：若有理数a、b满足ab>0，则a，b同号，排除A，D选项；
且a+b<0，则排除a，b都是正数的可能，排除B选项；
则说法正确的是a，b都是负数，C正确．故选C．
【点睛】本题考查了有理数的性质，根据有理数的性质利用排除法一次排除选项，最后得解．
3．（2021·云南省个旧市第二中学七年级期中）下列结论不正确的是( )
A．若a＞0，b＜0，且a＞|b|，则a＋b＜0 B．若a＜0，b＞0，且|a|＞b，则a＋b＜0
C．若a＞0，b＞0，则a＋b＞0 D．若a＜0，b>0，则a－b＜0
【答案】A
【分析】根据有理数的加法法则判断即可．
【详解】解：A．异号两数相加取绝对值较大加数的符号，故A错误，与要求相符；
B．异号两数相加取绝对值较大加数的符号，故结果符号与a的符号一致，故B正确，与要求不相符；
C．同号两数相加，取相同的符号，故C正确，与要求不相符；
D．负数减正数等于负数加负数，所以结果小于0，故D正确，与要求不相符．
【点睛】本题主要考察的是有理数的加法，掌握有理数加法法则是解题的关键．
4．（2021·北京平谷区·九年级二模）有理数，在数轴上的对应点的位置如图所示，则结论正确的是（ ）

A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由，可判断A；，，知，，，可判断B；，的相反数，而，可得，，可判断C； 由，可判断D．
【详解】解：由数轴可得，，A．∵，故选项A不正确，不符合题意；
B．，，知，，∴，故选项B不正确，不符合题意；
C．∵，∴，∵，∴，∴，
，故选项C不正确，不符合题意；
D．∵，∴故选项D正确，符合题意；故选择D．
【点睛】本题考查利用数轴上数的位置确定和与积的符合，绝对值，相反数，两数和与积的符号法则，掌握利用数轴上数的位置确定和与积的符合，绝对值，相反数，两数和与积的符号法则是解题关键
5．（2021·广东汕头市·九年级一模）实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，下列判断正确的是（　　）

A．|a|＜1 B．ab＞0 C．a-b＞0 D．1﹣a＞1
【答案】D
【分析】根据数轴上a、b的位置，可得出a，b的符号，进而判断各选项得出答案．
【详解】由数轴上a与1的位置可知：|a|>1，故选项A错误，不符合题意；
因为a＜0，b＞0，所以ab<0，故选项B错误，不符合题意；
因为a＜0，b＞0，所以a-b<0，故选项C错误，不符合题意；
因为a＜0，所以1−a>1，故选项D正确，符合题意．故选：D．
【点睛】此题主要考查了实数与数轴，结合数轴上a、b的位置判断出a，b的符号是解题关键．
6．（2022·浙江杭州市·七年级期末）在数轴上，四个不同的点A，B，C，D分别表示有理数a，b，c，d，且，则这四个点在数轴上的大致位置表示不正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】从选项数轴上找出a、b、c、d的关系，再根据a+b=c+d，逐项判断．
【详解】解：∵数轴上A、B、C、D四点所代表的数分别是a、b、c、d，且，
A、a＜c＜d＜b，可以满足a+b=c+d，故不符合；B、c＜a＜b＜d，可以满足a+b=c+d，故不符合；
C、b＜d＜a＜c，满足a+b＜c+d，故符合；D、d＜b＜a＜c，可以满足a+b=c+d，故不符合；故选C．
【点睛】本题主要考查数轴，有理数的加法运算，解题的关键是根据数轴上的位置得到a、b、c、d的关系．

题型10 有理数加、减法运算的实际应用
解题技巧：与利用正负数求平均数方法类似。（1）选择合适的标准数，超过标准数的记为正数，不足的记为负数；（2）对处理后的正负数进行加法运算；（3）最后还需要将处理后的正负数还原为实际数。
（4）根据题意列出算式；（5）进行有理数加减法运算，可利用运算律进行简算；（6）比较结果，得出结论。
1．（2021·陕西西安市·七年级期末）中国快递越来越“科技范儿”，分拣机器人、大数据AI调度等智能装备
系统让分拣效率大大提升．某分拣仓库采用智能分拣系统计划平均每天分拣20万件包裹，但实际每天分拣量与计划相比有出入，超过计划量记为正，未达计划量记为负，下面是该仓库10月份第一周分拣包裹的情况（单位：万件）：+5，﹣1，﹣3，+6，﹣1，+4，﹣8，该仓库本周实际分拣包裹一共是（ ）
A．138万件 B．140万件 C．141万件 D．142万件
【答案】D
【分析】把每天的分拣包裹数相加即可．
【详解】解：+5+（-1）+（-3）+（+6）+（-1）+（+4）+（-8）=2（万件），
20×7+2=142（万件），∴该仓库本周实际分拣包裹一共142万件．故选：D．
【点睛】本题考查正数与负数；理解题意，利用正数与负数的加减法解决实际问题是关键．
2．（2022·贵州省初一期末）某校小卖铺一周的盈亏情况如下表所示（每天固定成本元，其中“”表示盈利，“”表示亏损）则这个周共盈利（　　）
星期
一
二
三
四
无
盈亏
+220
-30
+215
-25
+225
A．元 B．元 C．元 D．元
【答案】A
【分析】根据有理数的加减计算解答即可．
【解析】+220-30+215-5+225=605，故选：A．
【点睛】此题考查正数和负数，关键是根据有理数的加减计算解答．
3．（2022·浙江绍兴市·七年级期中）为解决村庄灌溉问题，政府投资由水库向，，，，这五个村庄铺设管道，现已知这五个村庄与水库以及村与村之间的距离（单位：）如图所示，则把水库的水输送到这五个村庄铺设管道的总长度最短应是（ ）

A． B． C． D．
【答案】A
【分析】尽量选择数据较小的路线，到达5个村庄即可．
【详解】解：如图，要使水管最短，一定要挑选最短的路程，
最短总长度应该是：水库到A，再从A到E、B，同时从B到C，从E到D，
总长度为：4+3+4+4+4=19km，故选A．
【点睛】本题考查了最短路径问题，找到最短路线是解决本题的关键．
4．（2021·北京顺义区·九年级一模）标有1－25号的25个座位如图摆放．甲、乙、丙、丁四人玩选座位游戏，甲选2个座位，乙选3个座位，丙选4个座位，丁选5个座位，游戏规则如下：①每人只能选择同一横行或同一竖列的座位；②每人使自己所选的座位号数字之和最小；③座位不能重复选择．如果按“甲、乙、丙、丁”的先后顺序选座位，那么甲选1，2号座位，乙选3，4，5号座位，丙选7，8，9，10号座位，丁选13，14，15，16，17号座位，此时四人所选的座位号数字之和为124，如果按“丁、丙、乙、甲”的先后顺序选座位，那么四人所选的座位号数字之和为________．

【答案】
【分析】根据游戏规则，按“同一横行”，分别得出丁、丙、乙、甲所选的数，再把它们相加即可.
【详解】解：由每人只能选择同一横行或同一竖列的座位的原则，
可得丁选择了： 和为 丙选择了：和为
乙选择了： 和为 甲选择了：和为
故四人所选的座位号数字之和为： ，答案为：
【点睛】本题考查了有理数的加法，理解题意，弄清游戏规则是解题的关键．
5．（2021·兰州民族中学七年级期末）张强到某城市行政中心大楼办事，假定乘电梯向上一楼记为+1，向下一楼记为-1．张强从1楼出发，电梯上下楼层依次记录如下（单位：层）：
+4，-3，+10，-8，+12，-6，-7．
（1）请你通过计算说明张强最后停在几楼；（2）该中心大楼每层高2.8m，电梯每上或下1m需要耗电a度．张强办完事后乘坐电梯又回到1楼，请你算一算，在他办事的整个过程中电梯需要耗电多少度？
【答案】（1）3楼；（2）142.8a度
【分析】（1）根据题意，列出有理数的加法算式，进而即可求解；
（2）根据上楼、下楼都耗电，可判断他办事时电梯需要耗电多少度．
【详解】解：（1）1+（＋4）＋（−3）＋（＋10）＋（−8）＋（＋12）＋（−6）＋（−7），
＝4−3＋10−8＋12−6−7，＝3，
∴张强最后停在3楼；
（2）（|＋4|＋|−3|＋|＋10|＋|−8|＋|＋12|＋|−6|＋|−7|+1）×2.8a，＝142.8a（度），
答：他办事的整个过程中电梯需要耗电142.8a度．
【点睛】本题主要考查了有理数的加法运算的实际应用，（2）中注意要求出上下楼层的绝对值，而不是利用（1）中的结论求解，这是本题容易出错的地方．
6．（2021·广西南宁市·七年级期末）近年来，我市香蕉产业不断做大做强，打造出“洛洛香”、“甜弯弯”等优质品业牌．如今又到了香蕉上市的季节，某商家以每箱60元的进价购入200箱香蕉，然后分批全部卖出．售价以每箱75元为标准，超过的部分记为正，低于的部分记为负，记录如下：
超出标准（单位：元）



0


卖出数量（单位：箱）
50
20
40
30
30
30
（1）求每箱香蕉的平均售价是多少元？（2）该商家卖完所有香蕉所获利润为多少元？
【答案】（1）每箱香蕉的平均售价是80元；（2）该商家卖完所有香蕉所获利润为4000元.
【分析】（1）先根据正负数的定义求出每一批的售价，再根据总收入=售价×数量求出总收入，总收入除以总数量即为平均售价,；（2）用总收入减去总成本即可求出总利润．
【详解】解：（1）由题意得售价分别为
（元） （元） （元） （元）
（元） （元）
则总销售额为=4500+1740+3400+6360=16000（元）
则平均售价为（元）
答：每箱香蕉的平均售价是80元；
（2）总利润为（元）
答：该商家卖完所有香蕉所获利润为4000元．
【点睛】本题主要考查正负数的含义及其在实际问题中的应用，正确的理解正负数的定义是解题的关键．

题型11. 有理数的乘除法在实际问题中的应用
解题技巧：（1）根据题意列出算式；（2）进行有理数乘除法运算，可利用运算律进行简算；（3）比较结果，得出结论。对原本无数量关系的问题巧妙的赋某些特定值，将其转化成数量问题，然后通过对整数的正负号进行讨论，使问题得到解决。用赋值法解决此类问题时，关键是对操作过程中的某一个量进行赋值（通常为±1），通过对操作过程的量化，讨论理数正负号变化规律，最终求解出具体问题。
1．（2021·浙江初一期中）如图，桌上有9张卡片，每张卡片的一面写数字1,另一面写数字-1.每次翻动任意2张(包括已翻过的牌)。改变其向上的面，然后计算能看到的所有牌面数字的积请问， 当翻了2019次时牌面数字的积为( )

A．1 B．-1 C．2019 D．-2019
【答案】A
【分析】依照题述翻牌，发现翻牌时-1的个数总保持偶数，故2019次翻牌乘积仍为1.
【解析】第一次翻牌时有两张变成-1，其它都为1，故乘积为1:；
第二次翻牌时，有三种可能：①翻到的两张都为未翻到的牌，则有四张-1，其它都为1，乘积为1；②翻到的两张都为翻到的牌，则有0张-1，其它都为1，乘积为1；③翻到的两张一张为翻过的牌，一张为未翻过的牌，则-1有两张，其它都为1，乘积为1.
依次类推，从第二次开始每次翻牌都有三种可能，-1的个数比原来增加2，-1的个数保持不变，-1的个数减少2，总之-1的个数为偶数，其余全是1，故乘积为1.
所以当翻了2019次时牌面数字的积为：1.故选:A.
【点睛】本次考查探索与表达规律，多个有理数相乘.解决本题的关键是能找到题中-1个数的变化规律，并根据多个有理数相乘，当负数的个数为偶数时结果为正，当负数的个数为奇数时结果为负，再把绝对值相乘进行计算.
2．（2021·重庆九龙坡区·七年级期末）《九章算术》是中国古代第一部数学专著，不仅最早提到分数问题，也首先记录了盈不足等问题，在第七章“盈不足”中有这样一个问题:“今有蒲生一日，长三尺；蒲生日自半”．其意思是“有蒲这种植物，蒲第一日长了3尺，以后蒲每日生长的长度是前一日的一半”．请计算出第三日后，蒲的长度为______尺．
【答案】．
【分析】根据题意求出蒲植物生长长度的规律即可求解．
【详解】依题意得：第一日，蒲长为3尺，第二日，蒲长为尺，
第三日，蒲长为，第三日后，蒲的长度为，故答案为：．
【点睛】本题考查有理数的乘法，关键是求出蒲植物生长长度的规律，是一道难度较大的题目．
3．（2021·重庆巴蜀中学七年级期中）为了让市民接种新冠疫苗更加方便，某社区卫生中心对辖区居民接种疫苗意愿进行了预登记．某小区居民在预登记时，申请需接种两针的“国药灭活疫苗”、一针的“康希诺腺病毒载体疫苗”和三针的“智飞生物重组蛋白疫苗”的人数均不低于10人．正式登记时，该小区居民接种两针疫苗和一针疫苗的人数均比预登记时增加了，接种三针疫苗的只有8人，实际接种时在接种两针疫苗的居民中有几人因身体不符合接种条件而没能接种．接种结束后（需要接种的针剂全部打完）卫生中心统计发现该小区预登记和实际接种时的针剂总数恰好都为100针，则该小区实际接种的人数最多为________人．
【答案】76
【分析】根据临界值求最值即可．
【详解】解：因为实际接种100针，三针接种人数为8人，∴当一针接种人数最多时总人数最多，
∵二针、三针预登记的人数最少为10人，则一针的预登记人数最多为100-10×3-10×2=50（人），
正式登记一、二针增加20%，故一针实际登记人数为50×（1+20%）=60人，
二针实际登记为10×（1+20%）=12（人）．
实际接种时：三针接种人数为8人，一针为60人，共用8×3+60=84（针），则二针用100-84=16针，
∴二针接种人数为16÷2=8人．故总人数最多为：60+8+8=76人．故答案为76．
【点睛】此题考查不等式的知识，用临界值思想求最值是解此题的关键．
4．（2021·江苏镇江市·七年级期末）将四个数2，﹣3，4，﹣5进行有理数的加、减、乘、除、乘方运算，列一个算式_____（每个数都要用，且只能用一次，写出一个即可），使得运算结果等于24．
【答案】2×[4﹣（﹣3）﹣（﹣5）]＝24（答案不唯一）．
【分析】根据有理数的运算法则求解．
【详解】解：2×[4﹣（﹣3）﹣（﹣5）]＝2×（4+3+5）＝2×12＝24，
故答案为：2×[4﹣（﹣3）﹣（﹣5）]＝24（答案不唯一）．
【点睛】本题考查有理数的四则混合运算，熟练掌握有理数的运算法则是解题关键．
5．（2022·全国·七年级）某城市从2006年5月1日起对出租车计价方法进行了调整.有一次小明乘出租车时看到车内放有一张计价说明，但后面的几个字已受损．

（1）小明乘到4千米的时候计价器显示的价格为8.6元，问超过部分每千米收费多少元？
（2）如果小明这次乘出租车时付了12.2元，求他乘坐路程的范围（计价器每一千米跳价一次，不足一千米按一千米计价）．
【答案】（1）1.8；（2）小明乘坐的路程范围是大于5千米且小于或等于6千米．
【分析】（1）先将总价减去起步价，得出超过部分的收费，再除以超过里程部分，得出结果；（2）分成两部分计算：起步价＋超过部分价．
【详解】（1）（8.6−5）÷（4−2）＝1.8；
（2）12.2−5＝7.2，7.2÷1.8＝4．
因为计价器不足一千米按一千米计价，
所以小明乘坐的路程范围是大于5千米且小于或等于6千米．
【点睛】此题既联系实际生活，又考查了学生对有理数的理解和运算能力．要注意：计价器每一千米跳价一次，不足一千米按一千米计价．
6．（2022·四川·石室中学七年级期中）居民生活中使用天然气实行阶梯式计价，用户每月用气量在20立方米及以内的为第一级基数，按一级用气价格收取；超过20立方米且不超过30立方米的部分为第二级气量基数，按一级用气价格的1.5倍收取：超过30立方米的部分为第三级气量基数，按一级用气价格的1.8倍收取．为节约用气量，小明记录了1－7月份他家每月1号的气表读数．

1月
2月
3月
4月
5月
6月
7月
气表读数（立方米）
433
450
468
485
500
514
535
（1）直接写出小明家1月份的用气量____________立方米及1－6月平均每月用气量为_______立方米．
（2）已知小明家2月份的气费为36元，试求他家6月份需交气费多少元？
（3）7月份放暑假后，小明的爷爷、奶奶及表哥来到家里和小明一起生活，并多次请客，用气量明显增加，比6月份多用气12立方米，试求小明家7月份需交纳气费多少元？
【答案】（1）；；（2）元；（3）元
【分析】（1）根据题意和表格中的数据，可以得出小明家月份的用气量和月份平均每月的用气量
（2）根据小明家月份的气费为元，可以计算出一级用气价格，再根据小明家月份的用气量超过立方米且不超过立方米，超过立方米的部分按第二级气量基数，结合题意，从而即可计算
（3）根据题意，可计算出小明家月的用气量，再结合题意，即可计算
【详解】（1）由表格数据可得：小明家月份的用气量为立方米；
月份平均每月的用气量为：立方米
故答案为：；
（2）小明家月份的气费为元，月份的气费量为：
一级用气价格为：（元/立方米）
月份的用气量为立方米，气量超过立方米且不超过立方米的部分按第二级气量基数，超出部分按一级用气价格的倍收取
月份小明家需交气费为：元
（3）小明家月份的用气量为：立方米，月份的用气量比月份的多立方米
月份的用气量为：立方米
气量超过立方米且不超过立方米的部分为第二级气量基数，超出部分按一级用气价格的倍收取，用气量超过立方米的部分为第三级气量基数，按一级用气价格的倍收取费用
月份小明家需交气费为：元
【点睛】本题考查了有理数的混合运算，解题关键是明确题意，求出相应的收费标准．

题型12 新定义运算
解题技巧：该类题型会定义一种我们未学习过的运算规则，我们只需要照定义的运算规则，将题干写成有理数之间的运算即可。然后在直接按照有理数的运算法则求解最终答案。
1．（2022·甘州区思源实验学校七年级期末）定义新运算：如果3※2＝3+33＝36，2※3＝2+22+222＝246，1※4＝1+11+111+1111＝1234，求4※5=_________ ．
【答案】49380．
【分析】观察新定义的特点，根据新定义的特点计算即可．
【详解】解：∵3※2＝3+33＝36，2※3＝2+22+222＝246，1※4＝1+11+111+1111＝1234，
∴4※5＝4+44+444+4444+44444＝49380．故答案为：49380．
【点睛】本题考查了新定义，以及有理数的加法运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
2．（2022·北京初一期中）在密码学中，直接可以看到内容为明码，对明码进行某种处理后得到的内容为密码．有一种密码，将英文个字母，，，，（不论大小写）依次对应，，，，这个自然数(见表格)，当明码对应的序号为奇数时，密码对应的序号，当明码对应的序号为偶数时，密码对应的序号，按下述规定，将明码“”译成密码是：
字母













序号













字母













序号













A． B． C． D．
【答案】A
【解析】∵密码， 中，，
，，．
∴．故选A．
3．（2022·广东广州市·七年级期中）若定义一种新的运算“*”，规定有理数a*b＝3ab，如2*（﹣4）＝3×2×（﹣4）＝﹣24．则*（﹣2*5）＝_____．
【答案】﹣15
【分析】根据a*b＝3ab，可以求得所求式子的值．
【详解】解：∵a*b＝3ab，
∴*（﹣2*5）＝*[3×（﹣2）×5]＝*（﹣30）＝3××（﹣30）＝﹣15，故答案为：﹣15．
【点睛】本题考查有理数的混合运算、新运算，解答本题的关键是明确有理数混合运算的计算方法．
4．（2021·湖北省初一期中）在快速计算法中，法国的“小九九”从“一一得一”到“五五二十五”和我国的“小九九”算法是完全一样的，而后面“六到九”的运算就改用手势了．如计算8×9时，左手伸出3根手指，右手伸出4根手指，两只手伸出手指数的和为7，未伸出手指数的积为2，则8×9=10×7+2=72．那么在计算6×7时，左、右手伸出的手指数应该分别为（ ）
A．1，2 B．1，3 C．4，2 D．4，3
【答案】A
分析：通过猜想得出数据，再代入看看是否符合即可．
【解析】一只手伸出1，未伸出4，另一只手伸出2，未伸出3，
伸出的和为3×10=30，30+4×3=42，故选A．
点评：此题是定义新运算题型．通过阅读规则，得出一般结论．解题关键是对号入座不要找错对应关系．
5．（2021·河北张家口市·七年级期末）若规定“！”是一种数学运算符号，且1！=1，2！=2×1，3！=3×2×1，4！=4×3×2×1，则的值为（ ）
A． B．99 C．9900 D．2
【答案】C
【分析】根据运算的定义，可以把100！和98！写成连乘积的形式，然后约分即可求解．
【详解】解：原式==99×100 =9900．故选：C．
【点睛】此题考查了有理数的乘法运算，正确理解题意，理解运算的定义是关键．
6．（2021·山西吕梁市·九年级二模）已知“！”是一种数学运算符号，并且1！=1，2！=2×1=2，3！=3×2×1=6，4！=4×3×2×1=24，…，若公式 Cnm=（n＞m），则C125 =（ ）
A．60 B．792 C．812 D．5040
【答案】B
【分析】根据公式和新定义的运算将数值代入公式求解即可．
【详解】解：C125 =
故选：B．
【点睛】关键是根据给出的式子，找出新的运算方法，再利用新的运算方法进行解答．
7．（2021·重庆巴南育才中学校九年级三模）如果自然数m使得作竖式加法m+（m+1）+（m+2）时对应的每一位都不产生进位现象，则称m为“三生三世数”，例如：
12，321都是“三生三世数”，理由是12+13+14及321+322+323分别都不产生进位现象；
50，123都不是“三生三世数“，理由是50+51+52及123+124+125分别产生了进位现象
（1）分别判断42和3210是不是“三生三世数”，并说明理由；
（2）求三位数中小于200且是3的倍数的“三生三世数”．
【答案】（1）42不是“三生三世数”，3210是“三生三世数”，理由见解析；（2）102，111，120，132
【分析】（1）根据“三生三世数”的定义进行判断便可；
（2）先根据“三生三世数”定义求出三位数中小于200的“三生三世数”，再求得其中是3的倍数的数便可．
【详解】解：（1）∵42+43+44计算时会产生进位现象，∴42不是“三生三世数”，
∵3210+3211+3212计算时不会产生进位现象，∴3210是“三生三世数”，
（2）根据“三生三世数”的定义知，小于200的三位数中的“三生三世数”有：
100，101，102，110，111，112，120，121，122，130，131，132，
∵102，111，120，132能被3整除，
∴三位数中小于200且是3的倍数的“三生三世数”有：102，111，120，132．
【点睛】本题考查了有理数的加法、新定义，解题的关键是明确题意，利用题干中的新定义解答．

题型13 有理数的简算
解题技巧：（1）有理数的简便运算一般运用加法（乘法）的运算律或减法（除法）的性质，达到简便运算的目的。（2）利用乘方的运算性质，将可以凑整的部分先放在一起简化运算，再求凑整后部分的乘方运算。
1．（2022·长沙市开福区青竹湖湘一外国语学校初二月考）计算（）2019•（﹣1.5）2020的结果是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】==．故选B．
【点睛】本题主要考查的是有理数的乘方，逆用积的乘方法则是解题的关键．
2．（2021·江苏江都初一月考）计算：(-2)1997×()1996＝( )
A．2 B．1 C．0 D．-2
【答案】D
【分析】根据积的乘方，等于把积中的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，逆用积的乘方的性质计算即可．
【解析】解：原式= ===-2 故选：D
【点睛】考查幂的乘方与积的乘方，掌握运算法则是解题的关键.
3．（2021·温州市第十二中学七年级月考）计算的值．
【答案】
【分析】由题意，先把每个分数进行拆项，变成差的形式，再进行计算即可．
【详解】解：根据题意，则

=
=
=．
【点睛】本题考查了有理数的加减混合运算，解题的关键是掌握运算法则，正确的进行拆项，从而进行解题．
4．（2022·全国初一课时练习）计算：
（1） （2）
（3） （4） .
【答案】（1）；（2）. （3）；（4）.
【分析】（1）、（2）根据有理数的加法法则，结合有理数的加法运算律进行计算即可.
（3）、（4）按有理数的加法法则，利用交换律，结合律，将分母相同的交换并结合在一起进行计算即可.
【解析】
（1）原式===.
（2）原式====.
（3）==-10=；
（4） =
==7+（-3）=.
【点睛】本题有以下两个解题要点：（1）熟记“有理数的加法法则”；（2）知道有理数的加法交换律和结合律，并能在解题中灵活应用.
5．（2022·浙江衢州市·七年级期中）阅读下面解题过程：
计算：
解：原式＝（第①步）
＝ （第②步）
＝（－15）÷（－25）（第③步）
＝ （第④步）
（1）上面解题过程中有错误的步骤是________．（填序号）
（2）请写出正确的解题过程．
【答案】（1）②④；（2）见解析
【分析】（1）根据有理数的乘除法混合运算法则，分步查找错误即可；
（2）根据有理数的乘除法混合运算法则进行计算即可得出结果．
【详解】解：（1）②乘法和除法的混合运算，要依次计算，计算步骤不能颠倒，④负数和负数相除结果为正数，因此②④错误，故填：②④；
（2）原式 ＝ ＝ ＝ ＝ ．
【点睛】本题考查有理数的乘除法混合运算，熟练掌握运算法则是关键．
6．（2022·重庆市璧山区正则中学七年级月考）计算：
（1）；（2）；
（3）； （4）．
【答案】（1）-33；（2）；（3）-19；（4）
【分析】（1）根据有理数的加减运算法则，进行计算即可；
（2）根据有理数的乘除运算法则计算即可；
（3）根据有理数的乘法运算，利用乘法分配律计算即可；
（4）根据有理数的乘法运算，计算即可．
【详解】（1）由题意得：，
，
，
故答案为：-33；
（2）由题意得：

，
故答案为：；
（3）

，
故答案为：-19；
（4）由题意得：

，
故答案为：；
【点睛】本题考查了有理数加、减、乘、除运算，熟记运算法则是解题的关键．
7．（2022·焦作市第十八中学七年级月考）观察下列等式＝1﹣，＝﹣，＝﹣，将以上三个等式两边分别相加得++＝1﹣+﹣+﹣＝1﹣＝．
（1）猜想并写出 ；
（2）+++…+＝ ；
（3）探究并计算：；
（4）计算：．
【答案】（1）；（2）；（3）；（4）．
【分析】（1）观察已知等式，进行归纳类推即可得；（2）根据（1）中的猜想进行计算即可得；
（3）先根据乘法分配律提取，再参照（2）进行计算即可得；
（4）先根据乘法分配律提取，再参照（2）进行计算即可得．
【详解】（1），，，
归纳类推得：，故答案为：；
（2），
故答案为：；
（3），，
，，，；
（4）
，
，．
【点睛】本题考查了有理数乘法与加减法的规律性问题，依据题意，正确归纳类推出一般规律是解题关键．

题型14 乘方的应用
解题技巧：（1）末尾数字问题：此类题型通常乘方运算种的幂比较大，且无简单计算方法，直接计算几乎无法进行。但此类题型也并非需要求解出最终的结果，往往只需要求解这组数的末尾数字。因此，在解这类时，我们只需要关注末位数字，通过多计算几组末尾数字，找出末尾数字的变化规律。最后依旧变化规律，分析出最终结果。
（2）此类题型的难点在于分析问题，建立乘方的数学模型。基本步骤为：首先从特殊情形入手，逐步分析、归纳，找出变化规律；然后根据规律写出乘方数学模型；最后根据题干要求计算结果。
1．（2021·湖北武汉初三二模）观察下列等式：，，，，，，，那么的末位数字是
A．9 B．7 C．6 D．0
【答案】C
【分析】先根据已知算式算出其个位数据，进而得出规律，再求出即可.
【解析】解：∵71=7，72=49，73=343，74=2401，
75=16807，76=117649，77=823543，…，
2018÷4=504…2，
∴504×（7+9+3+1）+7+9=10096，
∴71+72+73+…+72018的末位数字是6，故选：C．
【点睛】本题考查了尾数特征和数字变化类，找出规律后转化为周期问题，本题能根据已知算式得出规律是解题的关键．
2．（2022·江苏相城初一月考）数32019・72020・132021的个位数是 （　）
A．1 B．3 C．7 D．9
【答案】A
【分析】首先根据规律依次分析出、、的个位数，然后由此进一步结合题意求出答案即可.
【解析】∵，，，，…
观察可得计算结果个位数是3，9，7，1，四次一循环，
∵，∴的个位数为7，
同理，通过观察可得，的个位数分别为1，3，
∵，∴的个位数字为1，故选：A.
【点睛】本题主要考查了有理数乘方运算的规律探讨，根据题意找出正确的规律是解题关键.
3．（2021·河南省初一期中）一质点P从距原点1个单位的A点处向原点方向跳动，第一次跳动到OA的中点处，第二次从点跳动到O的中点处，第三次从点跳动到O的中点处，如此不断跳动下去，则第5次跳动后，该质点到原点O的距离为_____________.

【答案】
【分析】根据题意分析可得：每次跳动后，到原点O的距离为跳动前的一半．
【解析】依题意可知，第n次跳动后，该质点到原点O的距离为，
∴第5次跳动后，该质点到原点O的距离为.故答案为．
【点睛】本题是一道找规律的题目，这类题型在中考中经常出现．对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的．
4．（2021·福建省初一期中）我国古代《易经》一书中记载，远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳记数”．如图，一位妇女在从右到左依次排列的绳子上打结，满七进一，用来记录采集到的野果数量，由图可知，她一共采集到的野果个数为（　　）

A．3123 B．3214 C．3258 D．3236
【答案】D
【分析】从右到左表示满七进一的数为：第5位上的数×74+第4位上的数×73+第3位上的数×72+第2位上的数×7+第1位上的数．
【解析】她一共采集到的野果个数为1×74+2×73+3×72+0×7+2＝3236，故选：D．
【点睛】本题考查了用数字表示事件和有理数的运算．本题是以古代“结绳计数”为背景，按满七进一计算自采集到的野果数量，运用了类比的方法，根据图中的数学列式计算；本题题型新颖，一方面让学生了解了古代的数学知识，另一方面也考查了学生的思维能力．
5．（2022·浙江七年级开学考试）我们平时用的是十进制数，例如，，表示十进制数要用个数字：，，，…，．在电子计算机中使用的是二进制，只用两个数字：，．例如：在二进制中，等于十进制的，，等于十进制的．请你计算一下：
（1）二进制中的数等于十进制的数多少？
（2）仿照二进制的说明与算法，请你计算一下，八进制中的数等于十进制的数多少？
【答案】（1）；（2）
【分析】根据十进制中的数与二进制中的数的相互转化的方法计算．
【详解】解：（1）．
答：二进制中的数等于十进制的数是．
（2）．
答：八进制中的数等于十进制的数是．
【点睛】本题考查的是有理数的乘方，解题的关键在于阅读材料，明确十进制与二进制的转化．
6．（2022·湖北孝感市·七年级期末）阅读材料：求的值.
解：设
将等式两边同时乘以2，得

将下式减去上式，得
即
请你仿照此法计算：（1） （2）
【答案】（1）；（2）.
【分析】（1）设M=，将等式两边同时乘以3，然后按照材料中的方法进行计算，即可得到答案；（2）设N=，将等式两边同时乘以5，然后按照材料中的方法进行计算，即可得到答案.
【详解】解：（1）根据材料，设M=①，
∴将等式两边同时乘以3，则3M=②，
由②①，得：，∴；
∴.
（2）根据材料，设N=③，
∴将等式两边同时乘以5，④，
由④③，得：，∴；
∴.
【点睛】本题考查有理数的乘方，解题的关键是明确题意，运用题目中的解题方法，运用类比的数学思想解答问题．

题型15 新定义运算（乘方）
【解题技巧】正确地理解新定义的算式含义，然后严格按照新定义的计算程序，将数值代入，转化为常规
的有理数混合运算算式进行计算.
1．（2021·苏州新草桥中学七年级月考）大于1的正整数m的三次幂可“分裂”成若干个连续奇数的和，如，若分裂后，其中有一个奇数是75，则的值是_______．
【答案】9
【分析】根据底数是相应的奇数的个数，然后求出75是从3开始的奇数的序数为37，再求出第37个奇数的底数即可得解．
【详解】解：23有3、5共2个奇数，33有7、9、11共3个奇数，43有13、15、17、19共4个奇数，
∵2×37+1=75，∴75是从3开始的第37个奇数，
∵1+2+3+4+5+6+7+8=36，1+2+3+4+5+6+7+8+9=45，
∴m3“分裂”后，其中有一个奇数是75，则m的值9．故答案为：9．
【点睛】本题考查了有理数的乘方，观察数据特点，判断出底数是相应的奇数的个数是解题的关键．
2．（2021·山东临沂市·九年级一模）定义运算：若，则，例如，则．运用以上定义，计算：______．
【答案】-1
【分析】根据题意可以计算出所求式子的值．
【详解】解：由题意可得，log5125-log381=3-4=-1，故答案为：-1．
【点睛】本题考查了新定义运算，解答本题的关键是明确新定义运算的计算方法．
3．（2022·涟水金城外国语学校初一期中）规定两数之间的一种运算，记作：如果， 那么．例如：因为， 所以．
（1）根据上述规定，填空：__________，__________ ， =__________；
（2）小明在研究这种运算时发现一个现象：，小明给出了如下的证明：
设，则，即，所以，即，所以，
请你尝试运用这种方法证明下面这个等式：
【答案】（1）3；2；3；（2）见解析
【分析】（1）分别计算左边与右边式子，即可做出判断；
（2）设（3，4）=x，（3，5）=y，根据同底数幂的乘法法则即可求解．
【解析】解：（1）53=125，（5，125）=3， （-2）2=4，（-2，4）=2，
（-2）3=-8，（-2，-8）=3， 故答案为：3；2；3；
（2）设（3，4）=x，（3，5）=y， 则3x=4，3y=5， ∴3x+y=3x•3y=20，
∴（3，20）=x+y，∴（3，4）+（3，5）=（3，20）．
【点睛】此题考查了有理数的混合运算，弄清题中的新运算是解本题的关键．
4．（2022·银川市第三中学初一期中）阅读理解与计算：
（1）用“”定义新运算：对于任意有理数，都有．例如：．则①填空： ； ②当为有理数时，求的值； （2）已知互为相反数，互为倒数，，试求的值．
【答案】（1）①10；②26；（2）2
【分析】（1）根据新定义运算法则可得：①32+1；②；
（2）根据互为相反数和互为倒数的两个数的关系，和绝对值定义可得：m+n=0,xy=1,a2=1，代入式子可得．
【解析】解：（1）根据新定义运算法则可得：
①32+1=10，故答案为：10
②
（2）因为互为相反数，互为倒数，，
所以m+n=0,xy=1,a2=1 所以=1-0+1=2
【点睛】考核知识点：新定义运算，有理数运算．理解新定义运算法则，掌握有理数运算法则是关键．
5．（2021·张家口市宣化区教学研究中心七年级期末）现定义某种运算“”，对任意两个有理数、，有，如，计算：______．
【答案】1
【分析】理解“”，先算括号内的，再算括号外的．
【详解】故答案为：1．
【点睛】此题是新定义运算题型，考查有理数的乘方．关键要理解新定义的运算含义和乘方的意义．
6．（2021·浙江七年级期中）（概念学习）
规定：求若干个相同的有理数（均不等0）的除法运算叫做除方，如，等．类比有理数的乘方，我们把记作，读作“2的圈3次方”记作，读作“的圈4次方”．一般地，把记作读作“a的圈n次方”
（初步探究）（1）直接写出计算结果：________，________．
（2）关于除方，下列说法错误的是________
A．任何非零数的圈3次方都等于它的倒数 B．对于任何正整数n，1=1
C． D．负数的圈奇数次方结果是负数，负数的圈偶数次方结果是正数
（深入思考）我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有理数的除方运算如何转化为乘法运算呢？

（3）试一试：仿照上面的算式，将下列运算结果直接写成幂的形式
________；_________；_______
（4）想一想：将一个非零有理数a的圈n次方写成幂的形式是________
（5）算一算：．
【答案】（1），4；（2）C；（3）；；；（4）；（5）
【分析】（1）根据运算规定，用除法运算直接得出结果；（2）根据运算规定，验证每个选择支，做出正确的判断；（3）观察例题得到规律，一个非零有理数的圈次方等于的倒数的次方，按规律得到结果；（4）把一个非零有理数的圈次方等于的倒数的次方，写成字母表述的形式；
（5）根据圈的运算规定，按着有理数的运算顺序、运算法则计算出结果．
【详解】解：（1），


．
故答案为：，4．
（2），
，
由于，

所以选项错误
故选C．
（3）


；


；


；
故答案为：；；；
（4）a


故答案为：；
（5）



．
【点睛】本题主要考查了新定义、新定义运算的应用及有理数的混合运算，掌握新定义和有理数的混合运算是解决本题的关键．

题型16 科学记数法与近似数
【解题技巧】（1）科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看
把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．
（2）近似数和有效数字：从一个数的左边第一个不是0的数字起到末位数字止，所有的数字都是这个数的有效数字．近似数与精确数的接近程度，可以用精确度表示．一般有，精确到哪一位，保留几个有效数字等说法．
1．（2021·河北唐山市·九年级二模）一个整数81550…0用科学记数法表示为，则原数中“0”的个数为（ ）
A．4 B．6 C．7 D．10
【答案】C
【分析】把8.155×1010写成不用科学记数法表示的原数的形式即可得．
【详解】解：∵8.155×1010表示的原数为81550000000，
∴原数中“0”的个数为7，故选：C．
【点睛】本题考查了把科学记数法表示的数还原成原数，当n＞0时，n是几，小数点就向后移几位．
2．（2021·河南洛阳市·九年级二模）2021年2月19日9：00时，我国首枚火星探测器“天问一号”距离地球2.05亿千米，其中2.05亿千米用科学计数法表示为（ ）
A．米 B．米 C．米 D．米
【答案】B
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数．
【详解】解：2.05亿千米=205000000千米=205000000000米=2.05×1011米．故选：B．
【点睛】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
3．（2021·湖北荆州市·九年级三模）为了将“新冠“疫情对国民经济的影响降至最低，中国政府采取积极的财政税收政策，切实减轻企业负担，以促进我国进出口企业平稳发展．据国家统计局相关数据显示，2020年1月至5月，全国累计办理出口退税632400000000元，其中数字632400000000用科学记数法表示为（ ）
A．6.324×1011 B．6.324×1010 C．632.4×109 D．0.6324×1013
【答案】A
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【详解】解：632400000000=6.324×1011，故选：A．
【点睛】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
4．（2021·河北唐山市·九年级一模）用科学记数法表示数字160531（精确到千位）是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】近似数精确到哪一位，应当看末位数字实际在哪一位．
【详解】解：（精确到千位）．故选：C．
【点睛】本题考查了近似数和有效数字，近似数与精确数的接近程度，可以用精确度表示，一般有，精确到哪一位，保留几个有效数字等说法．也考查了科学记数法．
5．（2021·河北九年级二模）近似数3.20精确的数位是（ ）
A．十分位 B．百分位 C．千分位 D．十位
【答案】B
【分析】根据近似数的精确度求解．
【详解】3.20精确的数位是百分位，故选B．
【点睛】本题考查了近似数和有效数字：经过四舍五入得到的数为近似数；从一个数的左边第一个不是0的数字起到末位数字止，所有的数字都是这个数的有效数字．近似数与精确数的接近程度，可以用精确度表示．一般有，精确到哪一位，保留几个有效数字等说法．
6．（2021·河北唐山市·九年级学业考试）我国第十四个五年规划和2035年远景目标纲要中阐释了“坚持农业农村优先发展，全面推进乡村振兴”的具体目标：坚持最严格的耕地保护制度，实施高标准农田建设工程，建成亿亩集中连片高标准农田，下列关于亿的说法正确的是（ ）
A．亿是精确到亿位 B．亿是精确到十亿位
C．亿用科学记数法表示为，则，
D．亿用科学记数法表示为，则，
【答案】C
【分析】根据科学记数法与精确度的定义即可判断求解．
【详解】亿精确到百万位，用科学记数法表示为， 故选C．
【点睛】此题主要考查科学记数法的表示，解题的关键是熟知科学记数法与精确度的定义．