数与式 讲义--初高中数学衔接
展开初高中数学衔接---数与式一、与绝对值有关问题：（一）知识点：1.在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离叫做该数的绝对值。2.正数的绝对值是他本身，负数的绝对值是他的相反数，0的绝对值是0，即3.两个负数比较大小，绝对值大的反而小4.两个绝对值不等式:；或5.绝对值的几何意义:一个数的绝对值,是数轴上表示它的点到原点的距离.6.两个数的差的绝对值的几何意义: 表示在数轴上,数和数之间的距离.（二）题型：1.化简：【解析】2.解下列方程（1） （2）【解析】（1）（2）3.解下列不等式(1)【解析】(2) ．【解法一】由，得；由，得；①若，不等式可变为，即＞4，解得x＜0，又x＜1，∴x＜0；②若，不等式可变为，即1＞4，∴不存在满足条件的x；③若，不等式可变为，即＞4， 解得x＞4．又x≥3，∴x＞4．综上所述，原不等式的解为 x＜0，或x＞4．【解法二】如图1．1－1，表示x轴上坐标为x的点P到坐标为1的点A之间的距离|PA|，即|PA|＝|x－1|；|x－3|表示x轴上点P到坐标为2的点B之间的距离|PB|，即|PB|＝|x－3|．所以，不等式＞4的几何意义即为|PA|＋|PB|＞4．由|AB|＝2，可知点P 在点C(坐标为0)的左侧、或点P在点D(坐标为4)的右侧． x＜0，或x＞4．4. 画出下列函数的图像(1) (2) 【解析】 5.已知，求的最小值和最大值。略解：由得（1）当时，，当时有最小值（2）当时，（最大值）6. 若为整数，且，试计算的值.略解：为整数，且，或二、与根式有关问题： （一）知识点：1.一般地，形如的代数式叫做二次根式．根号下含有字母、且不能够开得尽方的式子称为无理式. 例如，等是无理式，而，，等是有理式．2．分母（子）有理化:把分母（子）中的根号化去，叫做分母（子）有理化．为了进行分母（子）有理化，需要引入有理化因式的概念．两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，我们就说这两个代数式互为有理化因式，例如与，与，与，与，等等． 一般地，与，与，与互为有理化因式．分母有理化的方法是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分母中的根号的过程；而分子有理化则是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分子中的根号的过程3.在二次根式的化简与运算过程中，二次根式的乘法可参照多项式乘法进行，运算中要运用公式；而对于二次根式的除法，通常先写成分式的形式，然后通过分母有理化进行运算；二次根式的加减法与多项式的加减法类似，应在化简的基础上去括号与合并同类二次根式．4．二次根式的意义（1）（2）（3）（4）（二）题型：1.化简下列各式（1）（2）【解析】（1）（2）略2.化简：．【解析】＝＝＝＝．3.已知，求的值略解：，，4. 已知，求的值.【解析】5. 设为的小数部分，为的小数部分，求的值.略解：则的小数部分=则的小数部分=,6.试比较下列各组数的大小：（1）和； （2）和.【解析】（1）∵，，又，∴＜．（2）∵又 4＞2，∴＋4＞＋2，∴＜.三、与分式有关问题：（一）知识点：（Ⅰ）分式的运算规律1、加减法同分母分式加减法：异分母分式加减法：2、乘法：3、除法：4、乘方：（Ⅱ）分式的基本性质 1、 2、(Ⅲ)比例的性质（1）若则（2）若则（合比性质）（3）若（）则（合分比性质）（4）若＝…＝，且则（等比性质）（二）题型：1.计算:解：既不便于分式通分，又不适合分组通分，试图考察其中一项，从中发现规律因此不难看出，拆项后通分更容易∴原式＝＝＝2. 若，且，则＝ 8或－1 ；提示：设，进而得3.已知，，，则 ；提示：将条件分别取倒数即可，四、与指数式有关问题：1.已知，，，，那么、、、从小到大的顺序是（ D ） A. B. C. D. 略解：，，，五、与二次式有关问题：1.已知，求的值略解：，2.存在，使得成立，求的取值范围.提示：法1：用几何意义表示一个圆法2：把视为关于的一元二次方程，再用即可.3.已知,,,则的最小值是 略解：已知，，又，，可得是关于的方程的两个根，根据根与系数的关系可得，，再由，时，的最小值
