南宁市2023届高中毕业班摸底测试文理数学含答案（老高考）

南宁市2023届高中毕业班摸底测试

数 学（理科）参考答案

一､选择题：本题共12小题，每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.设全集，集合，则（    ）

A． B． C． D．  【答案】D

2.已知是虚数单位，若复数，则（    ）

A． B． C． D．1 【答案】B  

3. PM2.5是衡量空气质量的重要指标，下图是某地9月1日至10日的 PM2.5 日均值（单位：）的折线图，则下列关于这10天中 PM2.5 日均值的说法错误的是（    ）

A.众数为30           B.中位数为31.5

C.平均数小于中位数    D.后4天的方差小于前4天的方差【答案】】C 

4. 我国古代数学著作《九章算术》中《方田》章有弧田面积计算问题，计算术曰：以弦乘矢，矢又自乘，并之，二而一.其大意是，弧田面积计算公式为：弧田面积＝×(弦×矢＋)．弧田(如图)由圆弧和其所对弦围成，公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”指圆弧顶到弦的距离(等于半径长与圆心到弦的距离之差)，现有一弧田圆心角为，半径为的弧田，按照上述经验公式计算所得弧田面积是（    ）

A． B．        C． D．   【答案】A

5. 某一棱锥的三视图如图所示，则其侧面积为（    ）

A． B．

C． D．【答案】C

6.若函数的极值点是1,则（       ）

A． B． C． D．1  【答案】B

7. 函数的图象大致为（    ）

 A                                               B

C                                                 D

【答案】B

8. 在长方体中，点在棱上，若直线与平面所成的角为，则（    ）

A.        B.       C.      D.   【答案】B

9.两个圆锥有等长的母线，它们的侧面展开图恰好拼成一个圆，若它们的侧面积之比为，则它们的体积比是(    )

A.         B.        C.        D. 【答案】A

10.已知椭圆的右焦点为，右顶点为，上顶点为，点满足（是坐标原点），则椭圆的离心率是（    ）

A.         B.             C.            D.   【答案】B

11．已知函数，若在区间上有且仅有4个零点和1个极大值点，则的取值范围是（    ）

A．     B．          C．      D． 【答案】D

12. 设, 则的大小关系为（   ）

A.     B.    C.     D.

【答案】D【解析】设,则 .当即时单调递增；当即时单调递减. 故的单调递增区间为, 单调递减区间为.

由,则即.由得,.

则.排除A选项；由的单调性知,当时,即.

在上式中, 令, 又, 则,可化为, 即得. ……..(1)

由(1)得, ,即,

亦即, 所以.又由(1)得, ,

即,所以,即.综上,故选D.

二､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13. 已知向量与的夹角为，，，则= ______ .【答案】

14.若双曲线的渐近线被圆所截的弦长为，则的值为_____．【答案】 

15. 从正方体的顶点及其中心共9个点中任选4个点, 则这4个点在同一个平面的概率为      .

【答案】

16. 已知中，点在边上，,,.当取最大值时，      .【答案】1

三､解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生依据要求作答。

17.（本小题满分12分）

已知数列的前n项和满足:且数列最小项为.

 (1)求的取值范围；

(2)若，设，是数列的前n项和，求的前项和.

解:(1)由题设.         ……①

则.  ……②  

将①－②得. 

当时，则数列是公差为2的等差数列. ……………………3分

由数列最小项为第8项可，知

即 

解得.   ……………………………………………………………6分

（2）因为，由(1)可知

则

…………………10分

.………………………………………………………………………………12分

18.（本小题满分12分）

如图，四棱锥中，底面ABCD为直角梯形，，，，,为等边三角形，平面平面.

(1)证明：；
(2)求直线与面所成角的正弦值.

解：(1)因为,，，

所以

在中,,

得

从而…………………………………………….…3分

因为面面，面面，面，

所以平面

又平面，所以.………………………..5分

（Ⅱ）取AD的中点O，连接PO.因为为等边三角形，且平面平面ABCD，故PO面ABCD.

以O为原点建立空间直角坐标系，如图所示……….……7分

则,,,

,,

设面PAB的一个法向量为

由得

令，则得……………………………10分

从而直线PD与面PAB所成角的正弦值为…………………….…………12分

19.（本小题满分12分）广西新高考改革方案已正式公布, 根据改革方案, 将采用“3+1+2”的高考模式. 其中，“3”为语文、数学、外语3门参加全国统一考试. 选择性考试科目为政治、历史、地理、物理、化学、生物 6 门. 由考生根据报考高校以及专业要求, 结合自身实际情况, 首先在物理和历史中选择1门, 再从政治、地理、化学、生物中选择2门，形成自己的“高考选考组合”.

(1) 由于物理和历史两科必须选择1科, 某校想了解高一新生选科的需求, 随机选取100名高一新生进行调查, 得到如下统计数据, 判断是否有 95% 的把握认为“选科与性别有关”?

（2）该校将从参与调查的学生中抽取2人进行访谈，设选到“选择历史”的人数为，求的分布列和数学期望.

附：，. 

解: (1) 由题意可得如下2×2列联表：

∴.

∵

根据临界值表可知，有的把握认为“选科与性别有关”. ……………………………6分

（2）由题意，的可能取值为 0,1,2.

其中，. .

.

所以的分布列为：

数学期望为 .………………………………………12分

20.（本小题满分12分）已知抛物线的焦点为F，直线分别与x轴交于点M，与抛物线E交于点Q，且

（1）求抛物线E的方程；

（2）设横坐标依次为的三个点都在抛物线E上，且，若

是以AC为斜边的等腰直角三角形，求的最小值.

解：依题意设点，由已知 则.

即因为，则.所以抛物线E的方程是…………………………… 4分

(2)设点，直线AB的斜率为
因为，则直线BC的斜率为
因为，则，得     ①

  因为，则，即②
因为，则=，即③
将②③代入①得，即.
则

所以
 

因为，则.

又，则.从而.

当且仅当时取等号，所以的最小值为32 ……………….…………12分

21. （本小题满分12分）已知函数，

    (1)若恒成立,求实数的取值范围；

(2)若,,且,证明:.

解：（1）因为的定义域为,所以恒成立

等价于恒成立,所以

令,则.

当时,故在内单调递增;       

当时, 故在内单调递减

所以,故.

即实数的取值范围是………………………………………..………….4分

（2）可知,，

故在单调递减,单调递增,

则，所以在单调递增.

因为且,

不妨设,则①;②.

对于①,因为在内是单调递增函数,

所以.所以.

对于②,由得:,故.

所以

由知:.

设,则,

而,所以.

故在上是单调减函数.

所以,即故,

即

综上所述:当时…………………………………………….12分

（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做则按所做的第一题记分。

22.（本小题满分10分）在直角坐标系中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，曲线的参数方程为（为参数）．

(1)写出和的直角坐标方程；

(2)设为曲线上的动点，求点到曲线的距离的最小值．

解：(1)因为，，

所以曲线：的直角坐标方程为

因为的参数方程为，所以，，消去参数

则曲线的普通方程为…………………………………….…5分

（2）因为点在曲线上，由的参数方程可，

则点到曲线:的距离

当时即当点的坐标为时曲线上点到曲线的距离取到最小值为….10分

23.（本小题满分10分）已知均为正数，且，证明：

(1)若，则；

(2).

解：(1)因为且，，均为正数，所以

则

,则当且仅当时等号成立,

故……………………………..….…5分

(2)因为，由柯西不等式得

故当且仅当且时等号成立

即当且仅当，，时成立则………………..10分