2022-2023学年苏科版七年级数学上册重难题型全归纳 专题07 探究与表达规律（八大题型） 专项讲练（原卷+解析卷）

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专题07 探究与表达规律（八大题型） 专项讲练
1. 解题思维过程：从简单、局部或特殊情况入手，经过提炼、归纳和猜想，探索规律，获得结论.有时候还需要通过类比联想才能找到隐含条件.一般有下列几个类型：
1）一列数的规律：把握常见几类数的排列规律及每个数与排列序号之间的关系.
2）一列等式的规律：用含有字母的代数式总结规律，注意此代数式与序号之间的关系.
3）图形（图表）规律：观察前几个图形，确定每个图形中图形的个数或图形总数与序号之间的关系.
4）图形变换的规律：找准循环周期内图形变换的特点，然后用图形变换总次数除以一个循环变换周期，进而观察商和余数.
5）数形结合的规律：观察前项（一般前3项）及利用题中的已知条件，归纳猜想一般性结论.
2. 常见的数列规律：
1）1，3，5，7，9，… ，（为正整数）．
2） 2，4，6，8，10，…，（为正整数）．
3） 2，4，8，16，32，…，（为正整数）．
4）2， 6， 12， 20，…， （为正整数）．
5），，，，，，…，（为正整数）．
6）特殊数列： ①三角形数：1,3,6,10,15,21，…，.
②斐波那契数列：1，1，2，3，5，8，13，…，从第三个数开始每一个数等于与它相邻的前两个数的和.

题型1：数列的规律
1．（2022·江苏盐城·七年级阶段练习）巴尔末公式打开了光谱奥秘的大门，它的前4个数据为按这种规律，写出的第n个数据是_______________（n≥1）．
2．（2022·广东湛江·七年级期末）各正方形中的四个数之间都有一定的规律，按此规律得出，的值分别为（       ）
0
3

2
5

4
7

6

4
13

6
31

8
57



A．9，10 B．9，91 C．10，91 D．10，110
3．（2022·山东威海·期末）如图，圆的周长为4个单位长度．在该圆周上4等分点处分别标上数字0、1、2、3，让圆周上表示数字0的点与数轴上表示的点重合，将该圆沿着数轴的负方向滚动，则数轴上表示数的点对应圆周上的数字是__________．

4.（2021•沂南县模拟）观察下列两行数：
0，2，4，6，8，10，12，14，16，…
0，3，6，9，12，15，18，21，24，…
探究发现：第1个相同的数是0，第2个相同的数是6，…，若第n个相同的数是102，则n等于（　　）
A．20 B．19 C．18 D．17
5.（2021·云南七年级模拟）有一组数：，它们是按一定规律排列的，这一组数的第n个数是（ ）
A． B． C． D．
6．（2022·山东青岛·七年级期末）也许你认为数字运算是数学中常见而又枯燥的内容，但实际上，它里面也蕴藏着许多不为人知的奥妙，下面就让我们来做一个数字游戏：
第一步：取一个自然数，计算得；
第二步：计算出的各位数字之和得，再计算得；
第三步：计算出的各位数字之和得，再计算得；
……
依此类推，则_______．

题型2：数表的规律
1．（2022·山东烟台·期末）将50个连续偶数2，4，6，8，10，…，100排成如图所示的数表．

(1)框内四个数之和是4的倍数吗？
(2)若将这个框上下左右移动，可框住另外四个数，（1）中的规律还成立吗？请说明理由．
2．（2021·广东·深圳市新华中学七年级期中）观察下列数表：

根据数表反映的规律：
（1）第 2 行与第 2 列的交叉点上的数为 ；第 3 行与第 4 列的交叉点上的数为 ；第 4 行与第 5 列的交叉点上的数为 　　　；
（2）已知 m 与 n 均为正整数．根据以上分析，第 m 行与第 n 列的交叉点上的数是 　　　；（用含 m、n 的式子表示）
（3）某同学用一正方形方框框中上述数表中的四个数，其中这四个数中最左上方的数恰为第2018 行与第 2019 列交叉点上的数，这个正方形方框框中的四数之和是 ．
3．（2021·贵州黔南·七年级期中）连续的奇数1，3，5，7，9，…排列成如图所示数表：

（1）十字框中的五个数的和与中间数23有什么关系？
（2）设中间数为，用式子表示十字框中五个数的和．
4.（2021·江苏镇江市·）如图，小明在3×3的方格纸上写了九个式子（其中的n是正整数），每行的三个式子的和自上而下分别记为A1，A2，A3，每列的三个式子的和自左至右分别记为B1，B2，B3，其中，值可以等于789的是（ ）

A．A1 B．B1 C．A2 D．B3
5．（2021·吉林·四平市铁西区教师进修学校七年级期中）把正整数1，2…排列成如下一个数表：

第1列
第2列
第3列
第4列
第5列
第1行
1
2
3
4
5
第2行
6
7
8
9
10
第3行
11
12
13
14
15
…
…
…
…
…
…
（1）30在第______行第______列；
（2）第n行第2列的数是_________；
（3）嘉嘉和琪琪玩游戏，嘉嘉说：“从数表中挑一个大于5的数x，我就可以按下面程序计算出x是第a行第b列．”你认为嘉嘉说的对吗？如果对请说明理由；若不对请举出反例．

6．（2021·河北·一模）把正整数1，2…排列成如下一个数表：

第1列
第2列
第3列
第4列
第5列
第1行
1
2
3
4
5
第2行
6
7
8
9
10
第3行
11
12
13
14
15
第4行
16
17
18
19
20
…
…
…
…
…
…
（1）30在第　 　行第　 　列；（2）第n行第2列的数是　 　；
（3）嘉嘉和琪琪玩游戏，嘉嘉说：“从数表中挑一个数x，我就可以按下面程序计算出x是第a行第b列．”你认为嘉嘉说的有道理吗？请说明理由．



题型3：算式的规律
算式规律这一类没有固定的套路，主要依靠学生对已知算式的观察、总结、逻辑推理，发现期中的规律。
常考的背景有：杨辉三角、等差数列、连续n个数的立方和、连续n个数的平方和、阶乘等。
通常结合数字特点和图形变化情况进行猜想，验证，从而提高探究规律能力。
1．（2021·河北承德·七年级期末）观察：下列算式：   
①32－4×12＝5，
②52－4×22＝9，
③72－4×32＝13，…
尝试：请你按照三个算式的规律写出第④个、第⑤个算式；
发现：请你把这个规律用含字母的式子表示出来；
应用：计算40412－4×20202= ．
2．（2022·广西梧州·七年级期中）已知下列等式：①；②；③，…
(1)请仔细观察前三个式子的规律，写出第④个式子：______________；
(2)请你找出规律，写出第n个式子__________________．
3．（2021·湖南永州·七年级期中）观察下列等式的规律，解答下列问题：
；
；
；
；
(1)第5个等式为 ，第n个等式为 （用含n的式子表示，n为正整数）；
(2)设，，，……，，求的值．


4．（2022·四川凉山·七年级期末）下面是按一定规律排列的一列数：
第1个数：
第2个数：
第3个数：
……
第个数：
那么，在第 9个数、第 10 个数、第 11 个数、第 12 个数中，最大的数是（        ）
A．第 9 个数 B．第 10 个数 C．第 11 个数 D．第 12 个数
5.（2021·广州白云广雅实验学校七年级期中）已知：，，，，……，若符合前面式子的规律，则的值为_____．
6.（2021·安徽七年级期末）观察以下等式：
第个等式：；
第个等式：；
第个等式：；
第个等式：．……
按照以上规律．解决下列问题：（1）写出第个等式：____________________．
（2）写出你猜想的第个等式：____________________（用含的等式表示）．
（3）你认为（2）中所写的式子一定成立吗？请说明理由．





题型4：图形的规律（一次类）
1．（2022·福建泉州·七年级阶段练习）将同样大小的正方形按下列规律摆放，重叠部分涂上阴影，则下面图案中，第1个图案有3个正方形，第2个图案有7个正方形……

若第个图案中有8087个正方形，则＝________．
2．（2022·黑龙江·哈尔滨市风华中学校阶段练习）用同样大小的黑色棋子按图所示的方式摆图形，按照这样的规律摆下去，则第10个图形需棋子___________枚．

3．（2021·河南周口·七年级期中）如图所示，用正六边形瓷砖按规律拼成下面若干图案，则第n个图案共有______个小正六边形瓷砖．

4．（2022·黑龙江·哈尔滨市虹桥初级中学校七年级期中）如图所示，用火柴棍拼成一排由三角形组成的图形，如果图形中含有100个三角形，需要________根火柴棍．

5．（2022·江西·景德镇一中七年级期末）一个正三角形各边分别有3个等分点，从这9个等分点中任取3个，可以构成________个直角三角形．
6．（2022·安徽滁州·七年级期末）如图，自行车每节链条的长度为，交叉重叠部分的圆的直径为．

（1）4节链条拉直后长度为_______；
（2）n节链条拉直后长度为_______；
（3）如果一辆自行车的链条由50节这样的链条首尾环形相连组成，那么该自行车链条环的长度是_______．


题型5：图形的规律（二次类）
1．（2022·全国·九年级专题练习）古希腊数学家定义了五边形数，如下表所示，将点按照表中方式排列成五边形点阵，图形中的点的个数即五边形数；


将五边形数1，5，12，22，35，51，…，排成如下数表；


观察这个数表，则这个数表中的第八行从左至右第2个数为_____．
3．（2022·山东烟台·期末）下列图形都是由同样大小的棋子按一定规律组成，其中第1个图形有1颗棋子，第2个图形一共有6颗棋子，第3个图形一共有16颗棋子，…．

(1)则第4个图形中棋子的颗数为______．第5个图形中棋子的颗数为______．
(2)请探究并归纳出第n个图形中棋子的颗数．
(3)求第100个图形中棋子的颗数．


4．（2022·吉林长春·七年级期末）如图，用同样规格的黑白两色正方形瓷砖铺设长方形地面．观察下列图形，探究并解答问题．

(1)在第5个图中，共有白色瓷砖 块；在第n个图中，共有白色瓷砖 块．
(2)在第5个图中，共有瓷砖 块；在第n个图中，共有瓷砖 块．
(3)如果每块黑瓷砖30元，每块白瓷砖40元，当n＝10时，铺设长方形地面共需花多少钱购买瓷砖？


5.（2021·浙江九年级一模）按图示的方法，搭1个正方形需要4根火柴棒，搭3个正方形需要10根火柴棒，搭6个正方形需要18根火柴棒，则下列选项中，可以搭成符合规律图形的火柴棒的数目是（ ）

A．52根 B．66根 C．70根 D．72根
6.（2021·重庆七年级期末）下列图形都是由同样大小的圆按一定的规律组成，其中第1个图形中有5个圆，第2个图形中有9个圆，第3个图形中有14个圆，．．．则第8个图形中圆的个数是（ ）

A．52 B．53 C．54 D．55

题型6：图形的规律（指数类）
1.（2021·江苏七年级期末）如图，已知图①是一块边长为1，周长记为C1的等边三角形卡纸，把图①的卡纸剪去一个边长为的等边三角形纸板后得到图②，然后沿同一底边再剪去一个边长为的等边三角形后得到图③，依次剪去一个边长为、、…的等边三角形后，得到图④、⑤、⑥、…，记图n（n≥3）中的卡纸的周长为Cn，则Cn﹣Cn﹣1＝_____．

2.（2021·常州市同济中学七年级期中）（1）为了计算1+2+3+…+8的值，我们构造图形（图1），共8行，每行依次比上一行多一个点．此图形共有（1+2+3+…+8）个点．如图2，添出图形的另一半，此时共8行9列，有8×9＝72个点，由此可得1+2+3+…+8=×72=36．
用此方法，可求得1+2+3+…+20=　 　（直接写结果）．
（2）观察下面的点阵图（如图3），解答问题：
填空：①1+3+5+…+49=　 　；②1+3+5…+（2n+1）=　 　．
（3）请构造一图形，求 （画出示意图，写出计算结果）．

3．（2021·日照港中学九年级三模）如图，小聪用一张面积为1的正方形纸片，按如下方式操作：①将正方形纸片四角向内折叠，使四个顶点重合，展开后沿折痕剪开，把四个等腰直角三角形扔掉；②在余下纸片上依次重复以上操作，当完成第2021次操作时，余下纸片的面积为（ ）

A． B． C． D．
4．（2021·江苏七年级期中）数学家华罗庚曾经说过：“数形结合百般好，隔裂分家万事休”．如图，将一个边长为1的正方形纸板等分成两个面积为的长方形，接着把面积为的长方形分成两个面积为的长方形，如此继续进行下去，根据图形的规律计算：的值为（ ）

A． B． C． D．
5．（2021·山西实验中学九年级其他模拟）谢尔宾斯基地毯，最早是由波兰数学家谢尔宾斯基制作出来的：把一个正三角形分成全等的4个小正三角形，挖去中间的一个小三角形；对剩下的3个小正三角形再分别重复以上做法…将这种做法继续进行下去，就得到小格子越来越多的谢尔宾斯基地毯（如图）．若图1中的阴影三角形面积为1，则图5中的所有阴影三角形的面积之和是（　　）

A． B． C． D．
6．（2021·北京七年级期末）将边长为1的正方形纸片按如图所示方法进行对折，第1次对折后得到的图形面积为S1，第2次对折后得到的图形面积为S2，…，第n次对折后得到的图形面积为Sn，则S4＝_____，S1+S2+S3+…+S2021＝______．


题型7：程序框图
1．（2021·重庆南开中学七年级期末）按如图所示的运算程序，能使输出的结果为32的是（ ）

A．， B．， C．， D．，
2．（2021·贵州中考真题）如图所示：是一个运算程序示意图，若第一次输入1，则输出的结果是_____；

3．（2021·重庆一中八年级期末）按照如图所示的运算程序，能使输出y的值为5的是（ ）

A． B． C． D．
4．（2021·安徽七年级期末）在如图所示的运算程序中，若开始输入的值为24，我们发现第1次输出的结果为12，第2次输出的结果为6，……，则第2021次输出的结果为__________．

5．（2022·河南郑州·七年级期末）乐乐在数学学习中遇到了神奇的“数值转换机”，按如图所示的程序运算，若输入一个有理数，则可相应的输出一个结果．若输入的值为，则输出的结果为（       ）

A． B． C． D．
6．（2022·河南信阳·七年级期末）按如图所示程序计算，若开始输入的x值是正整数，最后输出的结果是32，则满足条件的x值为（        ）

A．11 B．4 C．11或4 D．无法确定

题型8：新定义运算
1.（2021·江苏七年级月考）定义一种新运算：观察下列各式：
1*2＝1×3+2＝5，4*（﹣2）＝4×3﹣2＝10，3*4＝3×3+4＝13，6*（﹣1）＝6×3﹣1＝17．
（1）请你想想：a*b＝　 　；（2）若a≠b，那么a*b　 　b*a（填“＝”或“≠”）；
（3）先化简，再求值：（a﹣b）*（a+2b），其中a＝3，b＝﹣2

2．（2021·重庆市实验中学九年级月考）对任意的三位正整数，如果其个位上的数字与百位上的数字之和等于十位上的数字，则称为“阳光数”．现将的个位作为十位，十位作为百位，百位作为个位，得到一个新数，规定．例如264是一个“阳光数”，则可得到一个新数= 642，所以．（1）若是百位上的数字比个位上的数字少4的“阳光数”，求的值；
（2）若是8的倍数，则称这样的为“多彩阳光数”，求最大的“多彩阳光数”．
3．（2021·九龙坡·重庆市育才中学九年级其他模拟）定义：对于一个两位自然数，如果它的个位和十位上的数字均不为零，且它正好等于其个位和十位上的数字的和的n倍（n为正整数），我们就说这个自然数是一个“n喜数”．例如：24就是一个“4喜数”，因为24＝4×（2＋4）；25就不是一个“n喜数”，因为25≠n（2＋5）．
（1）判断44和72是否是“n喜数”？请说明理由；（2）请求出所有的“7喜数”之和．


4.（2021春•奉贤区期中）定义：a是不等于1的有理数，我们把11-a称为a的差倒数．如3的差倒数是11-3=-12，﹣1的差倒数是11-(-1)=12，已知a2是a1的差倒数，a1＝3，a3是a2的差倒数，a4是a3的差倒数，…以此类推，则a2020＝ 　．
5．（2022·河南罗山）在平面直角坐标系xoy中，对于点P(x,y),我们把点P′(-y+1,x+1)叫做点P伴随点．已知点A1的伴随点为A2,，点A2的伴随点为A3,，点A3的伴随点为A4，…，这样依次得到点A1，A2，A3，…，An，…．若点A1的坐标为(2，4)，点A2020的坐标为(     )
A．(-3，3) B．(-2，-2) C．(3，-1) D．(2，4)
6．（2022·重庆梁平·七年级期中）阅读材料，解决下列问题
如果一个正整数十位上的数字为，个位上的数字为，则这个数表示为．
有这样一对正整数：一个数的数字排列完全颠倒过来就变成另一个数，简单地说就是顺序相反的两个数，我们把这样的一对数互称为“反序数”．比如：123的反序数是321，4056的反序数是6504，根据以上阅读材料，回答下列问题：
(1)已知一个三位数，其数位上的数字为连续的三个自然数，经探索发现：原三位数与其反序数之差的绝对值始终等于198．你知道为什么吗？请说明理由．
(2)若一个两位数与其反序数之和是一个整数的平方，求满足上述条件的所有两位数．