函数周期性的判定及应用讲义--高三数学一轮复习

函数的周期性的判定及应用一、相关知识：周期性主要运用在三角函数及抽象函数中，是化归转化思想的重要手段。周期函数：1.定义：2.说明：(1)周期函数具有无数多个周期，如果它的周期存在着最小正值，就叫做它的最小正周期.并不是任何周期函数都有最小正周期，如常量函数；(2)周期函数的定义域是无界的；(3)若为的周期，则也是的周期.（二）、求周期的方法有：1.定义法：2.公式法：3.图象法：4.利用重要结论：（三）、关于周期性的结论有：1、 的周期为2、 的周期为3、 的周期为推论：若函数恒满足，则是周期函数，是它的一个周期；4、 的周期为推论：若函数恒满足，则是周期函数，是它的一个周期；5、的周期为推论：若函数恒满足，则是周期函数，是它的一个周期；6、的周期为7、有两条对称轴和（ 周期8、有两个对称中心和 周期9、有一条对称轴和一个对称中心 周期10、奇函数满足 周期。11、偶函数满足 周期。12、分式递推型:①的周期为② 的周期为③ 的周期为二、题型：(一)函数周期性的判断：1.设是定义在实数集上的函数，且满足与，则是（ C ）A. 偶函数，又是周期函数， B. 偶函数，但不是周期函数C. 奇函数，又是周期函数， D. 奇函数，但不是周期函数,所以为奇函数。2．为实数,表示不超过的最大整数,则函数在上为（　D　）A．奇函数 B．偶函数 C．增函数 D．周期函数【解析】.当n为整数时,必有[n+x]=n+[x]成立.设k∈Z,且k≠0,则f(x+k)=(x+k)-[x+k]=(x+k)-([x]+k)=x-[x]=f(x),所以f(x)必为周期函数,故选D.【一题多解】本题还可以采用如下方法:方法一:(特值法)取x1=1.2,x2=2,则f(x1)=1.2-[1.2]=0.2,f(-x1)=-1.2-[-1.2]= 0.8,所以f(-x1)≠±f(x1),所以f(-x)≠±f(x),故A,B错;又f(x1)=0.2,f(x2)=0,显然f(x)不是增函数,故C错,故选D.方法二:(图象法)依据已知可以作出函数f(x)的图象,如图所示,则可知f(x)是有界,且周期为k(k∈Z,k≠0)的非单调函数,其最小正周期为1,故选D. (二)周期性的应用：1．设是定义在（－∞，+∞）上的函数，对一切均有=0，且当时，，分别求当及时，的解析式。2.设是定义在上以2为周期的偶函数，当时，，则函数在的解析式是 提示：设，则，，又是定义在上以2为周期的偶函数，3．若对任意的，函数满足，且，则（ C ）A．1 B． C．2012 D．4.已知f(x)是定义在R上的偶函数,且f(x+4)=f(x-2) ，若当时,,则f(919)= 6 .【解析】由f(x+4)=f(x-2)可知,是周期函数,且,所以.5.设定义在上的函数满足，若，则【解析】因为定义在上的函数满足，所以，所以函数的周期为4，所以6．的定义域是，且,若，则 解： 周期为8，7.已知定义在上的奇函数满足，若，则（ A ）A.0 B.-4 C.4 D. -2略解：由得所以的图象关于点对称，又因函数为奇函数，所以为周期函数，且周期，，，8．定义在上的函数满足.当时,,当时,.则（B）A．335 B．338 C．1678 D．2012【解析】由,可知函数的周期为6,所以,,,,,,所以在一个周期内有,所以,选B. 9．已知函数满足，，则的值为 ，的值为 ．10.已知函数，如果对任意的，定义，那么 提示：，，的值具有周期性，且周期，