必修 第一册5.1 任意角和弧度制达标测试

课时分层作业(三十三)　用二分法求方程的近似解

(建议用时：60分钟)

[合格基础练]

一、选择题

1．下面关于二分法的叙述中，正确的是(　　)

A．用二分法可求所有函数零点的近似值

B．用二分法求方程的近似解时，可以精确到小数点后的任一位

C．二分法无规律可循，无法在计算机上完成

D．只能用二分法求函数的零点

B　[用二分法求函数零点的近似值，需要有端点函数值符号相反的区间，故选项A错误；二分法是一种程序化的运算，故可以在计算机上完成，故选项C错误；求函数零点的方法还有方程法、函数图象法等，故D错误，故选B.]

2．函数f(x)的图象是连续不断的曲线，在用二分法求方程f(x)＝0在(1,2)内近似解的过程可得f(1)<0，f(1.5)>0，f(1.25)<0，则方程的解所在区间为(　　)

A．(1.25,1.5)　　　 B．(1,1.25)

C．(1.5,2)   D．不能确定

A　[由于f(1.25)·f(1.5)<0，则方程的解所在区间为(1.25,1.5)．]

3．若函数f(x)＝x3＋x2－2x－2的一个正数零点附近的函数值用二分法计算，其参考数据如下：

那么方程x3＋x2－2x－2＝0的一个近似根(精确度为0.05)可以是(　　)

A．1.25   B．1.375

C．1.42   D．1.5

C　[由表格可得，函数f(x)＝x3＋x2－2x－2的零点在(1.406 25,1.437 5)之间．结合选项可知，方程x3＋x2－2x－2＝0的一个近似根(精确度为0.05)可以是1.42.故选C.]

4．用二分法求函数f(x)＝2x＋3x－7在区间[0,4]上的零点近似值，取区间中点2，则下一个存在零点的区间为(　　)

A．(0,1)   B．(0,2)

C．(2,3)   D．(2,4)

B　[因为f(0)＝20＋0－7＝－6<0，

f(4)＝24＋12－7>0，

f(2)＝22＋6－7>0，所以f(0)·f(2)<0，所以零点在区间(0,2)内．]

5．在用“二分法”求函数f(x)零点近似值时，第一次所取的区间是[－2,4]，则第三次所取的区间可能是(　　)

A．[1,4]   B．[－2,1]

C.   D.

D　[∵第一次所取的区间是[－2,4]，∴第二次所取的区间可能为[－2,1]，[1,4]，∴第三次所取的区间可能为，，，.]

二、填空题

6．已知函数f(x)＝x3－2x－2，f(1)·f(2)<0，用二分法逐次计算时，若x0是[1,2]的中点，则f(x0)＝________.

－1.625　[由题意，x0＝1.5，f(x0)＝f(1.5)＝－1.625.]

7．在用二分法求方程f(x)＝0在[0,1]上的近似解时，经计算，f(0.625)<0，f(0.75)>0，f(0.687 5)<0，即得出方程的一个近似解为________．(精确度为0.1)

0．687 5(答案不唯一)　[∵f(0.625)<0，f(0.75)>0，f(0.687 5)<0，

∴方程的解在(0.687 5,0.75)上，而|0.75－0.687 5|<0.1，

∴方程的一个近似解为0.687 5.]

8．如图，一块电路板的线路AB之间有64个串联的焊接点(不含端点A，B)，如果线路不通的原因是由于焊口脱落所致，要想检验出哪一处的焊口脱落，则至多需要检测________次．

6　[第1次取中点把焊点数减半为＝32，第2次取中点把焊点数减半为＝16，第3次取中点把焊点数减半为＝8，第4次取中点把焊点数减半为＝4，第5次取中点把焊点数减半为＝2，第6次取中点把焊点数减半为＝1，所以至多需要检测的次数是6.]

三、解答题

9．已知方程2x＋2x＝5.

(1)判断该方程解的个数以及所在区间；

(2)用二分法求出方程的近似解(精确度0.1)．

参考数值：

[解]　(1)令f(x)＝2x＋2x－5.

因为函数f(x)＝2x＋2x－5在R上是增函数，

所以函数f(x)＝2x＋2x－5至多有一个零点．

因为f(1)＝21＋2×1－5＝－1<0，f(2)＝22＋2×2－5＝3>0，

所以函数f(x)＝2x＋2x－5的零点在(1,2)内．

(2)用二分法逐次计算，列表如下：

因为|1.375－1.25|＝0.125>0.1，且|1.312 5－1.25|＝0.062 5<0.1，

所以函数的零点近似值为1.312 5，

即方程2x＋2x＝5的近似解可取为1.312 5.

10．用二分法求方程x2－5＝0的一个近似正解．(精确度为0.1)

[解]　令f(x)＝x2－5，因为f(2.2)＝－0.16<0，f(2.4)＝0.76>0，所以f(2.2)·f(2.4)<0，

即这个函数在区间(2.2,2.4)内有零点x0，

取区间(2.2,2.4)的中点x1＝2.3，f(2.3)＝0.29，因为f(2.2)·f(2.3)<0，所以x0∈(2.2,2.3)，

再取区间(2.2,2.3)的中点x2＝2.25，f(2.25)＝0.062 5，因为f(2.2)·f(2.25)<0，

所以x0∈(2.2,2.25)，由于|2.25－2.2|＝0.05<0.1，

所以原方程的近似正解可取为2.25.

[等级过关练]

1．下列函数中不能用二分法求零点近似值的是(　　)

A．f(x)＝3x－1   B．f(x)＝x3

C．f(x)＝|x|   D．f(x)＝ln x

C　[对于选项C而言，令|x|＝0，得x＝0，即函数f(x)＝|x|存在零点，但当x>0时，f(x)>0；当x<0时，f(x)>0，所以f(x)＝|x|的函数值非负，即函数f(x)＝|x|有零点，但零点两侧函数值同号，所以不能用二分法求零点的近似值．]

2．在用二分法求函数f(x)的一个正实数零点时，经计算，f(0.64)＜0，f(0.72)＞0，f(0.68)＜0，则函数的一个精确到0.1的正实数零点的近似值为(　　)

A．0.68   B．0.72

C．0.7   D．0.6

C　[已知f(0.64)＜0，f(0.72)＞0，则函数f(x)的零点的初始区间为[0.64,0.72]，又0.68＝(0.64＋0.72)，且f(0.68)＜0，所以零点在区间[0.68,0.72]，且该区间的左、右端点精确到0.1所取的近似值都是0.7，因此，0.7就是所求函数的一个正实数零点的近似值．]

3．用二分法求函数f(x)＝3x－x－4的一个零点，其参考数据如下：

据此数据，可得方程3x－x－4＝0的一个近似解(精确度为0.01)可取________．

1．562 5　[f(1.562 5)≈0.003>0，f(1.556 2)≈－0.029<0，方程3x－x－4＝0的一个近似解在(1.556 2，1.562 5)上，且满足精确度为0.01，所以所求近似解可取为1.562 5.]

4．某同学在借助计算器求“方程lg x＝2－x的近似解(精确度为0.1)”时，设f(x)＝lg x＋x－2，算得f(1)<0，f(2)>0；在以下过程中，他用“二分法”又取了4个x的值，计算了其函数值的正负，并得出判断：方程的近似解是x≈1.8，那么他再取的x的4个值依次是________．

1．5,1.75,1.875,1.812 5　[第一次用二分法计算得区间(1.5,2)，第二次得区间(1.75,2)，第三次得区间(1.75,1.875)，第四次得区间(1.75,1.812 5)．]

5．已知函数f(x)＝3ax2＋2bx＋c，a＋b＋c＝0，f(0)>0，f(1)>0，证明a>0，并利用二分法证明方程f(x)＝0在区间[0,1]内有两个实根．

[证明]　∵f(1)>0，∴3a＋2b＋c>0，

即3(a＋b＋c)－b－2c>0.

∵a＋b＋c＝0，∴－b－2c>0，则－b－c>c，即a>c.

∵f(0)>0，∴c>0，则a>0.

在区间[0,1]内选取二等分点，

则f＝a＋b＋c＝a＋(－a)＝－a<0.

∵f(0)>0，f(1)>0，

∴函数f(x)在区间和上各有一个零点．

又f(x)最多有两个零点，从而f(x)＝0在[0,1]内有两个实根．